- 相關(guān)推薦
一維熱傳導(dǎo)方程的maple模擬
第
卷 第 期 年 月 出版
大 學(xué)
物
,
理
實(shí)
驗(yàn)
司
文 章編 號
一
四
】
一
以拍礴 一
一 維 熱 傳導(dǎo) 方 程 的
王 家駒
安徽師范大學(xué) 蕪 湖
, ,
模擬
的
,
摘
?
要
熱 傳 導(dǎo) 方 程 是一 種偏 微 分方 程
,
。
對 于 有 界 熱傳導(dǎo)齊次方 程 的 混 合 問題 用 分
,
離變盈 法 求解往 往 很 復(fù)雜 也 很 抽象
理 意義 本 文用
,
。
為 了更好 的理 解方 程 的解 更直 觀 的看 出它 的 物
。
。 喇 軟件將方 程的解用圖 像表 示 出來 先 用 戶刻
, ,
函 數(shù)求解 方 程 再
,
。 用功
函 數(shù) 進(jìn) 行繪 圖 通 過 改變邊界條件 比較 了 圖 形 的變 化 份 況
,
。
從結(jié) 果 可 以 看 出
耐 軟件對 于 熱傳 導(dǎo) 方程 求解和繪 圖十分簡便 也很 直觀
好 的應(yīng) 用
關(guān)健詞
。
。
在物 理 教學(xué) 中可 以 得 到很
熱傳 導(dǎo) 方程 一 維
一
中圈 分 類 號 以
文獻(xiàn) 標(biāo)識 碼
引言 由于 溫度分布不 均 勻 熱 量從介 質(zhì) 中溫 度 高 的 地 方 流 向 溫 度 低 的 地 方 稱 為熱 傳 導(dǎo)
,
。
在 數(shù)學(xué)上 描述 熱傳導(dǎo) 規(guī) 律 的 方樣 稱為熱傳導(dǎo)方 程 它 是研 究拋 物線 刑方 程 的模利
,
,
。
為便
。
于 我們討論 考 慮 一 個(gè)簡化 的模 型 一 根均 勻 細(xì) 桿 內(nèi)熱量 傳播 的過程
,
。
設(shè) 細(xì) 桿橫截 面 積為
,
常數(shù)
的情 況
,
細(xì) 桿 的密 度 為
,
,
比熱 為
,
,
它的側(cè) 面 絕 熱 也 就是 熱量 只 沿 著 它 的 長度方 向傳 導(dǎo)
,
因 為細(xì) 桿 很 細(xì) 所 以 在任何 時(shí) 刻 都 可 以 把 橫 截 面 積 上 的 溫 度 視 為相 同 也 就是 一 個(gè) 一 維
。
軸正 合 以 法來 導(dǎo)出熱傳導(dǎo) 方 程 也 就 是 函 數(shù)
我們?nèi)〖?xì)桿 與
,
,
,
“
,
勸表示
,
點(diǎn) 在時(shí)刻 的溫 度 可 以 用 微元 分析 的方 所 滿 足 的偏微分方 程 考 慮在 時(shí) 間間隔 到
。 。
。
△ 內(nèi) 細(xì)桿上
到
,
念 微 元段 熱量流動(dòng)情 況
,
此 時(shí) 滿 足 熱平衡 則 引起 溫 度變化所 吸 取 的 熱 量
△
等于 流 人 的熱量
十
△’
,
微元 段 的質(zhì) 量 為產(chǎn) 川 △ 而 且 在 時(shí) 間
一 “
,
△
,
,
,
內(nèi)微 元 段
,
△
溫 度升 高為 武
,
十
△
‘
二 。
△,
,
其中
。
二 。、
,
,
‘
、
。
二
△ 所 以 引起 微 元 段 公
△
溫 度升
高所 需 的熱量為
為 △口
二 一
△
二 。
泌△
,
“
△
秘
△ △
,
二
