江蘇高考附加題

沖刺一模附加題訓(xùn)練一

1.矩陣與變換

?m0?

設(shè)曲線2x2+2xy+y2=1在矩陣M=??(m>0)對應(yīng)的變換作用下得到的曲線為n1??

x2+y2=1，求矩陣M的逆矩陣M-1．

【解】設(shè)曲線2x2+2xy+y2=1上任一點P(x,y)在矩陣M對應(yīng)的變換下的像是

P'(x',y'),

?x'??m0??x??mx??x'=mx，

由??=第一文庫網(wǎng)?,得 =??????''?y??n1??y??nx+y??y=nx+y，

因為P'(x'，y')在圓x2+y2=1上,所以(mx)+(nx+y)=1，化簡可得

2

2

(m2+n2)x2+2nxy+y2=1．??????????3分

依題意可得m2+n2=2，2n=2，m=1，n=1或m=-1，n=1而由m>0可得m=1，n=1．???6分

?10??10?-1

故M=?,M=??-11?．??????????????????10分 11????

2.坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知圓C1:x2+y2=4,圓C2:(x-2)2+y2=4． （1）在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別求圓C1,C2的極坐標(biāo)

方程及這兩個圓的交點的極坐標(biāo)； （2）求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程．

【解】（1）圓C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2， 圓C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，

?ρ=2，由?

?ρ=4cosθ

得ρ=2，θ=±

π3

，故圓C1，C2交點坐標(biāo)為圓

，2，-)．???????5分 )(2(33

（2）由（1）得，圓C1，

C2交點直角坐標(biāo)為(1，(1，，

??x=1，故圓C1與

C2的公共弦的參數(shù)方程為? ????????10分

y=t(t．??

注：第（1）小題中交點的極坐標(biāo)表示不唯一；第（2）小題的結(jié)果中，若未注明參數(shù)

范圍，扣2分．

3.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A1B=2．

（1）求棱AA1與BC所成的角的大��；

（2）在棱B1C1上確定一點P，使二面角P-AB

-A1．

【解】（1）如圖，以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系， 則 C(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(0，2，2)，B1(0，4，2)，

C1

B1

A1

AA1=(0，2，2)，BC=B1C1=(2，-2，0)．

1cos?AA1，BC?===-，

2AA1?BC

故AA1與棱BC所成的角是． ?????????4分

3（2）P為棱B1C1中點，

設(shè)B1P=λB1C1=(2λ，4-2λ，2)． -2λ，0)，則P(2λ，設(shè)平面PAB的法向量為n1=(x,y,z)，AP=(2λ，4-2λ，2)，

C1

AA1?BC

C

A

（第3題）

??n?AP=0，?x+3y+2z=0，?z=-λx，則?1 ????

?2y=0?y=0．??n1?AB=0

故n1=(1，0，-

λ)?????????????????8分

而平面ABA1的法向量是n2=(1，0，0)，則cos?n1,n2?=解得λ=

n1?n2=，

n1?n21

，即P為棱B1C1中點，其坐標(biāo)為P(1???????10分 ，3，2)．2

4．設(shè)b>0，函數(shù)f(x)=(ax+1)2-x+lnbx，記F(x)=f'(x)（f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)

2abbb函數(shù)），且當(dāng)x = 1時，F(xiàn)(x)取得極小值2． （1）求函數(shù)F(x)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）證明[F(x)]-F(xn)≥2n-2(n∈N*)．

n

【解】（1）由題F(x)=f'(x)=1?2(ax+1)?a-1+1=1ax+1，x>0，b>0．

2abbbxbx于是F'(x)=1a-12，若a<0，則F'(x)<</p>

0，與F(x)有極小值矛盾，所以a>0．

bx令F'(x)=0，并考慮到x>0，知僅當(dāng)x=時，F(xiàn)(x)取得極小值．

()

()

=1，所以解得a=b=1．??????????????????4分

?(a+1)=2，?b+∞)． 故F(x)=x+1(x>0)，由F'(x)>0，得x>1，所以F(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，

（2）因為x>0，所以記g(x)=[F(x)]

n

-F(x)=[F(x)]-F(x)=x+x

n

n

n

()-(x+x)

n

n

n

n-1n-2n-3-1=C1?+C2?2+C3?3+??????+Cnnxnxnxnx?n-1 xxxx

n-r-rr因為Cr?+Cn，2，L，n-1)， nxnx?n-r≥2Cn(r=1xx23n-1n

所以2g(x)≥2(C1n+Cn+Cn+??????+Cn)=2(2-2)，故

[F(x)]

n

-F(xn)≥2n-2(n∈N*)．???10分

沖刺一模附加題訓(xùn)練二

1. 已知矩陣M=?

