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空間全柔性機構(gòu)位置分析的剛度矩陣法
2002第一文庫網(wǎng)年6月
第28卷第3期北京航空航天大學(xué)學(xué)報
JournalofBeijingUniversityofAeronauticsandAstronauticsJune 2002Vol.28 No13
空間全柔性機構(gòu)位置分析的剛度矩陣法
于靖軍 畢樹生 宗光華
(北京航空航天大學(xué)機械工程及自動化學(xué)院)
摘 要:柔性機構(gòu)是一種依靠構(gòu)件元素的彈性變形傳輸所希望運動的機
構(gòu).具有集中柔度的全柔性機構(gòu)是其中的一種類型.由于空間全柔性機構(gòu)中存在球副,使得目前通用的偽剛體模型法受到限制,為此提出了一種擴展偽剛體模型法.并以62RSS并聯(lián)全柔性機構(gòu)為例對其位置解問題進行了分析:首先利用結(jié)構(gòu)分析中的位移法建立起柔性鉸鏈的剛度模型,,建立起機構(gòu)的變形協(xié)調(diào)方程、,.該方法充分考慮了機構(gòu)中彈性構(gòu)件的變形,.
鍵:;柔性鉸鏈;偽剛體模型:A 文章編號:100125965(2002)0320323204
柔性機構(gòu)是一種靠構(gòu)件元素具有的柔性來輸
[1]
出運動或力的機構(gòu).全柔性機構(gòu)是其中的一種典型.它包括兩種:一種是集中柔度的全柔性機構(gòu),其特征是用柔性運動副代替全部傳統(tǒng)運動副,與構(gòu)件合為一體,柔性分布集中在運動副上.另一類是分布柔度的全柔性機構(gòu),其特征是柔性相對均衡地分布在整個機構(gòu)中.由于全柔性機構(gòu)具有免于裝配、無間隙和摩擦等優(yōu)點,故在微電機系統(tǒng)及微操作等領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用.
在對集中柔度的全柔性機構(gòu)研究中,文獻[2]推導(dǎo)了柔性鉸鏈的變形表達式;文獻[3],[4]對平面全柔性機構(gòu)的分析與綜合問題進行了較為系統(tǒng)的研究,提出了一種“偽剛體模型”法.但球副等因素的存在限制了現(xiàn)有的偽剛體模型法在空間機構(gòu)中的應(yīng)用.國內(nèi)也對全柔性機構(gòu)進行了一定的探[5]
索.從總體看,目前國內(nèi)外對全柔性機構(gòu)的研究仍處于起步階段,尤其對集中柔度的空間全柔性機構(gòu)的分析尚缺乏有效的理論指導(dǎo).
為此提出了一種剛度矩陣法,主要擬對空間全柔性機構(gòu)位置解問題進行探討.首先利用結(jié)構(gòu)分析的位移法建立起柔性鉸鏈的剛度模型,在此基礎(chǔ)上,通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,建立起單元節(jié)點與終端的力平衡方程、閉環(huán)位置方程及變形協(xié)調(diào)方程,聯(lián)立求解可得到機構(gòu)的位置解.
1 偽剛體模型法
偽剛體模型法可用于設(shè)計和分析具有短長度柔性轉(zhuǎn)動副的柔性機構(gòu),尤其適合于集中柔度的平面全柔性機構(gòu)的分析與設(shè)計.該方法首先將彈性桿(或鉸鏈)模型等效簡化為相應(yīng)的剛性桿模型,即重構(gòu)機構(gòu)的“偽剛體模型”,然后再沿用大家所熟悉的用于剛性體中對機構(gòu)進行分析與綜合的方法(拓撲結(jié)構(gòu)法、圖論、矢量分析法等),加之能量法(如虛功原理等)的運用,即可實現(xiàn)在保證了精度的同時也使問題的求解得以簡化.用以分析和設(shè)計平面全柔性機構(gòu)運動學(xué)問題的這種偽剛體模型法已得到了較為系統(tǒng)的研究,但該方法對分析空間機構(gòu)卻存在著“先天不足”.
