亚洲一区亚洲二区亚洲三区,国产成人高清在线,久久久精品成人免费看,999久久久免费精品国产牛牛,青草视频在线观看完整版,狠狠夜色午夜久久综合热91,日韩精品视频在线免费观看

matlab線性規(guī)劃

時(shí)間:2023-04-30 22:05:56 資料 我要投稿
  • 相關(guān)推薦

matlab線性規(guī)劃

MATLAB 優(yōu)化問(wèn)題

1 線性規(guī)劃問(wèn)題

線性規(guī)劃問(wèn)題是目標(biāo)函數(shù)和約束條件均為線性函數(shù)的問(wèn)題,MATLAB6.0解決的線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式為:

min f(x)x?R

sub.to:A?x?b

Aeq?x?beq

lb?x?ub n

其中f、x、b、beq、lb、ub為向量,A、Aeq為矩陣。

其它形式的線性規(guī)劃問(wèn)題都可經(jīng)過(guò)適當(dāng)變換化為此標(biāo)準(zhǔn)形式。

在MATLAB6.0版中,線性規(guī)劃問(wèn)題(Linear Programming)已用函數(shù)linprog取代了函數(shù) linprog

格式 x = linprog(f,A,b) %求min f ' *x sub.to A?x?b線性規(guī)劃的最優(yōu)解。

x = linprog(f,A,b,Aeq,beq) %等式約束Aeq?x?beq,若沒有不等式約束

A?x?b,則A=[ ],b=[ ]。

x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %指定x的范圍lb?x?ub,若沒有等式約束

Aeq?x?beq ,則Aeq=[ ],beq=[ ]

x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %設(shè)置初值x0

x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options為指定的優(yōu)化參數(shù)

[x,fval] = linprog(?) % 返回目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值,即fval= f ' *x。

[x,lambda,exitflag] = linprog(?) % lambda為解x的Lagrange乘子。

[x, lambda,fval,exitflag] = linprog(?) % exitflag為終止迭代的錯(cuò)誤條件。

[x,fval, lambda,exitflag,output] = linprog(?) % output為關(guān)于優(yōu)化的一些信息

說(shuō)明 若exitflag>0表示函數(shù)收斂于解x,exitflag=0表示超過(guò)函數(shù)估值或迭代的最大數(shù)字,exitflag

例5-1 求下面的優(yōu)化問(wèn)題

min ?5x1?4x2?6x3

sub.to x1?x2?x3?20

3x1?2x2?4x3?42

3x1?2x2?30

.

0?x1,0?x2,0?x3

解:

>>f = [-5; -4; -6];

>>A = [1 -1 1;3 2 4;3 2 0];

>>b = [20; 42; 30];

>>lb = zeros(3,1);

>>[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb)

結(jié)果為:

x = %最優(yōu)解

0.0000

15.0000

3.0000

fval = %最優(yōu)值

-78.0000

exitflag = %收斂

1

output =

iterations: 6 %迭代次數(shù)

cgiterations: 0

algorithm: 'lipsol' %所使用規(guī)則

lambda =

ineqlin: [3x1 double]

eqlin: [0x1 double]

upper: [3x1 double]

lower: [3x1 double]

>> lambda.ineqlin

ans =

0.0000

1.5000

0.5000

>> lambda.lower

ans =

1.0000

0.0000

0.0000

表明:不等約束條件2和3以及第1個(gè)下界是有效的

2 非線性規(guī)劃問(wèn)題

2.1 有約束的一元函數(shù)的最小值

單變量函數(shù)求最小值的標(biāo)準(zhǔn)形式為minf(x) sub.to x1?x?x2 x

在MATLAB中使用fmin函數(shù)求其最小值。

函數(shù) fminbnd

格式 x = fminbnd(fun,x1,x2) %返回自變量x在區(qū)間x1?x?x2上函數(shù)fun取最小值

時(shí)x值,fun為目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式字符串或MATLAB

自定義函數(shù)的函數(shù)柄。

x = fminbnd(fun,x1,x2,options) % options為指定優(yōu)化參數(shù)選項(xiàng)

[x,fval] = fminbnd(?) % fval為目標(biāo)函數(shù)的最小值

[x,fval,exitflag] = fminbnd(?) %xitflag為終止迭代的條件

[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(?) % output為優(yōu)化信息

說(shuō)明 若參數(shù)exitflag>0,表示函數(shù)收斂于x,若exitflag=0,表示超過(guò)函數(shù)估計(jì)值或迭代的最大數(shù)字,exitflag

例5-2 計(jì)算下面函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的最小值。

x3?cosx?xlogx f(x)?e解:>> [x,fval,exitflag,output]=fminbnd('(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)',0,1)

x =

0.5223

fval =

0.3974

exitflag =

1

output =

iterations: 9

funcCount: 9

algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation'

例5-3 在[0,5]上求下面函數(shù)的最小值f(x)?(x?3)3?1

解:先自定義函數(shù):在MATLAB編輯器中建立M文件為:

function f = myfun(x)

f = (x-3).^2 - 1;

保存為myfun.m,然后在命令窗口鍵入命令:

>> x=fminbnd(@myfun,0,5)

則結(jié)果顯示為:

x =

3

2.2 無(wú)約束多元函數(shù)最小值

多元函數(shù)最小值的標(biāo)準(zhǔn)形式為minf(x) x

其中:x為向量,如x?[x1,x2,?,xn]

在MATLAB中使用fmins求其最小值。

命令 利用函數(shù)fminsearch求無(wú)約束多元函數(shù)最小值

函數(shù) fminsearch

格式 x = fminsearch(fun,x0) %x0為初始點(diǎn),fun為目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式字符串或

MATLAB自定義函數(shù)的函數(shù)柄。

x = fminsearch(fun,x0,options) % options查optimset

.

