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通過金礦模型介紹動態(tài)規(guī)劃
對于動態(tài)規(guī)劃，每個剛接觸的人都需要一段時間來理解，特別是第一次接觸的時候總是想不通為什么這種方法可行，這篇文章就是為了幫助大家理解動態(tài)規(guī)劃，并通過講解基本的01背包問題來引導(dǎo)讀者如何去思考動態(tài)規(guī)劃。本文力求通俗易懂，無異性，不讓讀者感到迷惑，引導(dǎo)讀者去思考，所以如果你在閱讀中發(fā)現(xiàn)有不通順的地方，讓你產(chǎn)生錯誤理解的地方，讓你難得讀懂的地方，請跟貼指出，謝謝！
----第一節(jié)----初識動態(tài)規(guī)劃--------
經(jīng)典的01背包問題是這樣的：
有一個包和n個物品，包的容量為m，每個物品都有各自的體積和價值，問當(dāng)從這n個物品中選擇多個物品放在包里而物品體積總數(shù)不超過包的容量m時，能夠得到的最大價值是多少？[對于每個物品不可以取多次，最多只能取一次，之所以叫做01背包，0表示不取，1表示取]
為了用一種生動又更形象的方式來講解此題，我把此題用另一種方式來描述，如下：
有一個國家，所有的國民都非常老實(shí)憨厚，某天他們在自己的國家發(fā)現(xiàn)了十座金礦，并且這十座金礦在地圖上排成一條直線，國王知道這個消息后非常高興，他希望能夠把這些金子都挖出來造福國民，首先他把這些金礦按照在地圖上的位置從西至東進(jìn)行編號，依次為0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，然后他命令他的手下去對每一座金礦進(jìn)行勘測，以便知道挖取每一座金礦需要多少人力以及每座金礦能夠挖出多少金子，然后動員國民都來挖金子。
題目補(bǔ)充1：挖每一座金礦需要的人數(shù)是固定的，多一個人少一個人都不行。國王知道每個金礦各需要多少人手，金礦i需要的人數(shù)為peopleNeeded[i]。
題目補(bǔ)充2：每一座金礦所挖出來的金子數(shù)是固定的，當(dāng)?shù)趇座金礦有peopleNeeded[i]人去挖的話，就一定能恰好挖出gold[i]個金子。否則一個金子都挖不出來。
題目補(bǔ)充3：開采一座金礦的人完成開采工作后，他們不會再次去開采其它金礦，因此一個人最多只能使用一次。
題目補(bǔ)充4：國王在全國范圍內(nèi)僅招募到了10000名愿意為了國家去挖金子的人，因此這些人可能不夠把所有的金子都挖出來，但是國王希望挖到的金子越多越好。
題目補(bǔ)充5：這個國家的每一個人都很老實(shí)（包括國王），不會私吞任何金子，也不會弄虛作假，不會說謊話。
題目補(bǔ)充6：有很多人拿到這個題后的第一反應(yīng)就是對每一個金礦求出平均每個人能挖出多少金子，然后從高到低進(jìn)行選擇，這里要強(qiáng)調(diào)這種方法是錯的，如果你也是這樣想的，請考慮背包模型，當(dāng)有一個背包的容量為10，共有3個物品，體積分別是3、3、5，價值分別是6、6、9，那么你的方法取到的是前兩個物品，總價值是12，但明顯最大值是后兩個物品組成的15。
題目補(bǔ)充7：我們只需要知道最多可以挖出多少金子即可，而不用關(guān)心哪些金礦挖哪些金礦不挖。
那么，國王究竟如何知道在只有10000個人的情況下最多能挖出多少金子呢？國王是如何思考這個問題的呢？