?1　x?

的一個特征值為-1，求其另一個特征值. ?

?2　1　?

x2y2

2. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓+=1的右頂點為A，上頂點為B，點P是第一

164

象限內(nèi)在橢圓上的一個動點，求?PAB面積S的最大值． 3. 設(shè)10件同類型的零件中有2件不合格品，從所有零件中依次不放回地取出3件，以X表示取出的3件中不合格品的件數(shù)．

（1）求“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率；

（2）求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X)．

4. 三棱柱ABC-A1B1C1在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，已知AB=2，AC=4，

AA1=3．D是BC的中點．

（1）求直線DB1與平面AC11D所成角的正弦值； （2）求二面角B1-A1D-C1的大小的正弦值．

沖刺一模附加題訓(xùn)練三

1.矩陣與變換

?10?

已知曲線C: y2=2x，在矩陣M=??對應(yīng)的變換作用下得到曲線C1，C1在矩陣02???0-1?N=??對應(yīng)的變換作用下得到曲線C2，求曲線C2的方程． 10??

?0-1??10??0-2?解：設(shè)A=NM，則A=???02?=?10?， ?????????????3分 10??????

設(shè)P(x', y')是曲線C上任一點，在兩次變換下，在曲線C2上的對應(yīng)的點為P(x, y)， x'=y,

?x??0-2??x'??-2y'??x=-2y',??則 ??=???y'?=?x'?， 即?y=x',∴?y'=-1x. ????7分 10y???????????2

又點P(x', y')在曲線C: y2=2x上，∴ (-1x)2=2y，即y=1x2．????10分

82.坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知極坐標(biāo)系的極點在直角坐標(biāo)系的原點，極軸與x軸的正半軸重合．曲線C的極坐??x=,

標(biāo)方程為ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直線l

的參數(shù)方程為?(t為參數(shù)，t∈R)．試

y=1+t??

在曲線C上求一點M，使它到直線l的距離最大．

x2

解：曲線C的普通方程是+y2=1． ??????????????2分

3

直線l

的普通方程是x=0． ?????????4分 設(shè)點M

的直角坐標(biāo)是θ,sinθ)，則點M到直線l的距離是

d

7分

因為≤θ+

π

4

)≤

πππ3π

當(dāng)sin(θ+)=-1，即θ+=2kπ-(k∈Z)，即θ=2kπ-(k∈Z)時，d取得最大值．

4424θ=． 7π

綜上，點M

的極坐標(biāo)為)時，該點到直線l的距離最大． ??10分

6

θ=注 凡給出點M

的直角坐標(biāo)為(，不扣分．

3．如圖，已知定點R(0，－3)，動點P，Q分別在x軸和y軸上移動，延長PQ至點M，使PQ=1QM，且PR?PM=0．

2（1）求動點M的軌跡C1；

（2）圓C2： x2+(y-1)2=1，過點(0，1)的直線l依次交C1于A，D兩點

（從左到右），交C2于B，C兩點（從左到右），求證：AB?CD為定值．

（第3題）

1

解：（1）法一：設(shè)M(x，y)，P(x1，0)，Q(0，y2)，則由PR?PM=0,PQ=QM及R(0，－3)，

2得

?

?-x1(x-x1)+(-3)y=0,?

1?

化簡，得x2=4y．??????4分 ?-x1=x,

2?

11?y=y-y2.2??22

所以，動點M的軌跡C1是頂點在原點，開口向上的拋物線．????5分 法二：設(shè)M(x，y)．

1xy由PQ=QM，得 P(-,0),Q(0,)．

223x3x

所以，PR=(,-3),PM=(,y)．

22

x33

由PRPM=0，得 (,-3)?(x,y)=0，即x2-3y=0．化簡得 x2=4y． 4分

224所以，動點M的軌跡C1是頂點在原點，開口向上的拋物線．???5分

（2）證明：由題意，得 AB?CD=AB?CD，⊙C2的圓心即為拋物線C1的焦點F． 設(shè)A(x1,y1)，D(x2,y2)，則AB=FA-FB=y1+1-1=y1． ??????7分 同理 CD=y2．

設(shè)直線的方程為 x=k(y-1)．

?x=k(y-1),

12?22222

由?12得y=k(y-1)，即ky-(2k-4)y+k=0．

4y=x,??4

所以，AB?CD=AB?CD=y1y2=1． ??????????10分 4．已知數(shù)列{an}滿足：a1=2a-2,an+1=aan-1+1(n∈N*)． （1）若a=-1，求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）若a=3，試證明：對?n∈N*，an是4的倍數(shù)．

解：(1)當(dāng)a=-1時，a1=-4,an+1=(-1)an-1+1．

令bn=an-1，則b1=-5,bn+1=(-1)bn． 因b1=-5為奇數(shù)，bn也是奇數(shù)且只能為-1， 所

以

，

?-5,n=1,bn=?