[x,fval] = fminsearch(?) %最優(yōu)點(diǎn)的函數(shù)值

[x,fval,exitflag] = fminsearch(?) % exitflag與單變量情形一致

[x,fval,exitflag,output] = fminsearch(?) %output與單變量情形一致

注意:fminsearch采用了Nelder-Mead型簡(jiǎn)單搜尋法。

32例5-4 求y?2x1?4x1x32?10x1x2?x2的最小值點(diǎn)

解:>>X=fminsearch('2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2', [0,0])

結(jié)果為

X =

1.0016 0.8335

或在MATLAB編輯器中建立函數(shù)文件

function f=myfun(x)

f=2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2;

保存為myfun.m,在命令窗口鍵入

>> X=fminsearch ('myfun', [0,0]) 或 >> X=fminsearch(@myfun, [0,0])

結(jié)果為:

X =

1.0016 0.8335

命令 利用函數(shù)fminunc求多變量無(wú)約束函數(shù)最小值

函數(shù) fminunc

格式 x = fminunc(fun,x0) %返回給定初始點(diǎn)x0的最小函數(shù)值點(diǎn)

x = fminunc(fun,x0,options) % options為指定優(yōu)化參數(shù)

[x,fval] = fminunc(?) %fval最優(yōu)點(diǎn)x處的函數(shù)值

[x,fval,exitflag] = fminunc(?) % exitflag為終止迭代的條件,與上同。

[x,fval,exitflag,output] = fminunc(?) %output為輸出優(yōu)化信息

[x,fval,exitflag,output,grad] = fminunc(?) % grad為函數(shù)在解x處的梯度值

[x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc(?) %目標(biāo)函數(shù)在解x處的海賽

(Hessian)值

注意:當(dāng)函數(shù)的階數(shù)大于2時(shí),使用fminunc比f(wàn)minsearch更有效,但當(dāng)所選函數(shù)高度不連續(xù)時(shí),使用fminsearch效果較好。

2?2x1x2?x2例5-5 求f(x)?3x12的最小值。

>> fun='3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2';

>> x0=[1 1];

>> [x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(fun,x0)

結(jié)果為:

x =

1.0e-008 *

-0.7591 0.2665

fval =

1.3953e-016

exitflag =

1

output =

iterations: 3

funcCount: 16

stepsize: 1.2353

firstorderopt: 1.6772e-007

algorithm: 'medium-scale: Quasi-Newton line search'

grad =

1.0e-006 *

-0.1677

0.0114

hessian =

6.0000 2.0000

2.0000 2.0000

或用下面方法:

>> fun=inline('3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2')

fun =

Inline function:

fun(x) = 3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2

>> x0=[1 1];

>> x=fminunc(fun,x0)

x =

1.0e-008 *

-0.7591 0.2665

2.3 有約束的多元函數(shù)最小值

非線性有約束的多元函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式為:

minf(x) x

sub.to C(x)?0

Ceq(x)?0

A?x?b

Aeq?x?beq

lb?x?ub

其中:x、b、beq、lb、ub是向量,A、Aeq為矩陣,C(x)、Ceq(x)是返回向量的函數(shù),f(x)為目標(biāo)函數(shù),f(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非線性函數(shù)。

在MATLAB5.x中,它的求解由函數(shù)constr實(shí)現(xiàn)。

函數(shù) fmincon

格式 x = fmincon(fun,x0,A,b)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

[x,fval] = fmincon(?)

[x,fval,exitflag] = fmincon(?)

[x,fval,exitflag,output] = fmincon(?)

[x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon(?)

.

[x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(?)

[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(?)

參數(shù)說(shuō)明:fun為目標(biāo)函數(shù),它可用前面的方法定義;

x0為初始值;

A、b滿足線性不等式約束A?x?b,若沒有不等式約束,則取A=[ ],b=[ ];

Aeq、beq滿足等式約束Aeq?x?beq,若沒有,則取Aeq=[ ],beq=[ ];

lb、ub滿足lb?x?ub,若沒有界,可設(shè)lb=[ ],ub=[ ];

nonlcon的作用是通過(guò)接受的向量x來(lái)計(jì)算非線性不等約束C(x)?0和等式

約束Ceq(x)?0分別在x處的估計(jì)C和Ceq,通過(guò)指定函數(shù)柄來(lái)使用,

如:>>x = fmincon(@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon),先建立非

線性約束函數(shù),并保存為mycon.m:function [C,Ceq] = mycon(x)

C = ? % 計(jì)算x處的非線性不等約束C(x)?0的函數(shù)值。

Ceq = ? % 計(jì)算x處的非線性等式約束Ceq(x)?0的函數(shù)值。

lambda是Lagrange乘子,它體現(xiàn)哪一個(gè)約束有效。

output輸出優(yōu)化信息;

grad表示目標(biāo)函數(shù)在x處的梯度;

hessian表示目標(biāo)函數(shù)在x處的Hessiab值。

例5-6 求下面問(wèn)題在初始點(diǎn)(0,1)處的最優(yōu)解

2min x1?x22?x1x2?2x1?5x2

sub.to ?(x1?1)2?x2?0

2x1?3x2?6?0

解:約束條件的標(biāo)準(zhǔn)形式為

sub.to (x1?1)2?x2?0

?2x1?3x2?6

先在MATLAB編輯器中建立非線性約束函數(shù)文件:

function [c, ceq]=mycon (x)

c=(x(1)-1)^2-x(2);

ceq=[ ]; %無(wú)等式約束

然后,在命令窗口鍵入如下命令或建立M文件:

>>fun='x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2)'; %目標(biāo)函數(shù)

>>x0=[0 1];

>>A=[-2 3]; %線性不等式約束

>>b=6;

>>Aeq=[ ]; %無(wú)線性等式約束

>>beq=[ ];

>>lb=[ ]; %x沒有下、上界

>>ub=[ ];

>>[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]

=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)

則結(jié)果為

x =

3 4

fval =

-13

exitflag = %解收斂

1

output =

iterations: 2

funcCount: 9

stepsize: 1

algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search'

firstorderopt: [ ]

cgiterations: [ ]

lambda =

lower: [2x1 double] %x下界有效情況,通過(guò)lambda.lower可查看。

upper: [2x1 double] %x上界有效情況,為0表示約束無(wú)效。

eqlin: [0x1 double] %線性等式約束有效情況,不為0表示約束有效。

eqnonlin: [0x1 double] %非線性等式約束有效情況。

ineqlin: 2.5081e-008 %線性不等式約束有效情況。

ineqnonlin: 6.1938e-008 %非線性不等式約束有效情況。

grad = %目標(biāo)函數(shù)在最小值點(diǎn)的梯度

1.0e-006 *

-0.1776

hessian = %目標(biāo)函數(shù)在最小值點(diǎn)的Hessian值

1.0000 -0.0000

-0.0000 1.0000

例5-7 求下面問(wèn)題在初始點(diǎn)x=(10, 10, 10)處的最優(yōu)解。

Min f(x)??x1x2x3

Sub.to 0?x1?2x2?2x3?72

解:約束條件的標(biāo)準(zhǔn)形式為

sub.to ?x1?2x2?2x3?0 x1?2x2?2x3?72

>> fun= '-x(1)*x(2)*x(3)';