國王首先來到了第9個金礦的所在地（注意，第9個就是最后一個，因?yàn)槭菑?開始編號的，最西邊的那個金礦是第0個），他的臣子告訴他，如果要挖取第9個金礦的話就需要1500個人，并且第9個金礦可以挖出8888個金子。聽到這里國王哈哈大笑起來，因?yàn)樵人詾橐朗畟�金礦在僅有10000個人的情況下最多能挖出多少金子是一件很難思考的問題，但是，就在剛才聽完他的臣子所說的那句話時，國王已經(jīng)知道總共最多能挖出多少金子了，國王是如何在不了解其它金礦的情況下知道最多能挖出多少金子的呢？他的臣子們也不知道這個謎，因此他的臣子們就問他了：“最聰明的國王陛下，我們都沒有告訴您其它金礦的情況，您是如何知道最終答案的呢？”
得意的國王笑了笑，然后把他最得意的“左、右手”叫到跟前，說到：“我并不需要考慮最終要挖哪些金礦才能得到最多的金子，我只需要考慮我面前的這座金礦就可以了，對于我面前的這座金礦不外乎僅有兩種選擇，要么挖，要么不挖，對吧？”
“當(dāng)然，當(dāng)然”大臣們回答倒。
國王繼續(xù)說道：“如果我挖取第9座金礦的話那么我現(xiàn)在就能獲得8888個金子，而我將用去1500個人，那么我還剩下8500個人。我親愛的左部下，如果你告訴我當(dāng)我把所有剩下的8500個人和所有剩下的其它金礦都交給你去開采你最多能給我挖出多少金子的話，那么我不就知道了在第9個金礦一定開采的情況下所能得到的最大金幣數(shù)嗎？”
國王的左部下聽后回答道：“國王陛下，您的意思是如果我能用8500個人在其它金礦最多開采出x個金幣的話，那您一共就能夠獲得 x + 8888個金子，對嗎？”
“是啊，是啊……如果第9座金礦一定開采的話……”大臣們點(diǎn)頭說到。
國王笑著繼續(xù)對著他的右部下說到：“親愛的右部下，也許我并不打算開采這第9座金礦，那么我依然擁有10000個人，如果我把這10000個人和剩下的金礦都給你的話，你最多能給我挖出多少個金子呢？”
國王的右部下聰明地說道：“尊敬的國王陛下，我明白您的意思了，如果我回答最多能購開采出y個金幣的話，那您就可以在y和x+8888之間選擇一個較大者，而這個較大者就是最終我們能獲得的最大金幣數(shù)，您看我這樣理解對嗎？”
國王笑得更燦爛了，問他的左部下：“那么親愛的左部下，我給你8500個人和其余金礦的話你能告訴我最多能挖出多少金子嗎？”
“請您放心，這個問題難不倒我”。左部下向國王打包票說到。
國王高興地繼續(xù)問他的右部下：“那右部下你呢，如果我給你10000個人和其余金礦的話你能告訴我最多能挖出多少金子嗎？”
“當(dāng)然能了！交給我吧！”右部下同左部下一樣自信地回答道。
“那就拜托給你們兩位了，現(xiàn)在我要回到我那舒適的王宮里去享受了，我期待著你們的答復(fù)。”國王說完就開始動身回去等消息了，他是多么地相信他的兩個大臣能夠給他一個準(zhǔn)確的答復(fù)，因?yàn)閲跗鋵?shí)知道他的兩位大臣要比他聰明得多。
故事發(fā)展到這里，你是否在想國王的這兩個大臣又是如何找到讓國王滿意的答案的呢？他們?yōu)槭裁茨軌蛉绱俗孕拍�？事�?shí)上他們的確比國王要聰明一些，因?yàn)樗麄儚膰醯纳砩蠈W(xué)到了一點(diǎn)，就是這一點(diǎn)讓他們充滿了自信。
國王走后，國王的左、右部下來到了第8座金礦，早已在那里等待他們的金礦勘測兵向兩位大臣報(bào)道：“聰明的兩位大臣，您們好，第8座金礦需要1000個人才能開采，可以獲得7000個金子”。
因?yàn)閲鮾H給他的左部下8500個人，所以國王的左部下叫來了兩個人，對著其中一個人問到：“如果我給你7500個人和除了第8、第9的其它所有金礦的話，你能告訴我你最多能挖出多少金子嗎？”
然后國王的左部下繼續(xù)問另一個人：“如果我給你8500個人
http://www.ishadingyu.com 和除了第8、第9的其它所有金礦的話，你能告訴我你最多能挖出多少金子嗎？”國王的左部下在心里想著：“如果他們倆都能回答我的問題的話，那國王交給我的問題不就解決了嗎？哈哈哈！”