由熱傳導(dǎo) 理 論 中的傅立 葉定律 可 知在 爾 時(shí) 間 內(nèi) 沿
加
。
,
軸 正 向流 過
截 面 的熱量
△ 認(rèn)
約肥 其 中
稱 為熱傳 導(dǎo) 系 數(shù)
。
式 中 的 負(fù) 號 表 示 熱量從 高溫 處 向
低 溫 處 流動(dòng)
收稿 日期
一
一
另外在 △‘ 時(shí)間 內(nèi) 流過 △ ,
,
△ 截 面 的熱 量 △
為△
二
一
,
△,
。
則
△
流入 微元段【
,
,
二
△
的 」熱
,
△ ’ 于通過 等 △
,
,
截面 流 人 微 元 段 的
熱里減 去 通 過
二
“ 從〔
, ,
截面 流出徽 元 段 的熱 量 則 △
中直定理 可 得 △ ’ 加
再由 △
“。
,
一
△
二
△二 習(xí) 一 氣 ‘
,
,
△ 〕 由
,
二
“
△ △
。△
其中 、
,
‘ 夸‘
。 △
,
右
,
△
,
,
。
二
△
甲 一
得
州‘
△
令△ ,
‘ 。 從而 今
‘
,
于是得
“
一
其中
一
此 即熱傳導(dǎo) 方程
,
。
在討論 熱傳導(dǎo)方 程時(shí) 已 知條件是 通 過 定解條件 的方式給 出的 從物 理 上 知道 只要
,
,
側(cè) 出物體上 初始 時(shí) 刻 的 溫度分布 和邊界 上 的溫 度或熱交換情 況 就 可 以 了 也 就 是 給 出初
,
始條件和邊界 條件
。
細(xì) 桿初 始條件 的提 法 為
,
。
,
二
,
二
。
其邊界 條件 的 提法 通 常有 三 種 即
第一 邊界 條 件 已 知細(xì) 桿端點(diǎn) 比如
, ,
二
的溫 度
二
,
“
,
二
。,
產(chǎn)
,
第二 邊界 條 件 已 知通 過 細(xì) 桿端點(diǎn) 比如
, , ,
,
的 熱盤
,
,
二 。
二 與某 種 介質(zhì)接觸 它們 之間按 熱傳導(dǎo) 中 的牛 頓實(shí)驗(yàn)定 第三 邊界 條件 已 知端點(diǎn) , 二 , 加 為 已 知函 律 進(jìn)行著熱交換 其邊界 條件為 加 其中 產(chǎn)
,
,
數(shù)
,
為熱傳導(dǎo)系數(shù)
,
為熱交換 系數(shù)
,
。
對于 無 界熱傳導(dǎo) 問題我們考 慮 熱傳導(dǎo)方程 的初 值 問題 對 于 有 界 熱傳 導(dǎo) 間題 我們考
,
慮熱 傳導(dǎo)方程的混 合 問題 本 文 主要 討論混 合 問題 的情 況
。
比 軟件介 紹
國 內(nèi)在 應(yīng)用
比 軟件上 很 多
一 ’ ‘
,
由 于 其 簡 單易 學(xué) 使 用 方 便 因 而 得 到 了 廣 泛 的
,
,
應(yīng)用
。
軟件 主要 有 二 個(gè) 部分 組 成 用 戶 界 面
城 代數(shù)運(yùn) 算 器
、
、
外部 函 數(shù)庫
玩
函數(shù)
。
斗
。
求解 代數(shù) 方程 或 代數(shù)方程 組 使 用
中偏微 分 方程求 解 器 為
壇中
, ,
,
中的
函 數(shù) 求 解 常微 分方程 使 用 刻
,
該 函 數(shù) 及 其 它偏微 分 方科求 解 工 具 存 于 軟
。
件包
。
函 數(shù) 訓(xùn)助
