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高階微分方程
第五章 高階微分方程
§1 幾個(gè)例子
一、【內(nèi)容簡(jiǎn)介】
本節(jié)結(jié)合幾個(gè)具體的實(shí)例，介紹了與高階微分方程有關(guān)的定解條件、定解問(wèn)題和高階微分方程的降階技巧。
二、【關(guān)鍵詞】 自治微分方程 三、【目的與要求】
掌握高階微分方程的降階技巧，能熟練地運(yùn)用降階法解二階方程，會(huì)用已有知識(shí)建立高階微分方程及其相應(yīng)的條件解決簡(jiǎn)單的幾何、物理問(wèn)題。
四、【教學(xué)過(guò)程】
§2
n維線性空間中的微分方程
一、【內(nèi)容簡(jiǎn)介】 在這一節(jié)里，主要介紹如何把n階微分方程式化為標(biāo)準(zhǔn)微分方程組并采用向量的記號(hào)，將標(biāo)準(zhǔn)微分方程組寫成向量的形式，從而可以從理論上把n維向量形式的微分方程的研究與一階微分非常的研究統(tǒng)一起來(lái)。
二、【關(guān)鍵詞】 模；線性微分方程組 三、【目的與要求】
掌握將高階微分方程化成等價(jià)的n階標(biāo)準(zhǔn)微分方程組的方法；會(huì)敘述n維向量形式的微分方程和n階線性微分方程組相應(yīng)的畢卡存在和唯一性定理；掌握n階線性微分方程組初值問(wèn)題解的存在唯一性定理。 四、【教學(xué)過(guò)程】
§3 解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性
一、【內(nèi)容簡(jiǎn)介】 在這一節(jié)里，主要討論解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性，由于解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性問(wèn)題可歸結(jié)為解對(duì)參數(shù)的同一問(wèn)題。因此我們只討論方程的解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴性。
二、【關(guān)鍵詞】 參數(shù)；連續(xù)依賴性 三、【目的與要求】
解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性定理揭示了微分方程的解的重要性質(zhì)，要求弄清它的含義并正確地理解便于今后的應(yīng)用。
四、【教學(xué)過(guò)程】
§4 解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)可微性
一、【內(nèi)容簡(jiǎn)介】
本節(jié)主要討論解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)可微性。如上一節(jié)一樣，只考慮方程的解對(duì)參數(shù)的連續(xù)可微性。
二、【關(guān)鍵詞】 連續(xù)可微性；變分方程 三、【目的與要求】
與上一節(jié)一樣，解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)可微性揭示了微分方程的重要性質(zhì)，要求弄清它的含義并正確地理解便于今后的應(yīng)用。
四、【教學(xué)過(guò)程】 教學(xué)過(guò)程
前面我們主要討論的是關(guān)于一階方程的幾個(gè)初等解法，在實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)微分方程是高階的。二階以及二階以上的微分方程稱為高階微分方程。對(duì)于高階微分方程沒有較為普遍的解法，下面我們通過(guò)例題介紹幾種高階微分方程的解法。這些解法的基本思想就是把高階微分方程通過(guò)某些變換降為低階的微分方程。
§1 幾個(gè)例子
若方程不明顯包含字變量，即：
F(y,y',?,y(n))?0 （1）
'
(n)
這類方程叫作自治（或駐定）微分方程。
若方程明顯包含字變量，即：
F(x,y,y,?,y
dy，則 )?0 （2）
這類方程叫作非自治（或非駐定）微分方程。
對(duì)于（1）可考慮降階。令
z?
d2ydy?????z??dxdydxdydx2
?d3ydydy?3?dx(zdy)?zdy(dy)?dx?dy?dy?dx ?dx
?22)2?z?z(?dydy2????n?1dny)??(z,,?,?nn?1dydxdy?