>> x0=[10,10,10];

>> A=[-1 -2 -2;1 2 2];

>> b=[0;72];

>> [x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b)

結(jié)果為:

x =

24.0000 12.0000 12.0000

fval =

-3456

2.4 二次規(guī)劃問(wèn)題

二次規(guī)劃問(wèn)題(quadratic programming)的標(biāo)準(zhǔn)形式為:

minx?Hx?f?x sub.to A?x?b

?x?beq Aeq

lb?x?ub

其中,H、A、Aeq為矩陣,f、b、beq、lb、ub、x為向量

.

其它形式的二次規(guī)劃問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式。

MATLAB中二次規(guī)劃應(yīng)用函數(shù)quadprog。

函數(shù) quadprog

格式 x = quadprog(H,f,A,b) %其中H,f,A,b為標(biāo)準(zhǔn)形中的參數(shù),x為目標(biāo)函數(shù)的最小

值。

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) %Aeq,beq滿足等約束條件Aeq?x?beq。

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) % lb,ub分別為解x的下界與上界。

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %x0為設(shè)置的初值

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options為指定的優(yōu)化參數(shù)

[x,fval] = quadprog(?) %fval為目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值

[x,fval,exitflag] = quadprog(?) % exitflag與線性規(guī)劃中參數(shù)意義相同

[x,fval,exitflag,output] = quadprog(?) % output與線性規(guī)劃中參數(shù)意義相同

[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(?) % lambda與線性規(guī)劃中參數(shù)意義

相同 例5-8 求解下面二次規(guī)劃問(wèn)題

min

sub.to 2f(x)?x1?x22?x1x2?2x1?6x2 x1?x2?2

?x1?2x2?2

2x1?x2?3

0?x1,0?x2

解:f(x)?x?Hx?f?x ?1?1??x1???2?f?x?則H??,,???6??x? ?12???2???

在MATLAB中實(shí)現(xiàn)如下:

>>H = [1 -1; -1 2] ;

>>f = [-2; -6];

>>A = [1 1; -1 2; 2 1];

>>b = [2; 2; 3];

>>lb = zeros(2,1);

>>[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[ ],[ ],lb)

結(jié)果為:

x = %最優(yōu)解

0.6667

1.3333

fval = %最優(yōu)值

-8.2222

exitflag = %收斂

1

output =

iterations: 3

algorithm: 'medium-scale: active-set'

firstorderopt: [ ]

cgiterations: [ ]

lambda =

lower: [2x1 double]

upper: [2x1 double]

eqlin: [0x1 double]

ineqlin: [3x1 double]

>> lambda.ineqlin

ans =

3.1111

0.4444

>> lambda.lower

ans =

說(shuō)明 第1、2個(gè)約束條件有效,其余無(wú)效。

例5-9 求二次規(guī)劃的最優(yōu)解

max f (x1, x2)=x1x2+3

sub.to x1+x2-2=0

解:化成標(biāo)準(zhǔn)形式:

?0?1??x1??x1?minf(x1x2)??x1x2?3?(x1x2)?????(0,0)???3 ??10??x2??x2?

sub.to x1+x2=2

在Matlab中實(shí)現(xiàn)如下:

>>H=[0,-1;-1,0];

>>f=[0;0];

>>Aeq=[1 1];

>>b=2;

>>[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,[ ],[ ],Aeq,b)

結(jié)果為:

x =

1.0000

1.0000

fval =

-1.0000

exitflag =

1

output =

firstorderopt: 0

iterations: 1

cgiterations: 1

algorithm: [1x58 char]

lambda =

eqlin: 1.0000

ineqlin: [ ]

lower: [ ]

upper: [ ]

.

3 “半無(wú)限”有約束的多元函數(shù)最優(yōu)解

“半無(wú)限”有約束多元函數(shù)最優(yōu)解問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式為

minxf(x)

sub.to C(x)?0

Ceq(x)?0

A?x?b

Aeq?x?beq

K1(x,w1)?0

K2(x,w2)?0

?

Kn(x,wn)?0

其中:x、b、beq、lb、ub都是向量;A、Aeq是矩陣;C(x)、Ceq(x)、Ki(x,wi)是返回向量的函數(shù),f(x)為目標(biāo)函數(shù);f(x)、C(x)、Ceq(x)是非線性函數(shù);Ki(x,wi)為半無(wú)限約束,w1,w2,?,wn通常是長(zhǎng)度為2的向量。

在MTALAB5.x中,使用函數(shù)seminf解決這類問(wèn)題。

函數(shù) fseminf

格式 x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon)

x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b)

x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq)

x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)

[x,fval] = fseminf(?)

[x,fval,exitflag] = fseminf(?)

[x,fval,exitflag,output] = fseminf(?)

[x,fval,exitflag,output,lambda] = fseminf(?)

參數(shù)說(shuō)明:x0為初始估計(jì)值;

fun為目標(biāo)函數(shù),其定義方式與前面相同;

A、b由線性不等式約束A?x?b確定,沒有,則A=[ ],b=[ ];

Aeq、beq由線性等式約束Aeq?x?beq確定,沒有,則Aeq=[ ],beq=[ ]; Lb、ub由變量x的范圍lb?x?ub確定;

options為優(yōu)化參數(shù);

ntheta為半無(wú)限約束的個(gè)數(shù);

seminfcon用來(lái)確定非線性約束向量C和Ceq以及半無(wú)限約束的向量K1,

K2,?,Kn,通過(guò)指定函數(shù)柄來(lái)使用,如:

x = fseminf(@myfun,x0,ntheta,@myinfcon)

先建立非線性約束和半無(wú)限約束函數(shù)文件,并保存為myinfcon.m:

function [C,Ceq,K1,K2,?,Kntheta,S] = myinfcon(x,S)

%S為向量w的采樣值

% 初始化樣本間距

if isnan(S(1,1)),

S = ? % S 有ntheta行2列

end

w1 = ? %計(jì)算樣本集

w2 = ? %計(jì)算樣本集

?

wntheta = ? % 計(jì)算樣本集

K1 = ? % 在x和w處的第1個(gè)半無(wú)限約束值

K2 = ? %在x和w處的第2個(gè)半無(wú)限約束值

?