因?yàn)閲踅o了他的右部下10000個人，所以國王的右部下同樣也叫來了兩個人，對著其中一個人問：“如果我給你9000個人和除了第8、第9的其它所有金礦的話，你能告訴我你最多能挖出多少金子嗎？”
然后國王的右部下繼續(xù)問他叫來的另一個人：“如果我給你10000個人和除了第8、第9的其它所有金礦的話，你能告訴我你最多能挖出多少金子嗎？”
此時，國王的右部下同左部下一樣，他們都在為自己如此聰明而感到滿足。
當(dāng)然，這四個被叫來的人同樣自信地回答沒有問題，因?yàn)樗麄兺瑯拥貜倪@兩個大臣身上學(xué)到了相同的一點(diǎn)，而兩位自認(rèn)為自己一樣很聰明的大臣得意地笑著回到了他們的府邸，等著別人回答他們提出來的問題，現(xiàn)在你知道了這兩個大臣是如何解決國王交待給他們的問題了嗎？
那么你認(rèn)為被大臣叫去的那四個人又是怎么完成大臣交給他們的問題的呢？答案當(dāng)然是他們找到了另外八個人！
沒用多少功夫，這個問題已經(jīng)在全國傳開了，更多人的人找到了更更多的人來解決這個問題，而有些人卻不需要去另外找兩個人幫他，哪些人不需要別人的幫助就可以回答他們的問題呢？
很明顯，當(dāng)被問到給你z個人和僅有第0座金礦時最多能挖出多少金子時，就不需要別人的幫助，因?yàn)槟阒�，如果z大于等于挖取第0座金礦所需要的人數(shù)的話，那么挖出來的最多金子數(shù)就是第0座金礦能夠挖出來的金子數(shù)，如果這z個人不夠開采第0座金礦，那么能挖出來的最多金子數(shù)就是0，因?yàn)檫@唯一的金礦不夠人力去開采。讓我們?yōu)檫@些不需要別人的幫助就可以準(zhǔn)確地得出答案的人們鼓掌吧，這就是傳說中的底層勞動人民！
故事講到這里先暫停一下，我們現(xiàn)在重新來分析一下這個故事，讓我們對動態(tài)規(guī)劃有個理性認(rèn)識。
子問題：
國王需要根據(jù)兩個大臣的答案以及第9座金礦的信息才能判斷出最多能夠開采出多少金子。為了解決自己面臨的問題，他需要給別人制造另外兩個問題，這兩個問題就是子問題。
思考動態(tài)規(guī)劃的第一點(diǎn)----最優(yōu)子結(jié)構(gòu)：
國王相信，只要他的兩個大臣能夠回答出正確的答案（對于考慮能夠開采出的金子數(shù)，最多的也就是最優(yōu)的同時也就是正確的），再加上他的聰明的判斷就一定能得到最終的正確答案。我們把這種子問題最優(yōu)時母問題通過優(yōu)化選擇后一定最優(yōu)的情況叫做“最優(yōu)子結(jié)構(gòu)”。
思考動態(tài)規(guī)劃的第二點(diǎn)----子問題重疊：
實(shí)際上國王也好，大臣也好，所有人面對的都是同樣的問題，即給你一定數(shù)量的人，給你一定數(shù)量的金礦，讓你求出能夠開采出來的最多金子數(shù)。我們把這種母問題與子問題本質(zhì)上是同一個問題的情況稱為“子問題重疊”。然而問題中出現(xiàn)的不同點(diǎn)往往就是被子問題之間傳遞的參數(shù)，比如這里的人數(shù)和金礦數(shù)。
思考動態(tài)規(guī)劃的第三點(diǎn)----邊界：
想想如果不存在前面我們提到的那些底層勞動者的話這個問題能解決嗎？永遠(yuǎn)都不可能！我們把這種子問題在一定時候就不再需要提出子子問題的情況叫做邊界，沒有邊界就會出現(xiàn)死循環(huán)。
思考動態(tài)規(guī)劃的第四點(diǎn)----子問題獨(dú)立：