?-1,n≥2,

即

?-4,n=1,

?????????????????????3分 an=?

0,n≥2.?

(2)當(dāng)a=3時，

a1=4,an+1=3an-1+1． ????????????????????????4分

下面利用數(shù)學(xué)歸納法來證明：an是4的倍數(shù)． 當(dāng)n=1時，a1=4=4?1，命題成立；

設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時，命題成立，則存在t∈N*，使得ak=4t，

∴ak+1=3ak-1+1=34t-1+1=27?(4-1)4(t-1)+1=27?(4m+1)+1=4(27m+7)，

4t-5

+其中，4m=44(t-1)-C14(t-1)?4

4t-4-r

+(-1)rCr+4(t-1)?4

t-3

-C44(t-1)?4，

∴m∈Z，∴當(dāng)n=k+1時，命題成立．

∴

由數(shù)學(xué)歸納法原理知命題對?n∈N*成

立． ???????????????????10分

沖刺一模附加題訓(xùn)練四

?x??x'??x+2y?

1.已知，點A在變換T：??→??=?作用后，再繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90o，得到?

?y??y'??y?

點、B．若點B的坐標(biāo)為（-3，4），求點A的坐標(biāo)． 2.已知在極坐標(biāo)系下，圓C：p= 2cos（θ+

π

2

）與直線l：ρsin（θ+

π

4

）

M為

圓C上的動點．求點M到直線l距離的最大值．

3.銀行的一個營業(yè)窗口可辦理四類業(yè)務(wù)，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間互相獨立，且都是整

數(shù)分鐘，經(jīng)統(tǒng)計以往100位顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間（t），結(jié)果如下：

注：銀行工作人員在辦理兩項業(yè)務(wù)時的間隔時間忽略不計，并將頻率視為概率． （Ⅰ）求銀行工作人員恰好在第6分鐘開始辦理第三位顧客的業(yè)務(wù)的概率； （Ⅱ）用X表示至第4分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

4.已知函數(shù)f（x）=

12

x+1nx． 2

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值、最小值；

（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x），求證：[g(x)]n-g(xn)≥2n-2(n∈N+)．

沖刺一模附加題訓(xùn)練五

1.已知矩陣A=?

?1　a??-1?

α=λ=-1的一個特征值為，其對應(yīng)的一個特征向量為，已11???

?c0　??1?

知β=??，求A5β.

2.

已知直線的參數(shù)方程?

?8??1?

??x=2-t

（為參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程：ρ+2sinθ=0．

??y=1（1）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

（2）在圓C上求一點P，使得點P到直線的距離最�。�

3.如圖，圓錐的高PO=4，底面半徑OB=2，D為PO的中點，E為母線PB的中點，F(xiàn)為底面圓周上一點，滿足EF⊥DE．

（1）求異面直線EF與BD所成角的余弦值； （2）求二面角O-DF-E的正弦值．

A B

4.（1）山水城市鎮(zhèn)江有“三山”——金山、焦山、北固山，一位游客游覽這三個景點的概率都是0.5，且該游客是否游覽這三個景點相互獨立，用ξ表示這位游客游覽的景點數(shù)和沒有游覽的景點數(shù)差的絕對值，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）某城市有n（n為奇數(shù)，n≥3）個景點，一位游客游覽每個景點的概率都是0.5，且該游客是否游覽這n個景點相互獨立，用ξ表示這位游客游覽的景點數(shù)和沒有游覽的景點數(shù)差的絕對值，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

D

E

沖刺一模附加題訓(xùn)練六

1.矩陣與變換

?-1a?

已知a,b∈R，若矩陣M=??所對應(yīng)的變換把直線l：2x-y=3變換為自身，求b3??M-1.

【解】對于直線l上任意一點(x,y)，在矩陣M對應(yīng)的變換作用下變換成點(x',y')，

?-1a??x??-x+ay??x'?則?=?=??， ????