能夠 很 快 的 辨認(rèn) 出用 標(biāo) 準(zhǔn) 方 法 能 否 求偏 微分 方 程 的類 刑
,
如果 判別不 出 那 岡助
, ,
采用 一 種 啟 發(fā) 式 的 算 法 嘗 試 偏微 分 方 程按 特 征 結(jié) 構(gòu) 分 離 出 來
的 策 略就 去 尋 找 給走 偏微 分方 村 的 通 解 尋找 不 到 通 解則 尋 找 可 以 完 全 分離 的 變
重 同此 該 函 數(shù) 返 問 的結(jié)果 可 能 為
通解
,
近 似 的通 解 即 包 含 任意 函 數(shù)但 又 不足 以 得到通 解 的解
。
,
變量 分離 的 非禍合 的常微 分方程 如也 無 法 完 全 分離變量 則函 數(shù)會(huì) 再 次 調(diào) 用 自身 如 還 是人 敗 就會(huì) 返 回 未完 全 分離
,
,
的變
同時(shí)給 出一 個(gè) 警告 信息 其命令 格 式 為
岡助
,
其中
、
,
為偏微 分 方 程
。
,
為被求 解 函 數(shù)
。
即卜 所 提 供 的二維 繪 圖 指令
可 以 繪 制 二 維 的 函 數(shù) 圖 參
數(shù) 圖 極 坐 標(biāo) 圖 等 高線
,
、
、
、
圖 不 等式 圖 等等
而 三 維 空 間 的繪 圖 比 二 維 空 間 更 有 變化性 和 趣味 性 其命 令 函 數(shù) 為
一
一
可 直接調(diào)用
,
,
,
。
命令格式 如下
,
, ,
、
,
‘
,
,
,
…
心 刀“
一
?
其中
‘
。
二
為
的 變化 推
甘 首 先 根 據(jù) 不 同 的 邊界條 什 編寫 樣 序 就 用 是 卿 語 言描述熱傳導(dǎo) 方程及 相應(yīng) 的邊 函 數(shù) 描繪 出二 維 圖形 界條 件 然 后 http://http://www.ishadingyu.com/news/55B09F202C1CA31B.html用 阮 函 數(shù) 求解方程 最后 角 肉
,
,
處 理 次 間題 的 大 致 思 路 為
。
,
閏噸 , 、燦 林
、
一
?
耐
,
,
二
加 刀價(jià) 二 ” 比
,
叩‘
。
為
,
即
的變化范 圍
。
腳
。
”
,
。
圖形 模 擬
根據(jù)不 同 的定解 條件對“ 雄熱傳導(dǎo)方程進(jìn)行模 擬
況
。
。
可 以 直觀 地 看 出熱
。
的 變 化情
為討論 方便 令
,
�！� 二
礦 、 中 。 二 ‘ 細(xì) 將的長 度 卜
,
細(xì) 桿兩 端 點(diǎn) 的溫 度 已 知 細(xì) 桿 兩 端 點(diǎn)釣 溫 度為定 值
若兩 端點(diǎn)溫 度都 為
腸正 二 “
。
,
,
方程 為
二 二
,
,
。
。
,
用 幽禪 對 此 方程進(jìn)行模 擬 的 圖 像為 圖
。,
圖 皆見 圖
。
若一 端點(diǎn) 溫 度為
腸‘ 二 。
,
,
一 端點(diǎn) 溫 度 為
,
方 稗為
“
二
,
,
,
二
二
,
用幽
對 此 方程進(jìn) 行模擬 的圖 像為圖
,
。
由上 兩 圖可 以 看 出 一 兩 端點(diǎn) 溫 度 確定 時(shí) 細(xì) 桿 兩 端最終 溫 度 就 為端點(diǎn) 的 溫 度 而 桿 上 各
,
,
