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基本不等式及其應(yīng)用
摘 要: 基本不等式在高中數(shù)學(xué)中具有極其重要的地位,從知識體系角度說,基本不等式不僅本身就是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)知識模塊,而且能與高中數(shù)學(xué)多個(gè)分支知識進(jìn)行融合;從思維能力角度說,基本不等式是創(chuàng)造性與嚴(yán)謹(jǐn)性的有機(jī)結(jié)合、發(fā)散性思維與收斂性思維的辯證統(tǒng)一.本文從基本不等式的三個(gè)限制條件――“一正,二定,三等”入手,結(jié)合典型例題,探究基本不等式的運(yùn)用,讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識的形成過程,從而形成自己對重難點(diǎn)的突破策略,培養(yǎng)學(xué)生的歸納、總結(jié)能力. 關(guān)鍵詞: 基本不等式 限制條件 最值 應(yīng)用 一、主干知識 1.基本不等式:≤或a+b≥2. 。1)基本不等式成立條件:a>0,b>0; 。2)等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號. 2.基本不等式的拓展:ab≤(),其中a,b∈R. 二、深入探究,加強(qiáng)理解 問題:設(shè)x>0,求函數(shù)y=x+的最小值. 解析:∵x>0“一正” ∴x+≥2=2“二定” 當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=1時(shí),等號成立.“三等” 故函數(shù)y=x+的最小值為2. 點(diǎn)評:在應(yīng)用基本不等式時(shí),要把握三個(gè)限制條件,即“一正――各項(xiàng)都是正數(shù);二定――和或積為定值;三相等――等號能取得”,這三個(gè)條件缺一不可. 探究1:設(shè)x<0,求函數(shù)y=x+的最大值. 解析:∵x<0,∴-x>0, ∴x+=-(-x+)≤-2=-2, 當(dāng)且僅當(dāng)-x=,即x=-1時(shí),等號成立. 故函數(shù)y=x+的最大值為-2. 變式:設(shè)x≠0,求函數(shù)y=x+的值域. 解析:∵x≠0,∴|x|>0, ∴|x+|=|x|+≥2=2, 當(dāng)且僅當(dāng)|x|=,即x=±1時(shí),等號成立. ∴|y|≥2,∴y≤-2或y≥2,即函數(shù)y=x+的值域?yàn)椋?∞,-2]∪[2,+∞). 另解:用分類討論的方法(x≠0,分x>0和x<0兩種情況). 點(diǎn)評:培養(yǎng)學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想,如何創(chuàng)造條件滿足“一正――各項(xiàng)都是正數(shù)”. 探究2:設(shè)a>1,求a+的最小值. 解析:∵a>1,∴a-1>0, ∴a+=a-1++1≥2+1=3, 當(dāng)且僅當(dāng)a-1=,即a=2時(shí),等號成立. 故a+的最小值為3. 變式:設(shè)0<a<1,求的最大值. 解析:∵0<a<1,∴1-a>0, ∴=?≤?=, 當(dāng)且僅當(dāng)a=1-a,即a=時(shí),等號成立. 故的最大值為. 點(diǎn)評:運(yùn)用基本不等式求最值的焦點(diǎn)在于湊配“和”與“積”,即滿足“二定――和或積為定值”,并且在湊配過程中就應(yīng)考慮到等號成立的條件. 探究3:設(shè)t≥2,求t+的最小值. 分析:本題不滿足限制條件:“三相等――等號能取得”,故不能用基本不等式. 解:由雙鉤函數(shù)y=t+的圖像及性質(zhì),易知函數(shù)y在[2,+∞)上是增函數(shù), 當(dāng)t=2時(shí),t+的最小值為2. 變式:已知x>0,y>0,且x+y=1,求+的最小值. 錯(cuò)解:由已知,1=x+y≥2?圯≤?圯≥2 ∴+≥2=≥8 ∴+的最小值8. 錯(cuò)因:多次用到基本不等式,能否取等號,當(dāng)且僅當(dāng)x=y,=,又x+y=1,但x,y無解. 正解:∵x>0,y>0, ∴+=(+)(x+y)=7++≥7+2=7+4 當(dāng)且僅當(dāng)=又x+y=1,即x=2-3,y=4-2時(shí),等號成立. 故+的最小值為7+4. 知識遷移:已知0<x<1,求+的最小值. 解析:∵0<x<1,∴1-x>0, ∴+=(+)?(x+1-x)=7++≥7+4, 當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=2-3時(shí),等號成立. 故+的最小值為7+4. 點(diǎn)評:運(yùn)用基本不等式求最值時(shí),應(yīng)考慮到等號成立的條件.有些題目在拼湊過程中,注意通過“1”變換或添項(xiàng)進(jìn)行拼湊,使分母能約去或分子能降次. 三、高考回放 A組 1.(2009年湖南高考10)若x>0,則x+的最小值為?搖 ?搖. 2.(2010年重慶高考12) 已知t>0,則函數(shù)y=的最小值為?搖 ?搖. 3.(2011年重慶高考7)若函數(shù)f(x)=x+(x>2)在x=a處取最小值,則a=( ) A.1+ B.1+ C.3 D.4 A組命題意圖:主要考查靈活應(yīng)用基本不等式求最值的知識,解決此類問題時(shí),一定要注意“一正二定三等”,三者缺一不可. B組 1.(2009年重慶高考7)已知a>0,b>0,則++2的最小值是( ) A.2 B.2 C.4 D.5 2.(2010年四川高考11)設(shè)a>b>0,則a++的最小值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2011年天津高考12)已知loga+logb≥1,則3+9的最小值為___________. B組命題意圖:主要考查應(yīng)用基本不等式探求最值問題,解答過程中經(jīng)過幾次的放縮才能達(dá)到目的,充分體現(xiàn)了試題思維的層次性. C組 1.(2009年天津高考9)設(shè)x,y∈R,a>1,b>1,若a=b=3,a+b=2,則+的最大值為( ) A.2 B. C.1 D. 2.(2010年山東高考14)已知x,y∈R,且滿足+=1,則xy的最大值為___________. 3.(2011年浙江高考16)若實(shí)數(shù)x、y滿足x+y+xy=1,則x+y的最大值是___________. C組命題意圖:主要考查基本不等式的推廣ab≤()(a,b∈R)在求最值中的應(yīng)用. 從近幾年的高考試題來看,利用基本不等式求函數(shù)的最值、證明不等式、解決實(shí)際問題是高考的熱點(diǎn),題型既有選擇題、填空題,又有解答題,難度為中低檔題;客觀題突出“小而巧”,主要考查基本不等式取等號的條件及運(yùn)算能力;主觀題考查較為全面,在考查基本運(yùn)算能力的同時(shí),又注重考查學(xué)生的邏輯推理能力及等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法.預(yù)測2012年高考仍將以求函數(shù)的最值為主要考點(diǎn),重點(diǎn)考查學(xué)生的運(yùn)算能力和邏輯推理能力. 參考文獻(xiàn): [1]孫翔峰主編.三維設(shè)計(jì)高考總復(fù)習(xí)新課標(biāo).光明日報(bào)出版社,2011.4. 。2]杜志建主編.2007―2011新高考5年真題匯編.新疆青少年出版社.
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