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讀《小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)》有感
讀完馬博士這本風(fēng)靡美國的著作，對我沖擊很大有兩點：原來名著是這樣寫成的，感嘆于她另類的寫作手法；原來美國老師這么笨，相比之下中國老師這么聰明，不可同日而語啊。
摘錄：本文是選取了四道數(shù)學(xué)題：退位減法、多位數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)除法，以及封閉圖形面積和周長的關(guān)系，每一道題就是一個研究專題。先設(shè)計課堂情境，再請美、中教師就此內(nèi)容闡述教法和解法。厲害的是馬博士能將這些習(xí)以為常的方法進行深入剖析，反應(yīng)了其背后隱藏的數(shù)學(xué)原理。最后通過對比談?wù)剝蓢處煹闹R差別。
感悟：其中我很費解的兩個詞：“過程性理解和概念性理解”。 借1與退1的區(qū)別：位值退1是過程性，退1相關(guān)的原理是概念性。收獲較大的是看完后更好地對“知識網(wǎng)絡(luò)”、“知識包”的理解。如書上114頁，三幅對比圖，就是由原來完全分離的幾個知識點，再變成四個手牽手的圖，有隱性聯(lián)系數(shù)學(xué)基本態(tài)度，有顯性的練習(xí)基本原理。反應(yīng)了他對數(shù)學(xué)的深刻理解，包括寬度、深度、關(guān)聯(lián)度和完整度。除了圖式的講解，還有更形象的比喻，我們掌握知識就得像熟練的出租車司機理解城市，有多條路，腦海里有個錯綜復(fù)雜的地圖。
第一章：重組數(shù)字做減法的區(qū)別：
例子：美國老師覺得7+2+3=9=12對的，連中國學(xué)生也不會犯這樣的錯誤。
美國教師的方法：“拿1個10來換成10個一，‘拿’是重組，‘變’是轉(zhuǎn)換�！薄安荒軓妮^小的數(shù)中減去較大的數(shù)，于是就向它的鄰居‘借’1。”這句話中有很多數(shù)學(xué)語病。小數(shù)也可減大數(shù)，鄰居暗示了十位與個位是兩個獨立的數(shù)而不是一個數(shù)的兩個部分。“借數(shù)”暗示計算中的數(shù)值可以任意改變，可以‘借’值。
中國教師方法：“退一”與“進一”相對應(yīng)。通過“十進制”、“位值”來解釋。還介紹了重組的多種途徑。如53-26:53分成40和13；53分成40、10和3或者26分成20、3和3等等。特別強調(diào)知識包。做53-26時，他們已經(jīng)有了“20以內(nèi)減法”做基礎(chǔ)，而且必需學(xué)得非常扎實。他們說，減法中的重組思想，把高位上退一到低位上的值，是通過學(xué)習(xí)三個水平的問題而形成的。20以內(nèi)、100以內(nèi)，再更大的被減數(shù)。在教一個知識點時應(yīng)該把知識看做一個包，而且要知道當(dāng)前的知識在知識包中的作用。你還要知道你所教的這個知識受到哪些概念或過程的支持，所以你的教學(xué)要依賴于、強化并詳細(xì)描述這些概念的學(xué)習(xí)。
對比：美國老師青睞“借位”，而中國教師解釋這個算法是“退一”。
第二章：多位數(shù)的乘法：處理學(xué)生的錯誤
錯題： 123 三次乘積都與個位對齊。
×645
615
492
738
1845
美國老師認(rèn)為錯因：學(xué)生沒有很好地理解位值，，只從表面上看成4乘3。不會進行移位，沒有記住公認(rèn)的規(guī)則。美國教師自己也不清楚的是：積492實際上是4920。認(rèn)為零是“人為的”。只是為了占位。
策略：過程性的：
描述規(guī)則：個位上的5，就從個位開始；十位上的4就向左移位，將乘積放在十位上的4下面。；然后移到百位。以此類推。
使用帶橫線的紙：將紙豎起來，一列里面寫一個數(shù)。從而保證能正確地排列這些中間乘積。
用占位符：在空格處放一個蘋果、一個橘子、一頭大象。只需要服從老師有趣的、武斷的命令就行。
解釋基本原理：123就是100加20加3,5個123,40個123,600個123.
將該問題拆成三個小問題：123分別乘以5、40、600積為615、4920和73800再相加。
中國教師認(rèn)為：
解釋錯誤：分配律：123×645=123×（600+40+5）改成詳細(xì)豎式，再擦去0成階梯型的豎式。
10和10的冪的乘法，×10和×100
位值制：論證123乘以4個10是492個10，解釋為什么492應(yīng)該與10位相對齊。一個數(shù)的大小不僅僅依靠它所含有的數(shù)字，而且還和這些數(shù)字放置的數(shù)位有關(guān)。
知識包：位值、乘法的意義、乘法的基本原理、兩位數(shù)的乘法、一位數(shù)的乘法、10的乘法、10的倍數(shù)和冪，以及交換律。重點是兩位數(shù)的乘法。（圖P44略）
策略：解釋和示范：492個十，2應(yīng)該寫在哪里？738個百，8應(yīng)該寫在哪里？
學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題：
觀察，檢查，分析和討論；通過問問題進行引導(dǎo)；診斷性練習(xí)。
對比：美國教師遵循“對齊乘數(shù)”的法則，中國教師用位值和位值制的概念，解釋為什么中間乘積在乘法中不像加法中的對齊方式那樣對齊。
第四章：探索新知識：周長與面積的關(guān)系。
當(dāng)一個封閉圖形的周長增加時，它的面積也會隨之增加。判斷并證明。
美國教師：查書。因為不理解公式的運算推導(dǎo)，所以要找人告訴他反例，查閱書本并且找出反例。要求更多的實例、數(shù)學(xué)方法。面對學(xué)生觀點的反應(yīng)：簡單接受9%，沒有用數(shù)學(xué)方式研究78%，用數(shù)學(xué)方式研究13%。教師負(fù)責(zé)地評價學(xué)生觀點的正確性，和學(xué)生一起研究她的觀點的正確性。
中國教師：70%能正確解決。推翻這個命題：理解的第一層水平。識別可能性：理解的第二層水平。澄清條件：理解的第三層水平。解釋條件：理解的第四層水平。
對比：美國教師傾向于關(guān)注“周長增加，面積也增加”的觀點正誤。而中國教師探討周長和面積之間的關(guān)系。3名（13%）美國教師獨立做了研究，只有一名得到了正確的答案。66名（92%）中國教師做了數(shù)學(xué)的研究，有44名（62%）教師得到了正確的答案。掌握一個領(lǐng)域的基本思想不僅僅包括掌握一般原理，而且還包括發(fā)展對學(xué)習(xí)和調(diào)查、猜想和直覺，獨立解決問題的可能性的態(tài)度。
只有那些對數(shù)學(xué)有適應(yīng)力的教師，才能培養(yǎng)學(xué)生進行數(shù)學(xué)探究的能力。中國教師對學(xué)科的文化適應(yīng)更強。他們傾向于嚴(yán)謹(jǐn)思考，用數(shù)學(xué)術(shù)語討論，并用數(shù)學(xué)的論證來判斷他們的見解。
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