要知道，當(dāng)國王的兩個大臣在思考他們自己的問題時他們是不會關(guān)心對方是如何計(jì)算怎樣開采金礦的，因?yàn)樗麄冎�，國王只會選擇兩個人中的一個作為最后方案，另一個人的方案并不會得到實(shí)施，因此一個人的決定對另一個人的決定是沒有影響的。我們把這種一個母問題在對子問題選擇時，當(dāng)前被選擇的子問題兩兩互不影響的情況叫做“子問題獨(dú)立”。
這就是動態(tài)規(guī)劃，具有“最優(yōu)子結(jié)構(gòu)”、“子問題重疊”、“邊界”和“子問題獨(dú)立”，當(dāng)你發(fā)現(xiàn)你正在思考的問題具備這四個性質(zhì)的話，那么恭喜你，你基本上已經(jīng)找到了動態(tài)規(guī)劃的方法。
有了上面的這幾點(diǎn)，我們就可以寫出動態(tài)規(guī)劃的轉(zhuǎn)移方程式，現(xiàn)在我們來寫出對應(yīng)這個問題的方程式，如果用gold[mineNum]表示第mineNum個金礦能夠挖出的金子數(shù)，用peopleNeeded[mineNum]表示挖第mineNum個金礦需要的人數(shù)，用函數(shù)f(people,mineNum)表示當(dāng)有people個人和編號為0、1、2、3、……、mineNum的金礦時能夠得到的最大金子數(shù)的話，f(people,mineNum)等于什么呢？或者說f(people,mineNum)的轉(zhuǎn)移方程是怎樣的呢？
答案是：
當(dāng)mineNum = 0且people >= peopleNeeded[mineNum]時 f(people,mineNum) = gold[mineNum]
當(dāng)mineNum = 0且people < peopleNeeded[mineNum]時 f(people,mineNum) = 0
當(dāng)mineNum != 0時 f(people,mineNum) = f(people-peopleNeeded[mineNum], mineNum-1) + gold[mineNum]與f(people, mineNum-1)中的較大者，前兩個式子對應(yīng)動態(tài)規(guī)劃的“邊界”，后一個式子對應(yīng)動態(tài)規(guī)劃的“最優(yōu)子結(jié)構(gòu)”請讀者弄明白后再繼續(xù)往下看。
----第二節(jié)----動態(tài)規(guī)劃的優(yōu)點(diǎn)--------
現(xiàn)在我假設(shè)讀者你已經(jīng)搞清楚了為什么動態(tài)規(guī)劃是正確的方法，但是我們?yōu)槭裁葱枰褂脛討B(tài)規(guī)劃呢？請先繼續(xù)欣賞這個故事：
國王得知他的兩個手下使用了和他相同的方法去解決交代給他們的問題后，不但沒有認(rèn)為他的兩個大臣在偷懶，反而很高興，因?yàn)樗溃拇蟪急厝粫腋嗟娜艘黄鸾鉀Q這個問題，而更多的人會找更更多的人，這樣他這個聰明的方法就會在不經(jīng)意間流傳開來，而全國人民都會知道這個聰明的方法是他們偉大的國王想出來的，你說國王能不高興嗎？
但是國王也有一些擔(dān)憂，因?yàn)樗麑?shí)在不知道這個“工程”要動用到多少人來完成，如果幫助他解決這個問題的人太多的話那么就太勞民傷財(cái)了�！皶粫绊懙浇衲甑氖粘赡�？”國王在心里想著這個問題，于是他請來了整個國家里唯一的兩個數(shù)學(xué)天才，一個叫做小天，另一個叫做小才。
國王問小天：“小天啊，我發(fā)覺這個問題有點(diǎn)嚴(yán)重，我知道其實(shí)這可以簡單的看成一個組合問題，也就是從十個金礦中選取若干個金礦進(jìn)行開采，看看哪種組合得到的金子最多，也許用組合方法會更好一些。你能告訴我一共有多少種組合情況嗎？”