代入（1），則得一個(gè)n-1階的微分方程F
n?1
)?0
(y,z,,?,1dydyn?1
2例
dt?f(x) （3）
，則 v?dt
這是一個(gè)二階的自治方程。令
d2xdt2
dv?dx?v?dx
?dv?dtdxdtdt
代入（3）則得一階方程v分離變量積分得v2
?f(x)
c ??f(x)dx?c?F(X)?11
或
v2?2F(X)?c1 （4）
其中
c1是常數(shù)，F(xiàn)(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)。
（4）是一個(gè)一階微分方程 ??c1，
對(duì)于固定的
1
分離變量，積分得其中
G(x,c1)?t?c2， （5）
c2是第二個(gè)常數(shù)，而G(x,c1)???
，
1
稱（5）為微分方程（3）的通積分。
例1、 單擺方程
取一根長(zhǎng)度為的細(xì)線OM，把端點(diǎn)
l
o固定在一頂板上，而另一端點(diǎn)M掛上
一個(gè)質(zhì)量為m的小球，將小球拉離平衡位置，然后松開，讓它在一垂直平面內(nèi)自由擺動(dòng)，這樣就構(gòu)成一個(gè)單擺。（設(shè)單擺除重力外不受其他力的作用）。
設(shè)直線OM與垂線op的有向夾角為動(dòng)可以用弧度x?
x，并設(shè)逆時(shí)針方向?yàn)檎瑒t單擺的振
x(t)來(lái)描述，單擺振動(dòng)時(shí)，M端只能在圓周上運(yùn)動(dòng)，且它的
2
，切向加速度為l?。 l?dt角速度為，切線速度為
dt
現(xiàn)將重力mg分解到切線T及向徑N上，在T上的分力為T
??mfsinx
其中負(fù)號(hào)的力學(xué)意義：T與號(hào)。
x的方向總是相反的(|x|??)，即T與sinx異
2
由牛頓第二定律，即可得單擺的運(yùn)動(dòng)方程為：m(l)
dt2
??mgsinx 或?qū)?/p>
成 2
dt
?a2sinx?0 （6） 2
其中常數(shù)a?
?0
2
v?,2?v,則得 dtdtdx
方程（6）為自治方程，可以用上述方法降階，令
2 或?qū)懗蓈?asinx?0dx
dv2
2
??a2sinxdx
這是一個(gè)為函數(shù)為自變量的一階微分方程，積分得
2v2?a2cosx?c，上式可改寫為??2acosx?c1
1dt（7）
分離變量積分得
vx
?
?2acosx?c1
?t?c2
上式出現(xiàn)了橢圓積分，為了克服這一困難，我們可以利用的泰勒級(jí)數(shù)sin時(shí)，sin
sinx
x3?x5?x7??線性化。即當(dāng)|x|很小x?x?2dt2
x?x，可用線性方程 ?a2x?0 （8）
來(lái)代替方程（6）。
dxdxd2x2dx?ax?0 對(duì)于方程（8），以乘以方程（8），即得2
dtdtdtdt
對(duì)它可以直接積分，得
dx21dx212212
()?a2x2?c12 ()?ax?c1 （c1?0） 或 dt2dt22
于是有
dx
??c12?a2x2 dt
1ax
)?t?c2 ac1
分離變量積分得通積分
由此求得通解 x?Asin(at?D) （9）
c1
?0 D其中 A?a
由通解（9）可見，當(dāng)當(dāng)
?ac2 是兩個(gè)任意常數(shù)。
dx
?0 ； dt
A?0時(shí)，得到單擺的靜止?fàn)顟B(tài)：x?0 v?
A?0時(shí)，單擺將以A為振幅，a為頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。
2?l
?2? ag
由（9）可知，單擺將作周期振動(dòng)，而且周期T?
