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等勢(shì)面,場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系
§13--5 等勢(shì)面、場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的關(guān)系
（Potential Surface 、The Relation Between Electric Field Intensity and Potential）
一、等勢(shì)面（電勢(shì)分布的圖示法） 電場(chǎng)中電勢(shì)相等的點(diǎn)所構(gòu)成的曲面 1. 等勢(shì)面的規(guī)定 場(chǎng)中任意相鄰的兩等勢(shì)面之 間的電勢(shì)差相等。
E E
a
b
U c ? U b = U b ? U a = const Uc > Ub > U a
c
1
以點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)為例：
ΔU = ∫ E ? dl = E Δn
P2 P 1
Δn
n
ΔU ∴ E = lim Δn→0 Δn
等勢(shì)面密集處，場(chǎng)強(qiáng)數(shù)值 大，電場(chǎng)線也密集。 2. 等勢(shì)面的性質(zhì) ●沿等勢(shì)面移動(dòng)電荷時(shí)，電場(chǎng)力作功為零。
等勢(shì)面
E
Aab = q0U ab = 0
2
●等勢(shì)面與電力線處處正交。 證明： dA = q0 dU ≡ 0 而 dA = q0 E ? dl = q0 Edl cosθ
E E
q0
等勢(shì)面
a dl b
∴ cosθ = 0 θ =
π
2
即E ⊥ dl
●電場(chǎng)線的方向指向電勢(shì)降落，而且是降落得最 快的方向，即由高電位等勢(shì)面垂直指向低電位等 勢(shì)面。 ●等勢(shì)面密集處場(chǎng)強(qiáng)大，等http://www.ishadingyu.com勢(shì)面稀疏處場(chǎng)強(qiáng)弱。
3
電場(chǎng)線與等勢(shì)面
4
5
二、電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)梯度的關(guān)系 1. 電勢(shì)梯度
dn dl = cos ? dU dU = cos ? dl dn
電勢(shì)梯度
U + dU
n
dn ? P1 dl
P2
U
dU dU
E
P3
dU ? gradU = n dn
E
S1
S2
電勢(shì)梯度是一個(gè)矢量，其方向與該點(diǎn)電勢(shì)增加率最大 的方向相同，大小等于沿該方向上的電勢(shì)增加率。
6
2. 場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)梯度的關(guān)系 A. E ? dn = ? En dn = (U + dU ) ? U = dU
dU ∴ En = ? dn
結(jié)論
E
( grandU ) l
?
dU E=? n = ? gradU dn
gradU
El U U + dU
dU dU B. ? = ? ( gradU )l = ? cos ? = E cos ? = El dl dn
7
在直角坐標(biāo)中:
?U Ex = ? ?x ?U Ey = ? ?y
dU El = ? dl
?U Ez = ? ?z
E ?
dl
?U ? ?U ? ? U ? E = ?( i+ j+ k ) = ? gradU ?z ?x ?y
因電勢(shì)為標(biāo)量，所以計(jì)算電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)比較方 便，因而由 E = ? gradU 可更方便地求得 E
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討論: ★電勢(shì)為零的地方，場(chǎng)強(qiáng)不一定為零。
?U U = 0, 不一定等于零。 ?l
o
q+ + + E (r )
+ R + +
q q
+
+
?q q
+
-
U = 0, E ≠ 0
+ a +
★場(chǎng)強(qiáng)為零的地方，電勢(shì)不一定為零。 o
U ≠ 0, E = 0
不是指等 勢(shì)面上
★電勢(shì)不變的空間場(chǎng)強(qiáng)一定為零。
U = const , E = 0
dU El = ? dl
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三、場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)關(guān)系的應(yīng)用 例1：已知點(diǎn)電荷的電勢(shì) U =
Y
q 4πε 0 r
2 2
求E
2
r
Z
解： r =
X
x +y +z q
2 2
+
U=
4πε 0 x + y + z
2
?U qx Ex = ? = 2 2 2 3/ 2 ?x 4πε 0 ( x + y + z ) ?U qy Ey = ? = 2 2 2 3/ 2 ?y 4πε 0 ( x + y + z )
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?U qz Ez = ? = ?z 4πε 0 ( x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2
?U ? ?U ? ?U ? E =? i? j? k ?z ?x ?y
? ? j q ( xi + y? + zk ) = 2 2 2 3/ 2 4πε 0 ( x + y + z )
=
q 4πε 0 r
2
? r
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例2：均勻帶電圓盤軸線上任一點(diǎn)P的電勢(shì)為
σ 2 2 Up = ( R + x ? x) 2ε 0
求場(chǎng)強(qiáng)分布。
?U ? 解： E = ? i ∵ ?x
R
x
?? ? ?σ 2 2 ( R + x ? x) ? i P X =? ? ?x ? 2ε 0
?
σ x ? = (1 ? )i 2 2 2ε 0 R +x
12
例3：有一平面電場(chǎng)， = 3 x + 4 y ， U 求場(chǎng)強(qiáng)并大致地畫出電力線與等勢(shì)面。 解：E = ? gradU Y
θ
E
?U ? ?U ? j =? i? ?x ?y
j j o
X
? = ?3i ? 4 j (V/m)
?4 θ = arctan = arctan Ex ?3
Ey
= 233.1
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