“國王陛下，如果用組合方法的話一共要考慮2的10次方種情況，也就是1024種情況�！毙√焖伎剂艘粫卮鸬�。
“嗯……，如果每一種情況我交給一個人去計(jì)算能得到的金子數(shù)的話，那我也要1024個人，其實(shí)還是挺多的�！眹鹾孟裨俅胃杏X到了自己的方法是正確的。
國王心理期待著小才能夠給它一個更好的答案，問到：“小才啊，那么你能告訴我用我的那個方法總共需要多少人嗎？其實(shí)，我也計(jì)算過，好像需要的人數(shù)是1+2+4+8+16+32+64+……，畢竟每一個人的確都需要找另外兩個人來幫助他們……”
不辜負(fù)國王的期待，小才微笑著說到：“親愛的國王陛下，其實(shí)我們并不需要那么多人，因?yàn)橛泻芏鄦栴}其實(shí)是相同的，而我們只需要為每一個不同的問題使用一個人力便可�！�
國王高興的問到：“此話如何講？”
“打個比方，如果有一個人需要知道1000個人和3個金礦可以開采出多少金子，同時另一個人也需要知道1000個人和3個金礦可以開采出多少金子的話，那么他們可以去詢問相同的一個人，而不用各自找不同的人浪費(fèi)人力了�！�
國王思考著說到：“嗯，很有道理，如果問題是一樣的話那么就不需要去詢問兩個不同的人了，也就是說一個不同的問題僅需要一個人力，那么一共有多少個不同的問題呢？”
“因?yàn)槊總�問題的人數(shù)可以從0取到10000，而金礦數(shù)可以從0取到10，所以最多大約有10000 * 10 等于100000個不同的問題�！� 小才一邊算著一邊回答。
“什么？十萬個問題？十萬個人力？”國王有點(diǎn)失望。
“請國王放心，事實(shí)上我們需要的人力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于這個數(shù)的，因?yàn)椴皇敲恳粋�問題都會遇到，也許我們僅需要一、兩百個人力就可以解決這個問題了，這主要和各個金礦所需要的人數(shù)有關(guān)�！� 小才立刻回答到。
故事的最后，自然是國王再一次向他的臣民們證明了他是這個國家里最聰明的人，現(xiàn)在我們通過故事的第二部分來考慮動態(tài)規(guī)劃的另外兩個思考點(diǎn)。
思考動態(tài)規(guī)劃的第五點(diǎn)----做備忘錄：
正如上面所說的一樣，當(dāng)我們遇到相同的問題時，我們可以問同一個人。講的通俗一點(diǎn)就是，我們可以把問題的解放在一個變量中，如果再次遇到這個問題就直接從變量中獲得答案，因此每一個問題僅會計(jì)算一遍，如果不做備忘的話，動態(tài)規(guī)劃就沒有任何優(yōu)勢可言了。
思考動態(tài)規(guī)劃的第六點(diǎn)----時間分析：
正如上面所說，如果我們用窮舉的方法，至少需要2^n個常數(shù)時間，因?yàn)榭偣灿?^n種情況需要考慮，如果在背包問題中，包的容量為1000，物品數(shù)為100，那么需要考慮2^100種情況,這個數(shù)大約為10的30次方。
而如果用動態(tài)規(guī)劃，最多大概只有1000*100 = 100000個不同的問題，這和10的30次方比起來優(yōu)勢是很明顯的。而實(shí)際情況并不會出現(xiàn)那么多不同的問題，比如在金礦模型中，如果所有的金礦所需人口都是1000個人，那么問題總數(shù)大約只有100個。