?b3??y??bx+3y??y'?

因為2x'-y'=3，所以2(-x+ay)-(bx+3y)=3， ???????????????4分

?-2-b=2,?a=1,所以?解得?

?2a-3=-1,?b=-4.

?-11?所以M=??， ????????????????????????????7分 -43???3-1?所以M-1=?. ????????????????????????10分 ?

?4-1?

2.坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在極坐標(biāo)系中，已知直線2ρcosθ+ρsinθ+a=0(a>0)被圓ρ=4sinθ截得的弦長為2，求a的值.

【解】直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為2x+y+a=0， ??????????3分

圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4y，即x2+(y-2)2=4 ，????6分 因為截得的弦長為2，所以圓心(0,2)

，

=a>

0，所以a=2. ???????????????10分

3.

如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1=6，AB=2，M,N分別是棱BB1，CC1上的點，且BM=4，CN=2. ⑴求異面直線AM與AC11所成角的余弦值； ⑵求二面角M-AN-A1的正弦值.

1

1

A1

（第3題圖）

【解】⑴以AC的中點為原點O，分別以O(shè)A,OB所在直線為x,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

O-xyz（如圖）C，. 則O(0,0,0)，A(1,0,0)，

A1(1,6,0)，C1(-1,6,0).

所以AM=(-，AC11=(-2,0,0). 所以cos=

AMA1C1AMA1C1

=

=

所以異面直線AM與AC11

⑵平面ANA1的一個法向量為m=(0,0,1).

設(shè)平面AMN的法向量為n

=(x,y,z)，因為AM=(-，AN=(-2,2,0)，

??n⊥AM,??-x+4y=0,由?得?令x=

1，則n=(1,1,.

???-2x+2y=0,?n

⊥AN,

所以cos=

mn， ==mn. ?????????????????10分 02n-112n-222n-3rnn-1

4.已知函數(shù)f(x)=Cnx,n∈N*． -Cnx+Cnx-+Cn(-1)rx2n-1-r++Cnn(-1)x⑴當(dāng)n≥2時，求函數(shù)f(x)的極大值和極小值；

所以二面角

M-AN-A11

⑵是否存在等差數(shù)列{an}，使得a1C0n+a2Cn+并說明理由．

n

+an+1Cn=nf(2)對一切n∈N*都成立？

n1n-1n-2rn-r

【解】（1）f(x)=xn-1[C0+C2-???+Cr+???+(-1)nCnnx-Cnxnxn(-1)xn]

=xn-1(x-1)n，

f'(x)=(n-1)xn-2(x-1)n+xn-1?n(x-1)n-1=xn-2(x-1)n-1[(n-1)(x-1)+nx]，

令f'(x)=0得x1=0,x2=

n-1

,x3=1， 2n-1

因為n≥2，所以x1

x

(-∞,0)

(0,

n-1

)2n-1

n-12n-1

(

n-1

,1)2n-1

1

(1,+∞)

f'(x)

+ 0 + 0

-

+

f

(x)

無

極值

極大值

極小值

(n-1)n-1?(-n)nn-1

所以當(dāng)x=時，y極大；當(dāng)x=1時，y極小=0．???4分

(2n-1)2n-12n-1

當(dāng)n為奇數(shù)時f(x)的增減性如下表：

x

(-∞,0)

(0,

n-1

)2n-1

n-12n-1

(

n-1

,1)2n-1

1

(1,+∞)

f'(x)

+ 0

-

0 + 0 +

f(x

)

極大值

極小值

無極值

(n-1)n-1?(-n)nn-1

所以x=0時，y極大=0；當(dāng)x=時，y極小=．????6分

(2n-1)2n-12n-1

12nn-1

（2）假設(shè)存在等差數(shù)列{an}使a1C0成立， n+a2Cn+a3Cn+???+an+1Cn=n?2

n-m

由組合數(shù)的性質(zhì)Cm， n=Cn

12nn-1把等式變?yōu)閍n+1C0， n+anCn+an-1Cn+???+a1Cn=n?2

兩式相加，因為{an}是等差數(shù)列，所以a1+an+1=a2+an=a3+an-1=

1故(a1+an+1)(C0n+Cn+

=an+1+a1，

n

+Cn)=n?2n，

所以a1+an+1=n． ?????????????????????????8分 再分別令n=1，n=2，得a1+a2=1且a1+a3=2，

進(jìn)一步可得滿足題設(shè)的等差數(shù)列{an}的通項公式為an=n-1(n∈N*)．???10分

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