點(diǎn)溫 度成線性 分布
。
細(xì)桿兩 端 點(diǎn)的溫 度不 確定
如其中有一 端 點(diǎn) 溫 度 為
移 二 腸目
,
,
,
方程 為
。
,
二
,
二
用伽
對 此 方 程進(jìn) 行模 擬 的圖像 為 圖
, ,
。。
,
由圖 可 見 一 端 點(diǎn) 溫 度 是 時(shí) 間
的 函 數(shù)時(shí) 那最 終此 端 的溫 度也 隨 這 個(gè) 函 數(shù)變化
,
,
。
所 以 當(dāng)細(xì)桿 兩 端點(diǎn) 的 溫 度 已 知時(shí) 無 論初 始條 件 如何 桿 兩 端 的溫 度 由端點(diǎn) 的 溫 度
決定 細(xì)桿 上 各 點(diǎn) 溫 度 也 由兩 端 點(diǎn)溫 度 決定 由高溫 端 向低 溫 短 遞 減
,
,
。
小結(jié)
本文是用
月 軟 件來模擬 一 維熱傳 導(dǎo) 方 程 的解 的分布 將 邊 界 條件劃 分 為 二 種
,
。
細(xì)桿兩 端 的溫 度 已 知 通 過 細(xì) 桿 的 熱量 已 知 通 過 細(xì) 桿 的熱量為溫 度 的 函 數(shù)
,
。
根 據(jù) 不 同的
一
一
情況 進(jìn) 行 側(cè)叩 】模擬 我 們看 出 恤叩
,
軟 件模 擬 出來的圖形 可 以 直觀 的描述熱傳導(dǎo)方程 解
, , ,
的分布情 況 可 以 深 刻 的理 解熱 傳導(dǎo) 方程 的 物理 意義 可 以 清楚的體現(xiàn)不 同的邊 界 條件對
,
解的影 響
。
總之 瀏舊
。
軟 件操 作簡單 描繪 出的圖形直觀 易位 使得 它在 教學(xué) 中可 以 得 到
很好 的應(yīng) 用
參考 文 獻(xiàn)
〔
【 幻 【 【
張星 輝 在大學(xué) 物理 教 學(xué) 中使用
, ,
’ 流
制作 圖像和 動(dòng)畫 的幾 個(gè)實(shí)例 〔〕大學(xué) 物 理
月濟(jì)
,
,
以”
黃水 金 余 守憲 關(guān) 于 加加速度 的若十機(jī) 械 運(yùn) 動(dòng)分析及 郭冰瑩 吳 敏鍵 用
, ,
。
棋擬【 〕大學(xué) 物 理 加
。
計(jì)算 機(jī) 代數(shù) 系 統(tǒng)實(shí)行 電動(dòng) 力 學(xué) 教 學(xué) 改 革 的 一 個(gè) 嘗 試 〔
、
,
大學(xué) 物理
,
卯
郭冰瑩 在 有 限差分法 解 二 維 電勢 邊 值 問題 的應(yīng) 用 探討 〔 大學(xué)物理 卯
,
五
奴
‘
州 四
出 九山‘
爪園
,
,
哪
反 四涵 。。
加內(nèi)
。時(shí)
護(hù)
舊
加
莊。 ,
月
詞
山石己
壓氏 花 ”婦
函曲 幾
通
如公
” 漢
刁
悶
,
仆
胡
湘 目 切明
卿‘
運(yùn) 成口 以的記
創(chuàng)己
瀏加眼
山卿 街
犯 山
口 如
。
汕州過
口
山唱
阮 甲西
血朋 如
歇月
比 四
如閉
, 戶
四
嘆
卜
哪畫
四耐
血
咖
拙
玩 腳
叮 加 五血
比
日
瑰
護(hù)
,
比
朋噸
耐
阮動(dòng)
’。 州口
血
欣勿
卜 且
助
吐
阮 甲西叨
】
, 目 即汕 ‘
內(nèi)咖 姍
呵
石
鄧
擊
口
叮