非正式地，我們可以很容易得到動態(tài)規(guī)劃所需時間，如果共有questionCount個相同的子問題，而每一個問題需要面對chooseCount種選擇時，我們所需時間就為questionCount * chooseCount個常數(shù)。在金礦模型中，子問題最多有大概people * n 個(其中people是用于開采金礦的總?cè)藬?shù)，n是金礦的總數(shù))，因此questionCount = people * n，而就像國王需要考慮是采用左部下的結(jié)果還是采用右部下的結(jié)果一樣，每個問題面對兩個選擇，因此chooseCount = 2,所以程序運(yùn)行時間為 T = O(questionCount * chooseCount) =O(people * n)，別忘了實(shí)際上需要的時間小于這個值，根據(jù)所遇到的具體情況有所不同。
這就是動態(tài)規(guī)劃的魔力，它減少了大量的計(jì)算，因此我們需要動態(tài)規(guī)劃！
----第三節(jié)----動態(tài)規(guī)劃的思考角度----------
那么什么是動態(tài)規(guī)劃呢？我個人覺得，如果一個解決問題的方法滿足上面六個思考點(diǎn)中的前四個，那么這個方法就屬于動態(tài)規(guī)劃。而在思考動態(tài)規(guī)劃方法時，后兩點(diǎn)同樣也是需要考慮的。
面對問題要尋找動態(tài)規(guī)劃的方法，首先要清楚一點(diǎn)，動態(tài)規(guī)劃不是算法，它是一種方法，它是在一件事情發(fā)生的過程中尋找最優(yōu)值的方法，因此，我們需要對這件事情所發(fā)生的過程進(jìn)行考慮。而通常我們從過程的最后一步開始考慮，而不是先考慮過程的開始。
打個比方，上面的挖金礦問題，我們可以認(rèn)為整個開采過程是從西至東進(jìn)行開采的（也就是從第0座開始），那么總有面對最后一座金礦的時候（第9座），對這座金礦不外乎兩個選擇，開采與不開采，在最后一步確定時再去確定倒數(shù)第二步，直到考慮第0座金礦（過程的開始）。
而過程的開始，也就是考慮的最后一步，就是邊界。
因此在遇到一個問題想用動態(tài)規(guī)劃的方法去解決時，不妨先思考一下這個過程是怎樣的，然后考慮過程的最后一步是如何選擇的，通常我們需要自己去構(gòu)造一個過程，比如后面的練習(xí)。
----第四節(jié)----總結(jié)-------
那么遇到問題如何用動態(tài)規(guī)劃去解決呢？根據(jù)上面的分析我們可以按照下面的步驟去考慮：
1、構(gòu)造問題所對應(yīng)的過程。
2、思考過程的最后一個步驟，看看有哪些選擇情況。
3、找到最后一步的子問題，確保符合“子問題重疊”，把子問題中不相同的地方設(shè)置為參數(shù)。
4、使得子問題符合“最優(yōu)子結(jié)構(gòu)”。
5、找到邊界，考慮邊界的各種處理方式。
6、確保滿足“子問題獨(dú)立”，一般而言，如果我們是在多個子問題中選擇一個作為實(shí)施方案，而不會同時實(shí)施多個方案，那么子問題就是獨(dú)立的。
7、考慮如何做備忘錄。
8、分析所需時間是否滿足要求。
9、寫出轉(zhuǎn)移方程式。
----第五節(jié)----練習(xí)-------
題目一：買書
有一書店引進(jìn)了一套書，共有3卷，每卷書定價是60元，書店為了搞促銷，推出一個活動，活動如下：
如果單獨(dú)購買其中一卷，那么可以打9.5折。
如果同時購買兩卷不同的，那么可以打9折。
如果同時購買三卷不同的，那么可以打8.5折。
如果小明希望購買第1卷x本，第2卷y本，第3卷z本，那么至少需要多少錢呢？（x、y、z為三個已知整數(shù)）。
當(dāng)然，這道題完全可以不用動態(tài)規(guī)劃來解，但是現(xiàn)在我們是要學(xué)習(xí)動態(tài)規(guī)劃，因此請想想如何用動態(tài)規(guī)劃來做？
答案：