Kntheta = ? %在x和w處的第ntheta個(gè)半無(wú)限約束值

C = ? % 在x處計(jì)算非線性不等式約束值

Ceq = ? % 在x處計(jì)算非線性等式約束值

如果沒有約束,則相應(yīng)的值取為“[ ]”,如Ceq=[]

fval為在x處的目標(biāo)函數(shù)最小值;

exitflag為終止迭代的條件;

output為輸出的優(yōu)化信息;

lambda為解x的Lagrange乘子。

例5-10 求下面一維情形的最優(yōu)化問(wèn)題

minxf(x)?(x1?0.5)2?(x2?0.5)2?(x3?0.5)2

sub.to

K1(x,w1)?sin(w1x1)cos(w1x2)?(w1?50)2?sin(w1x3)?x3?1 K2(x,w2)?sin(w2x2)cos(w2x1)?(w2?50)2?sin(w2x3)?x3?1 1?w1?100

1?w2?100

解:將約束方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式:

K1(x,w1)?sin(w1x1)cos(w1x2)?(w1?50)2?sin(w1x3)?x3?1?0 K2(x,w2)?sin(w2x2)cos(w2x1)?(w2?50)2?sin(w2x3)?x3?1?0 先建立非線性約束和半無(wú)限約束函數(shù)文件,并保存為mycon.m:

function [C,Ceq,K1,K2,S] = mycon(X,S)

% 初始化樣本間距:

.

if isnan(S(1,1)),

S = [0.2 0; 0.2 0];

end

% 產(chǎn)生樣本集:

w1 = 1:S(1,1):100;

w2 = 1:S(2,1):100;

% 計(jì)算半無(wú)限約束:

K1 = sin(w1*X(1)).*cos(w1*X(2)) - 1/1000*(w1-50).^2 -sin(w1*X(3))-X(3)-1;

K2 = sin(w2*X(2)).*cos(w2*X(1)) - 1/1000*(w2-50).^2 -sin(w2*X(3))-X(3)-1;

% 無(wú)非線性約束:

C = [ ]; Ceq=[ ];

% 繪制半無(wú)限約束圖形

plot(w1,K1,'-',w2,K2,':'),title('Semi-infinite constraints')

然后在MATLAB命令窗口或編輯器中建立M文件:

fun = 'sum((x-0.5).^2)';

x0 = [0.5; 0.2; 0.3]; % Starting guess

[x,fval] = fseminf(fun,x0,2,@mycon)

結(jié)果為:

x =

0.6673

0.3013

0.4023

fval =

0.0770

>>[C,Ceq,K1,K2] = mycon (x,NaN); % 利用初始樣本間距

>>max(K1)

ans =

-0.0017

>>max(K2)

ans =

-0.0845

圖5-1

例5-11 求下面二維情形的最優(yōu)化問(wèn)題

minxf(x)?(x1?0.2)2?(x2?0.2)2?(x3?0.2)2

sub.to

K1(x,w)?sin(w1x1)cos(w2x2)?(w1?50)2?sin(w1x3)?x3??

sin(w2x2)cos(w1x1)?(w2?50)2?sin(w2x3)?x3?1.5 1?w1?100

1?w2?100

初始點(diǎn)為x0=[0.25, 0.25, 0.25]。

解:先建立非線性和半無(wú)限約束函數(shù)文件,并保存為mycon.m:

function [C,Ceq,K1,S] = mycon(X,S)

% 初始化樣本間距:

if isnan(s(1,1)),

s = [2 2];

end

% 設(shè)置樣本集

w1x = 1:s(1,1):100;

w1y = 1:s(1,2):100;

[wx, wy] = meshgrid(w1x,w1y);

% 計(jì)算半無(wú)限約束函數(shù)值

K1 = sin(wx*X(1)).*cos(wx*X(2))-1/1000*(wx-50).^2 -sin(wx*X(3))-X(3)+…

sin(wy*X(2)).*cos(wx*X(1))-1/1000*(wy-50).^2-sin(wy*X(3))-X(3)-1.5;

% 無(wú)非線性約束

C = [ ]; Ceq=[ ];

%作約束曲面圖形

m = surf(wx,wy,K1,'edgecolor','none','facecolor','interp');

camlight headlight

title('Semi-infinite constraint')

drawnow

然后在MATLAB命令窗口下鍵入命令:

>>fun = 'sum((x-0.2).^2)';

>>x0 = [0.25, 0.25, 0.25];

>>[x,fval] = fseminf(fun,x0,1,@mycon)

結(jié)果為(如圖)

x =

0.2926 0.1874 0.2202

fval =

0.0091

>>[c,ceq,K1] = mycon(x,[0.5,0.5]); % 樣本間距為0.5

>>max(max(K1))

ans =

-0.0027 圖5-2

4 極小化極大(Minmax)問(wèn)題

極小化極大問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式為

minmaxx{Fi}{Fi(x)}

sub.to C(x)?0

Ceq(x)?0

A?x?b

.

Aeq?x?beq

lb?x?ub

其中:x、b、beq、lb、ub是向量,A、Aeq為矩陣,C(x)、Ceq(x)和F(x)是返回向量的函數(shù),F(xiàn)(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非線性函數(shù)。

在MATLAB5.x中,它的求解由函數(shù)minmax實(shí)現(xiàn)。

函數(shù) fminimax

格式 x = fminimax(fun,x0)

x = fminimax(fun,x0,A,b)

x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq)

x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

[x,fval,maxfval] = fminimax(?)

[x,fval,maxfval,exitflag] = fminimax(?)

[x,fval,maxfval,exitflag,output] = fminimax(?)

[x,fval,maxfval,exitflag,output,lambda] = fminimax(?)