由此說(shuō)明，單擺的振動(dòng)周期只與單擺的長(zhǎng)度l和重力加速度g有關(guān)，而與初始條件無(wú)關(guān)。這就是所謂單擺振動(dòng)的等時(shí)性。老式的單擺鐘就是利用了這種“等時(shí)性”。
例2 懸鏈線方程
設(shè)一理想的柔軟而不能伸縮的細(xì)線，將兩端掛在支點(diǎn)A和B上，由于受重力的作用，自然彎曲，試求懸鏈線的形狀 y?y(x)。
這個(gè)問(wèn)題是歷史上的名題，最初1690年由詹姆斯?貝努里提出來(lái)，伽里略曾猜想這條曲線是拋物線，但是后來(lái)發(fā)現(xiàn)不對(duì)，最后由約翰?貝努里解決了，萊布尼茲把它命名為懸鏈線。下面就來(lái)解決這一問(wèn)題。
設(shè)在xy平面上，懸鏈線的最低點(diǎn)為M，過(guò)M作垂直線為y軸，在上取一點(diǎn)
O，OM的長(zhǎng)度后面再確定，過(guò)O點(diǎn)，取與y軸垂直的直線為x軸（如圖）
對(duì)于曲線AB是任意一點(diǎn)P，在MP弧段上T,H為張力，W為重力。由于MP處于平衡狀態(tài)，則有
Tcos??H,Tsin??W??0s ?0為單位長(zhǎng)度的重量，消去T，得 tan??
s為MP弧長(zhǎng)。
?0s
H
令
?0
H
?a 則有
dy
?as dx
d2yds
s?a為了消去，將上式求導(dǎo)得 2
dxdx
dydy2dsdy
??()2 代入得 2?a?() 而 （10）
dxdxdxdx
此方程是一個(gè)二階的自治系統(tǒng)，令z?y'，則方程（10）降為一階方程
dz
?a?z2，分離變量積分，得 ln|z??z2|?ax?c1 dx
2
因?yàn)楫?dāng)x?0時(shí)，z?y'?0，代入得c1?0 從而得 ln|z??z2|?ax 即 z由此又可得 z?
??z2?eax （11）
?z2??e?ax （12）
1ax
(e?e?ax) 2
（11）+（12） 得z?即
dy1ax
?(e?e?ax) dx2
積分，得 y?
1ax
(e?e?ax)?c2 2a
若把x 軸取在合適的位置，使當(dāng)于是所求懸鏈線方程為y?
x=0 時(shí) y?1 代入 得 c2?0
a
1ax1
(e?e?ax)?chax 2aa
例3 二體問(wèn)題
天體運(yùn)動(dòng)中的二體問(wèn)題是歷史上一個(gè)著名的問(wèn)題，牛頓早在發(fā)明微積分的同時(shí)，就研究了二體問(wèn)題。
假設(shè)太陽(yáng)是靜止的，它的質(zhì)量為mS，地球的質(zhì)量為mE，由于太陽(yáng)系中除太陽(yáng)外所有行星的總質(zhì)量遠(yuǎn)小于mS，因此我們可以忽略別的行星的作用。現(xiàn)把坐標(biāo)系的原點(diǎn)取在太陽(yáng)S上，這就構(gòu)成了一慣性坐標(biāo)系，地球E的坐標(biāo)向量為?
r(t)?(x(t),y(t),z(t))，則E的速度和加速度分別為
???(t)?(x?(t),y?(t),z?(t),??(t),??(t)) ??(t)) rr?(t)?(?xyz
由牛頓第二定律
??
F?ma
，則地球的慣性力為
?
?(t),??(t),??(t)) mE?r?(t)?mE(?xyz
?
GmEmSr(t)???mr(t)??2再根據(jù)萬(wàn)有引力定律，可建立地球的運(yùn)動(dòng)方程為E |r(t)||r(t)|
?Gmr?S(t)??即 r(t)?? （13） |r(t)|3
將（13）寫成分量形式，即得如下的非線性方程組
?Gmsx?????x?(x2?y2?z2)3?Gmsy?
???y?? （14）
(x2?y2?z2)3??Gmsz??z???2223
(x?y?z)??