1、過程為一次一次的購買，每一次購買也許只買一本（這有三種方案），或者買兩本（這也有三種方案），或者三本一起買（這有一種方案），最后直到買完所有需要的書。
2、最后一步我必然會在7種購買方案中選擇一種，因此我要在7種購買方案中選擇一個最佳情況。
3、子問題是，我選擇了某個方案后，如何使得購買剩余的書能用最少的錢？并且這個選擇不會使得剩余的書為負(fù)數(shù)。母問題和子問題都是給定三卷書的購買量，求最少需要用的錢，所以有“子問題重疊”，問題中三個購買量設(shè)置為參數(shù)，分別為i、j、k。
4、的確符合。
5、邊界是一次購買就可以買完所有的書，處理方式請讀者自己考慮。
6、每次選擇最多有7種方案，并且不會同時實(shí)施其中多種，因此方案的選擇互不影響，所以有“子問題獨(dú)立”。
7、我可以用minMoney[i][j][k]來保存購買第1卷i本，第2卷j本，第3卷k本時所需的最少金錢。
8、共有x * y * z 個問題，每個問題面對7種選擇，時間為：O( x * y * z * 7) =? O( x * y * z )。
9、用函數(shù)MinMoney(i,j,k)來表示購買第1卷i本，第2卷j本，第3卷k本時所需的最少金錢，那么有：
MinMoney(i,j,k)=min(s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7),其中s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7分別為對應(yīng)的7種方案使用的最少金錢：
s1 = 60 * 0.95 + MinMoney(i-1,j,k)
s2 = 60 * 0.95 + MinMoney(i,j-1,k)
s3 = 60 * 0.95 + MinMoney(i,j,k-1)
s4 = (60 + 60) * 0.9 + MinMoney(i-1,j-1,k)
s5 = (60 + 60) * 0.9 + MinMoney(i-1,j,k-1)
s6 = (60 + 60) * 0.9 + MinMoney(i-1,j,k-1)
s7 = (60 + 60 + 60) * 0.85 + MinMoney(i-1,j-1,k-1)
----第六節(jié)----代碼參考------
下面提供金礦問題的程序源代碼幫助讀者理解，并提供測試數(shù)據(jù)給大家練習(xí)。
輸入文件名為“beibao.in”，因?yàn)檫@個問題實(shí)際上就是背包問題，所以測試數(shù)據(jù)文件名就保留原名吧。
輸入文件第一行有兩個數(shù)，第一個是國王可用用來開采金礦的總?cè)藬?shù)，第二個是總共發(fā)現(xiàn)的金礦數(shù)。
輸入文件的第2至n+1行每行有兩個數(shù)，第i行的兩個數(shù)分別表示第i-1個金礦需要的人數(shù)和可以得到的金子數(shù)。
輸出文件僅一個整數(shù)，表示能夠得到的最大金子數(shù)。
輸入樣例：
100 5
77 92
22 22
29 87
50 46
99 90
輸出樣例：
133
參考代碼如下：
/*
=========程序信息========
對應(yīng)題目：01背包之金礦模型
使用語言：c++
使用編譯器：Visual?Studio?2005.NET
使用算法：動態(tài)規(guī)劃
算法運(yùn)行時間：O(people?*?n)?[people是人數(shù)，n是金礦數(shù)]
作者：貴州大學(xué)05級?劉永輝
昵稱：SDJL
編寫時間：2008年8月
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#include?"stdafx.h"
#include?