參數(shù)說(shuō)明:fun為目標(biāo)函數(shù);

x0為初始值;

A、b滿足線性不等約束A?x?b,若沒有不等約束,則取A=[ ],b=[ ];

Aeq、beq滿足等式約束Aeq?x?beq,若沒有,則取Aeq=[ ],beq=[ ];

lb、ub滿足lb?x?ub,若沒有界,可設(shè)lb=[ ],ub=[ ];

nonlcon的作用是通過(guò)接受的向量x來(lái)計(jì)算非線性不等約束C(x)?0和等式約束

Ceq(x)?0分別在x處的值C和Ceq,通過(guò)指定函數(shù)柄來(lái)使用,如:>>x =

fminimax(@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon),先建立非線性約束函數(shù),

并保存為mycon.m:function [C,Ceq] = mycon(x)

C = ? % 計(jì)算x處的非線性不等約束C(x)?0的函數(shù)值。

Ceq = ? % 計(jì)算x處的非線性等式約束Ceq(x)?0的函數(shù)值。

options為指定的優(yōu)化參數(shù);

fval為最優(yōu)點(diǎn)處的目標(biāo)函數(shù)值;

maxfval為目標(biāo)函數(shù)在x處的最大值;

exitflag為終止迭代的條件;

lambda是Lagrange乘子,它體現(xiàn)哪一個(gè)約束有效。

output輸出優(yōu)化信息。

例5-12 求下列函數(shù)最大值的最小化問(wèn)題

[f1(x), f2(x), f3(x), f4(x), f5(x)]

2?x2其中:f1(x)?2x12?48x1?40x2?304

2f2(x)??x22?3x2

f3(x)?x1?3x2?18

f4(x)??x1?x2

f5(x)?x1?x2?8

解:先建立目標(biāo)函數(shù)文件,并保存為myfun.m:function f = myfun(x)

f(1)= 2*x(1)^2+x(2)^2-48*x(1)-40*x(2)+304;

f(2)= -x(1)^2 - 3*x(2)^2;

f(3)= x(1) + 3*x(2) -18;

f(4)= -x(1)- x(2);

f(5)= x(1) + x(2) - 8;

然后,在命令窗口鍵入命令:

x0 = [0.1; 0.1]; % 初始值

[x,fval] = fminimax(@myfun,x0)

結(jié)果為:

x =

4.0000

4.0000

fval =

0.0000 -64.0000 -2.0000 -8.0000 -0.0000

例5-13 求上述問(wèn)題的絕對(duì)值的最大值最小化問(wèn)題。

目標(biāo)函數(shù)為:[|f1(x)|, |f2(x)|, |f3(x)|, |f4(x)|, |f5(x)|]

解:先建立目標(biāo)函數(shù)文件(與上例相同)

然后,在命令窗口或編輯器中建立M文件:

>>x0 = [0.1; 0.1]; % 初始點(diǎn)

>>options = optimset('MinAbsMax',5); % 指定絕對(duì)值的最小化

>>[x,fval] = fminimax(@myfun,x0,[ ],[ ],[ ],[ ],[ ],[ ],[ ],options)

則結(jié)果為

x =

4.9256

2.0796

fval =

37.2356 -37.2356 -6.8357 -7.0052 -0.9948

5 多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題

多目標(biāo)規(guī)劃是指在一組約束下,對(duì)多個(gè)不同目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。它的一般形式為

min[f1(x),f2(x),?,fm(x)]

j?1,2,?,p sub.to gj(x)?0

其中:x?(x1,x2,?,xn)。

在同一約束下,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)處于沖突狀態(tài)時(shí),不存在最優(yōu)解x使所有目標(biāo)函數(shù)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)。此時(shí),我們使用有效解,即如果不存在x?S,使得fi(x)?fi(x*),i=1,2,?m, 則稱x*為有效解。

在MATLAB中,多目標(biāo)問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式為

.

minimize? x,?

sub.to F(x)?weight???goal

C(x)?0

Ceq(x)?0

A?x?b

Aeq?x?beq

lb?x?ub

其中:x、b、beq、lb、ub是向量;A、Aeq為矩陣;C(x)、Ceq(x)和F(x)是返回向量的函數(shù);F(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非線性函數(shù);weight為權(quán)值系數(shù)向量,用于控制對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)與用戶定義的目標(biāo)函數(shù)值的接近程度;goal為用戶設(shè)計(jì)的與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值向量;?為一個(gè)松弛因子標(biāo)量;F(x)為多目標(biāo)規(guī)劃中的目標(biāo)函數(shù)向量。

在MATLAB5.x中,它的最優(yōu)解由attgoal函數(shù)實(shí)現(xiàn)。

函數(shù) fgoalattain

格式 x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight)

x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)

x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq)

x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

[x,fval] = fgoalattain(?)

[x,fval,attainfactor] = fgoalattain(?)

[x,fval,attainfactor,exitflag] = fgoalattain(?)

[x,fval,attainfactor,exitflag,output] = fgoalattain(?)

[x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda] = fgoalattain(?)

參數(shù)說(shuō)明:

x0為初始解向量;

fun為多目標(biāo)函數(shù)的文件名字符串,其定義方式與前面fun的定義方式相同;

goal為用戶設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)值向量;

weight為權(quán)值系數(shù)向量,用于控制目標(biāo)函數(shù)與用戶自定義目標(biāo)值的接近程度;

A、b滿足線性不等式約束A?x?b,沒有時(shí)取A=[ ],b=[ ];

Aeq、beq滿足線性等式約束Aeq?x?beq,沒有時(shí)取Aeq=[ ],beq=[ ];

lb、ub為變量的下界和上界:lb?x?ub;

nonlcon的作用是通過(guò)接受的向量x來(lái)計(jì)算非線性不等約束C(x)?0和等式約束

Ceq(x)?0分別在x處的值C和Ceq,通過(guò)指定函數(shù)柄來(lái)使用。

如:>>x = fgoalattain(@myfun,x0,goal,wei

http://www.ishadingyu.com/news/559EE48D172564E3.html ght,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon),

先建立非線性約束函數(shù),并保存為mycon.m:function [C,Ceq] = mycon(x)

C = ? % 計(jì)算x處的非線性不等式約束C(x)?0的函數(shù)值。

Ceq = ? % 計(jì)算x處的非線性等式約束Ceq(x)?0的函數(shù)值。

options為指定的優(yōu)化參數(shù);

fval為多目標(biāo)函數(shù)在x處的值;

attainfactor為解x處的目標(biāo)規(guī)劃因子;

exitflag為終止迭代的條件;

output為輸出的優(yōu)化信息;

lambda為解x處的Lagrange乘子

例5-14 控制系統(tǒng)輸出反饋器設(shè)計(jì)。

設(shè)如下線性系統(tǒng)

??Ax?Bu x

y?Cx

0???o.50?10??100??210? B???22? C??其中:A??0? ????001????1?2??0??01??