這是一個(gè)自治的微分方程組。
求解這種高階非線性方程組常用首次積分，由（14）可以得到
d2yd2zddydzz2?y2?0 即 (z?y)?0
dtdtdtdtdt
由此可得一個(gè)首次積分
??yz??c1 （15）zy
其中c1是任意常數(shù)，同理可得：
??c2
高階微分方程 （16）??zxxz ??xy??c3 （17）yx這里c2，c3都是任意常數(shù)。
用x乘以（15），y乘以（16），z乘以（17），然后相加得，
c1x?c2y?c3z?0
這就是地球運(yùn)行軌道所在平面的方程，這就證明了地球運(yùn)行的軌道永遠(yuǎn)在一平面上。即二體問(wèn)題是一個(gè)平面問(wèn)題。下面設(shè)這個(gè)平面為x，y，坐標(biāo)平面。即地球的軌道永遠(yuǎn)在平面z=0上，那么描述地球位置的坐標(biāo)只要兩個(gè)，即x和y，而運(yùn)動(dòng)的方程為一個(gè)4階方程：
?
???x???(x2??????yux?y2)
uy32
（18）
?3?
(x2
?y2)
2
其中 u
?GmS
用y乘以（18）的第一式，用x乘以（18）的第二式，相減得：
d
dt
(yx??xy?)?0 由此可得一個(gè)首次積分 yx
??xy??c4 用
zx
?乘以（18）的第一式，用zy?乘以（18）的第二式，相加得： zx??x??zy??y
???zu(xx
??yy?)3
(x2?y2)2
d1
即 dt(x?2?y?2)?2uddt
(x2?y2
)?2 x?2?y?2?2u(x2?y2
?
1
由此又得到一個(gè)首次積分
)2
?c5 為討論方便，引進(jìn)極坐標(biāo)
x?rcos?,y?rsin?
，那么
x??(drd?cos??rsin?)d?dt y??(drd?sin??rcos?)d?
dt
代入（19）得 ?r2
d?
dt
?c4 即有 12d?2r
dt??1
2
c4 19） 20）
21）
22） （（（（
12?
注意在dt時(shí)間內(nèi)向量r掃過(guò)的扇形面積為rd?
2
12d?的面積為r
2dt
，故向量r在單位時(shí)間掃過(guò)
?
。這樣就得到了開普勒第二定律：從太陽(yáng)到行星的向量在單
位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積是常數(shù)。
dr2d?22u2
)?r]()??c5 將（21）代入（20），得：[(d?dtr
即 (
dr2d?22u
)?(r)??c5 （23） dtdtr
注意到（22）式有
c422udr2d?22u
()?c5?(r)??c5?2? dtdtrrr
u2c422uu2u2c4u2
?c5?()?2??2?c5?()?(?)
c4rrc4c4rc4
為使上式有意義，我們?cè)O(shè)c5?(
drr2??再利用（22），推得d?c4
cdruuu2
??c5?()2?(4?)2 )?0因此有dtc4rc4c4c5?(
cu2u
)?(4?)2 c4rc4
d(
從而得
?c5?(
c4
)cu2u)?(4?)2c4rc4c4u?rc4
?d?
積分得arccos
c5?(
u2)c4
????0
2
cc4
?0,e?4其中?0為任意常數(shù)，若又記p?
uu
c5?(
u2
)?0 c4
則可得行星運(yùn)行軌道方程r?
p
(24)
1?ecos(???0)
由平面解析幾何知，（24）表示一條二次曲線，當(dāng)0?e?1時(shí)，它是橢圓，這表示地球運(yùn)行軌道為橢圓，且它以坐標(biāo)原點(diǎn)為焦點(diǎn)。這表明太陽(yáng)正好是這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。此時(shí)e是離心率。這樣又得到了開普勒的第一定律：行星沿橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。利用上面類似的推演，牛頓還證明了開普勒的第三定律。
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