#include?
using?namespace?std;
const?int?max_n?=?100;//程序支持的最多金礦數(shù)
const?int?max_people?=?10000;//程序支持的最多人數(shù)
int?n;//金礦數(shù)
int?peopleTotal;//可以用于挖金子的人數(shù)
int?peopleNeed[max_n];//每座金礦需要的人數(shù)
int?gold[max_n];//每座金礦能夠挖出來的金子數(shù)
int?maxGold[max_people][max_n];//maxGold[i][j]保存了i個人挖前j個金礦能夠得到的最大金子數(shù)，等于-1時表示未知
//初始化數(shù)據(jù)
void?init()
{
ifstream?inputFile("beibao.in");
inputFile>>peopleTotal>>n;
for(int?i=0;?i
inputFile>>peopleNeed[i]>>gold[i];
inputFile.close();
for(int?i=0;?i<=peopleTotal;?i++)
for(int?j=0;?j
maxGold[i][j]?=?-1;//等于-1時表示未知?[對應(yīng)動態(tài)規(guī)劃中的“做備忘錄”]
}
//獲得在僅有people個人和前mineNum個金礦時能夠得到的最大金子數(shù)，注意“前多少個”也是從0開始編號的
int?GetMaxGold(int?people,?int?mineNum)
{
//申明返回的最大金子數(shù)
int?retMaxGold;
//如果這個問題曾經(jīng)計(jì)算過??[對應(yīng)動態(tài)規(guī)劃中的“做備忘錄”]
if(maxGold[people][mineNum]?!=?-1)
{
//獲得保存起來的值
retMaxGold?=?maxGold[people][mineNum];
}
else?if(mineNum?==?0)//如果僅有一個金礦時?[對應(yīng)動態(tài)規(guī)劃中的“邊界”]
{
//當(dāng)給出的人數(shù)足夠開采這座金礦
if(people?>=?peopleNeed[mineNum])
{
//得到的最大值就是這座金礦的金子數(shù)
retMaxGold?=?gold[mineNum];
}
else//否則這唯一的一座金礦也不能開采
{
//得到的最大值為0個金子
retMaxGold?=?0;
}
}
else?if(people?>=?peopleNeed[mineNum])//如果給出的人夠開采這座金礦?[對應(yīng)動態(tài)規(guī)劃中的“最優(yōu)子結(jié)構(gòu)”]
{
//考慮開采與不開采兩種情況，取最大值
retMaxGold?=?max(GetMaxGold(people?-?peopleNeed[mineNum],mineNum?-1)?+?gold[mineNum],
GetMaxGold(people,mineNum?-?1));
}
else//否則給出的人不夠開采這座金礦?[對應(yīng)動態(tài)規(guī)劃中的“最優(yōu)子結(jié)構(gòu)”]
{
//僅考慮不開采的情況
retMaxGold??=?GetMaxGold(people,mineNum?-?1);
}
//做備忘錄
maxGold[people][mineNum]?=?retMaxGold;
return?retMaxGold;
}
int?_tmain(int?argc,?_TCHAR*?argv[])
{
//初始化數(shù)據(jù)
init();
//輸出給定peopleTotal個人和n個金礦能夠獲得的最大金子數(shù)，再次提醒編號從0開始，所以最后一個金礦編號為n-1
cout<<GetMaxGold(peopleTotal,n-1);
system("pause");
return?0;
}
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