要求設(shè)計(jì)輸出反饋控制器K,使閉環(huán)系統(tǒng)

??(A?BKC)x?Bu x

y?Cx

在復(fù)平面實(shí)軸上點(diǎn)[-5,-3,-1]的左側(cè)有極點(diǎn),并要求 ?4?Kij?4(i,j?1,2)

解:上述問(wèn)題就是要求解矩陣K,使矩陣(A+BKC)的極點(diǎn)為[-5,-3,-1],這是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題。

先建立目標(biāo)函數(shù)文件,保存為eigfun.m:

function F = eigfun(K,A,B,C)

F = sort(eig(A+B*K*C)); % 估計(jì)目標(biāo)函數(shù)值

然后,輸入?yún)?shù)并調(diào)用優(yōu)化程序:

A = [-0.5 0 0; 0 -2 10; 0 1 -2];

B = [1 0; -2 2; 0 1];

C = [1 0 0; 0 0 1];

K0 = [-1 -1; -1 -1]; % 初始化控制器矩陣

goal = [-5 -3 -1]; % 為閉合環(huán)路的特征值(極點(diǎn))設(shè)置目標(biāo)值向量

weight = abs(goal) % 設(shè)置權(quán)值向量

lb = -4*ones(size(K0)); % 設(shè)置控制器的下界

ub = 4*ones(size(K0)); % 設(shè)置控制器的上界

options = optimset('Display','iter'); % 設(shè)置顯示參數(shù):顯示每次迭代的輸出

[K,fval,attainfactor] = fgoalattain(@eigfun,K0,goal,weight,[],[],[],[],lb,ub,[],options,A,B,C)

結(jié)果為:

weight =

5 3 1

Attainment Directional

Iter F-count factor Step-size derivative Procedure

1 6 1.885 1 1.03

2 13 1.061 1 -0.679

3 20 0.4211 1 -0.523 Hessian modified

4 27 -0.06352 1 -0.053 Hessian modified twice 5 34 -0.1571 1 -0.133

.

6 41 -0.3489 1 -0.00768 Hessian modified

7 48 -0.3643 1 -4.25e-005 Hessian modified

8 55 -0.3645 1 -0.00303 Hessian modified twice 9 62 -0.3674 1 -0.0213 Hessian modified

10 69 -0.3806 1 0.00266

11 76 -0.3862 1 -2.73e-005 Hessian modified twice 12 83 -0.3863 1 -1.22e-013 Hessian modified twice Optimization terminated successfully:

Search direction less than 2*options. TolX and maximum constraint violation is less than options.TolCon

Active Constraints:

1

2

4

9

10

K =

-4.0000 -0.2564

-4.0000 -4.0000

fval =

-6.9313

-4.1588

-1.4099

attainfactor =

-0.3863

6 最小二乘最優(yōu)問(wèn)題

6.1 約束線性最小二乘

有約束線性最小二乘的標(biāo)準(zhǔn)形式為

minCx?dxsub.to A?x?b

Aeq?x?beq

lb?x?ub 22

其中:C、A、Aeq為矩陣;d、b、beq、lb、ub、x是向量。

在MATLAB5.x中,約束線性最小二乘用函數(shù)conls求解。

函數(shù) lsqlin

格式 x = lsqlin(C,d,A,b) %求在約束條件A?x?b下,方程Cx = d的最小二乘解x。

x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq) %Aeq、beq滿足等式約束Aeq?x?beq,若沒有不

等式約束,則設(shè)A=[ ],b=[ ]。

x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %lb、ub滿足lb?x?ub,若沒有等式約束,

則Aeq=[ ],beq=[ ]。

x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) % x0為初始解向量,若x沒有界,則lb=[ ],

ub=[ ]。

x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options為指定優(yōu)化參數(shù)

[x,resnorm] = lsqlin(?) % resnorm=norm(C*x-d)^2,即2-范數(shù)。

[x,resnorm,residual] = lsqlin(?) %residual=C*x-d,即殘差。

[x,resnorm,residual,exitflag] = lsqlin(?) %exitflag為終止迭代的條件

[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqlin(?) % output表示輸出優(yōu)化信息

[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqlin(?) % lambda為解x的

Lagrange乘子

例5-15 求解下面系統(tǒng)的最小二乘解

系統(tǒng):Cx=d

約束:A?x?b;lb?x?ub

先輸入系統(tǒng)系數(shù)和x的上下界:

C = [0.9501 0.7620 0.6153 0.4057;…

0.2311 0.4564 0.7919 0.9354;…

0.6068 0.0185 0.9218 0.9169;…

0.4859 0.8214 0.7382 0.4102;…

0.8912 0.4447 0.1762 0.8936];

d = [ 0.0578; 0.3528; 0.8131; 0.0098; 0.1388];

A =[ 0.2027 0.2721 0.7467 0.4659;…

0.1987 0.1988 0.4450 0.4186;…

0.6037 0.0152 0.9318 0.8462];

b =[ 0.5251; 0.2026; 0.6721];

lb = -0.1*ones(4,1);

ub = 2*ones(4,1);

然后調(diào)用最小二乘命令:

[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqlin(C,d,A,b,[ ],[ ],lb,ub);

結(jié)果為:

x =

-0.1000

-0.1000

0.2152

0.3502

resnorm =

0.1672

residual =

0.0455

0.0764

-0.3562

0.1620

0.0784

exitflag =

1 %說(shuō)明解x是收斂的

output =

iterations: 4

algorithm: 'medium-scale: active-set'

firstorderopt: []

cgiterations: []

lambda =

lower: [4x1 double]

upper: [4x1 double]

.

eqlin: [0x1 double]

ineqlin: [3x1 double]

通過(guò)lambda.ineqlin可查看非線性不等式約束是否有效。

6.2 非線性數(shù)據(jù)(曲線)擬合

非線性曲線擬合是已知輸入向量xdata和輸出向量ydata,并且知道輸入與輸出的函數(shù)關(guān)系為ydata=F(x, xdata),但不知道系數(shù)向量x。今進(jìn)行曲線擬合,求x使得下式成立:

minF(x,xdata)?ydatax2

2??(F(x,xdatai)?ydatai)2 i

在MATLAB5.x中,使用函數(shù)curvefit解決這類問(wèn)題。

函數(shù) lsqcurvefit

格式 x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)

x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub)

x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options)

[x,resnorm] = lsqcurvefit(?)

[x,resnorm,residual] = lsqcurvefit(?)

[x,resnorm,residual,exitflag] = lsqcurvefit(?)

[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqcurvefit(?)

[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqcurvefit(?)

[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian] =lsqcurvefit(?)

參數(shù)說(shuō)明:

x0為初始解向量;xdata,ydata為滿足關(guān)系ydata=F(x, xdata)的數(shù)據(jù);

lb、ub為解向量的下界和上界lb?x?ub,若沒有指定界,則lb=[ ],ub=[ ]; options為指定的優(yōu)化參數(shù);

fun為擬合函數(shù),其定義方式為:x = lsqcurvefit(@myfun,x0,xdata,ydata),

其中myfun已定義為 function F = myfun(x,xdata)

F = ? % 計(jì)算x處擬合函數(shù)值fun的用法與前面相同;

resnorm=sum ((fun(x,xdata)-ydata).^2),即在x處殘差的平方和;

residual=fun(x,xdata)-ydata,即在x處的殘差;

exitflag為終止迭代的條件;

output為輸出的優(yōu)化信息;

lambda為解x處的Lagrange乘子;

jacobian為解x處擬合函數(shù)fun的jacobian矩陣。

例5-16 求解如下最小二乘非線性擬合問(wèn)題

已知輸入向量xdata和輸出向量ydata,且長(zhǎng)度都是n,擬合函數(shù)為

ydata(i)?x(1)?xdata(i)2?x(2)?sin(xdata(i))?x(3)?xdata(i)3

即目標(biāo)函數(shù)為min?(F(x,xdatai)?ydatai)2 xi?1

其中:F(x,xdata)?x(1)?xdata2?x(2)?sin(xdata)?x(3)?xdata3

n

初始解向量為x0=[0.3, 0.4, 0.1]。

解:先建立擬合函數(shù)文件,并保存為myfun.m

function F = myfun(x,xdata)

F = x(1)*xdata.^2 + x(2)*sin(xdata) + x(3)*xdata.^3;

然后給出數(shù)據(jù)xdata和ydata

>>xdata = [3.6 7.7 9.3 4.1 8.6 2.8 1.3 7.9 10.0 5.4];

>>ydata = [16.5 150.6 263.1 24.7 208.5 9.9 2.7 163.9 325.0 54.3];

>>x0 = [10, 10, 10]; %初始估計(jì)值

>>[x,resnorm] = lsqcurvefit(@myfun,x0,xdata,ydata)

結(jié)果為:

Optimization terminated successfully:

Relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun

x =

0.2269 0.3385 0.3021

resnorm =

6.2950

6.3 非線性最小二乘

非線性最小二乘(非線性數(shù)據(jù)擬合)的標(biāo)準(zhǔn)形式為

minf(x)?f1(x)2?f2(x)2???fm(x)2?L x

其中:L為常數(shù)

在MATLAB5.x中,用函數(shù)leastsq解決這類問(wèn)題,在6.0版中使用函數(shù)lsqnonlin。

?f1(x)??f(x)?2? 設(shè)F(x)???????f(x)m??

則目標(biāo)函數(shù)可表達(dá)為minF(x)x2

2??fi(x)2 i

其中:x為向量,F(xiàn)(x)為函數(shù)向量。

函數(shù) lsqnonlin

格式 x = lsqnonlin(fun,x0) %x0為初始解向量;fun為fi(x),i=1,2,?,m,fun返回向

量值F,而不是平方和值,平方和隱含在算法中,fun的定義與前面相同。

x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub) %lb、ub定義x的下界和上界:lb?x?ub。

x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options) %options為指定優(yōu)化參數(shù),若x沒有界,則

lb=[ ],ub=[ ]。

[x,resnorm] = lsqnonlin(?) % resnorm=sum(fun(x).^2),即解x處目標(biāo)函數(shù)值。

[x,resnorm,residual] = lsqnonlin(?) % residual=fun(x),即解x處fun的值。

[x,resnorm,residual,exitflag] = lsqnonlin(?) %exitflag為終止迭代條件。

[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqnonlin(?) %output輸出優(yōu)化信息。

[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqnonlin(?) %lambda為L(zhǎng)agrage

.

乘子。

[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian] =lsqnonlin(?) %fun在解x

處的Jacobian矩陣。

例5-17 求下面非線性最小二乘問(wèn)題?(2?2k?ekx1?ekx2)2初始解向量為x0=[0.3,

k?110

0.4]。

解:先建立函數(shù)文件,并保存為myfun.m,由于lsqnonlin中的fun為向量形式而不是平方和形式,因此,myfun函數(shù)應(yīng)由fi(x)建立:

fk(x)?2?2k?ekx1?ekx2 k=1,2,…,10

function F = myfun(x)

k = 1:10;

F = 2 + 2*k-exp(k*x(1))-exp(k*x(2));

然后調(diào)用優(yōu)化程序:

x0 = [0.3 0.4];

[x,resnorm] = lsqnonlin(@myfun,x0)

結(jié)果為:

Optimization terminated successfully:

Norm of the current step is less than OPTIONS.TolX

x =

0.2578 0.2578

resnorm = %求目標(biāo)函數(shù)值

124.3622

6.4 非負(fù)線性最小二乘

非負(fù)線性最小二乘的標(biāo)準(zhǔn)形式為:

minCx?dxsub.to x?0 22

其中:矩陣C和向量d為目標(biāo)函數(shù)的系數(shù),向量x為非負(fù)獨(dú)立變量。

在MATLAB5.x中,用函數(shù)nnls求解這類問(wèn)題,在6.0版中則用函數(shù)lsqnonneg。 函數(shù) lsqnonneg

格式 x = lsqnonneg(C,d) %C為實(shí)矩陣,d為實(shí)向量

x = lsqnonneg(C,d,x0) % x0為初始值且大于0

x = lsqnonneg(C,d,x0,options) % options為指定優(yōu)化參數(shù)

[x,resnorm] = lsqnonneg(?) % resnorm=norm (C*x-d)^2

[x,resnorm,residual] = lsqnonneg(?) %residual=C*x-d

[x,resnorm,residual,exitflag] = lsqnonneg(?)

[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqnonneg(?)

[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqnonneg(?)

例5-18 一個(gè)最小二乘問(wèn)題的無(wú)約束與非負(fù)約束解法的比較。

先輸入數(shù)據(jù):

>>C = [ 0.0372 0.2869; 0.6861 0.7071; 0.6233 0.6245; 0.6344 0.6170];

>>d = [0.8587; 0.1781; 0.0747; 0.8405];

>> [C\d, lsqnonneg(C,d)]

ans =

-2.5627 0

3.1108 0.6929

注意:1。當(dāng)問(wèn)題為無(wú)約束線性最小二乘問(wèn)題時(shí),使用MATLAB下的“\”運(yùn)算即可以解決。2.對(duì)于非負(fù)最小二乘問(wèn)題,調(diào)用lsqnonneg(C,d)求解。

7 非線性方程(組)求解

7.1 非線性方程的解

非線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為f(x)=0

函數(shù) fzero

格式 x = fzero (fun,x0) %用fun定義表達(dá)式f(x),x0為初始解。

x = fzero (fun,x0,options)

[x,fval] = fzero(?) %fval=f(x)

[x,fval,exitflag] = fzero(?)

[x,fval,exitflag,output] = fzero(?)

說(shuō)明 該函數(shù)采用數(shù)值解求方程f(x)=0的根。

例5-19 求x3?2x?5?0的根

解:>> fun='x^3-2*x-5';

>> z=fzero(fun,2) %初始估計(jì)值為2

結(jié)果為

z =

2.0946

7.2 非線性方程組的解

非線性方程組的標(biāo)準(zhǔn)形式為:F(x) = 0

其中:x為向量,F(xiàn)(x)為函數(shù)向量。

函數(shù) fsolve

格式 x = fsolve(fun,x0) %用fun定義向量函數(shù),其定義方式為:先定義方程函數(shù)

function F = myfun (x)。

F =[表達(dá)式1;表達(dá)式2;?表達(dá)式m] %保存為myfun.m,并用下面方式調(diào)用:

x = fsolve(@myfun,x0),x0為初始估計(jì)值。

x = fsolve(fun,x0,options)

[x,fval] = fsolve(?) %fval=F(x),即函數(shù)值向量

[x,fval,exitflag] = fsolve(?)

[x,fval,exitflag,output] = fsolve(?)

.

[x,fval,exitflag,output,jacobian] = fsolve(?) % jacobian為解x處的Jacobian陣。 其余參數(shù)與前面參數(shù)相似。

例5-20 求下列系統(tǒng)的根

2x1?x2?e?x1

?x1?2x2?e?x2

解:化為標(biāo)準(zhǔn)形式

2x1?x2?e?x1?0

?x1?2x2?e?x2?0

設(shè)初值點(diǎn)為x0=[-5 -5]。

先建立方程函數(shù)文件,并保存為myfun.m:

function F = myfun(x)

F = [2*x(1) - x(2) - exp(-x(1));

-x(1) + 2*x(2) - exp(-x(2))];

然后調(diào)用優(yōu)化程序

x0 = [-5; -5]; % 初始點(diǎn)

options=optimset('Display','iter'); % 顯示輸出信息

[x,fval] = fsolve(@myfun,x0,options)

結(jié)果為

Norm of First-order

Iteration Func-count f(x) step optimality CG-iterations 1 4 47071.2 1 2.29e+004 0

2 7 6527.47 1.45207 3.09e+003 1

3 10 918.372 1.49186 418 1

4 13 127.74 1.55326 57.3 1

5 16 14.9153 1.57591 8.26 1

6 19 0.779051 1.27662 1.14 1

7 22 0.00372453 0.484658 0.0683 1

8 25 9.21617e-008 0.0385552 0.000336 1

9 28 5.66133e-017 0.000193707 8.34e-009 1

Optimization terminated successfully:

Relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun

x =

0.5671

0.5671

fval =

1.0e-008 *

-0.5320

-0.5320

?12?例5-21 求矩陣x使其滿足方程x?x?x???,并設(shè)初始解向量為x=[1, 1; 1, 1]。 34??

解:先編寫M文件:

function F = myfun(x)

F = x*x*x-[1,2;3,4];

然后調(diào)用優(yōu)化程序求解:

>>x0 = ones(2,2); %初始解向量

>>options = optimset('Display','off'); %不顯示優(yōu)化信息 >>[x,Fval,exitflag] = fsolve(@myfun,x0,options) 則結(jié)果為

x =

-0.1291 0.8602

1.2903 1.1612

Fval =

1.0e-003 *

0.1541 -0.1163

0.0109

exitflag =

1

. -0.0243

【matlab線性規(guī)劃】相關(guān)文章:

Matlab用于發(fā)動(dòng)機(jī)故障預(yù)報(bào)及Delphi對(duì)Matlab的調(diào)用05-01

做matlab實(shí)驗(yàn)心得09-27

利用線性規(guī)劃思想解題04-29

基于Matlab的斜拋運(yùn)動(dòng)研究04-29

MATLAB環(huán)境下地面模型構(gòu)建04-27

基于MATLAB的ABS控制仿真研究04-27

基于matlab的物料大小分級(jí)算法的實(shí)現(xiàn)05-02

楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)的MatLab模擬04-29

matlab學(xué)習(xí)心得體會(huì)04-23

運(yùn)用Matlab輔助測(cè)量普朗克常量05-03