2 柔性鉸鏈的剛度模型
圖1給出了兩種型式的柔性鉸鏈.可以將柔性鉸鏈看作變截面的變形單元,承受拉彎扭組合的空間變形.
下面建立一般形式柔性鉸鏈的變形剛度矩陣.柔性鉸鏈單元兩端的節(jié)點分別設(shè)為1和2,在受到節(jié)點力的作用下產(chǎn)生空間變形,根據(jù)結(jié)構(gòu)分析的位移法可建立以下形式的方程:
Δ=FA
(1)
收稿日期:2000210208
基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(50075010);863計劃資助項目(98204226) 作者簡介:于靖軍(1974-),男,河北盧龍人,博士生,100083,北京.
324北京航空航天大學(xué)學(xué)報 2002年
標(biāo)軸方向與OAxAyAzA一致.C點坐標(biāo)系{3}為
OCxCyCzC.D點坐標(biāo)系{4}為ODxDyDzD,E點坐標(biāo)
系{5}為OExEyEzE,F點
的坐標(biāo)系{6}為
OFxFyFzF,{3}～{6}坐標(biāo)系方向一致,z軸沿DE
方向,其初始位置相對OAxAyAzA的方向余旋矩陣為R0.運動平臺上的參考點P的坐標(biāo)系{P}為
圖1 柔性鉸鏈的類型
K11 K
12K21 KK11 K
12K21
KTT
1Δ
Opxpypzp,相對參考坐標(biāo)系的方向余旋矩陣為Rp.
=
F1F(2)
具體如圖2所示.
式中 K=為柔性鉸鏈單元剛度矩
Δ陣
;Δ=Δ1
F=
F1 F為柔性鉸鏈單元節(jié)點位移;
T
δixiziΔi=δ=Fi=
fxifyi fzi mxi myi mi=1,2
T
(3)(4)
圖2 62RSS機構(gòu)分支結(jié)構(gòu)及坐標(biāo)系的建立
文獻[6]給出了確定柔性鉸鏈單元變形矩陣的方法和具體表達式.由此很容易確定具有柔性
鉸鏈型式的轉(zhuǎn)動副和球副的剛度矩陣表達式.
各坐標(biāo)系的方向余旋矩陣表示如下:
i
Ri+1=Rθi,θi,θi
xyzRi+1=R0Ri+1=I
i=1,3,5i=2i=4
3 位置分析的擴展偽剛體法
實質(zhì)上,空間全柔性機構(gòu)是一種結(jié)構(gòu)體,因此
采用結(jié)構(gòu)分析的方法應(yīng)更為合適些.但結(jié)構(gòu)本身的復(fù)雜性勢必帶來分析上的不便,為簡化運動分析并考慮到這類機構(gòu)多用于微動,可提出以下假
設(shè):機構(gòu)中只有柔性鉸鏈產(chǎn)生彈性變形,且變形在線彈性極限之內(nèi),構(gòu)件本身視為剛性;另外,在運動學(xué)分析時可忽略慣性力的影響.
基于以上假設(shè),下面給出了兩種全柔性機構(gòu)位置分析的方法.前者采用的是剛度矩陣法
,而后者在應(yīng)用剛度矩陣法的同時還利用了偽剛體模型假設(shè).為與前面所提的偽剛體模型法相統(tǒng)一,本文將這兩種方法均稱為“擴展偽剛體模型法”.3.1 全柔性機構(gòu)位置分析的剛度矩陣法
為方便分析并不失一般性,本節(jié)以一具體的空間全柔性機構(gòu)為例,說明這種機構(gòu)的位置分析方法.該機構(gòu)采用62RSS空間并聯(lián)型式.給定輸入
T
角位移Ω=<1<2<3<4<5<,運動平臺的輸出位置P=xpypzpφpθpψ3.1.1 坐標(biāo)系的建立
T
ii
(5)
3.1.2 力平衡方程
在相鄰單元共同的節(jié)點上,所受的節(jié)點力應(yīng)
滿足平衡條件.由平衡條件得到:
(1F2)0+(3F2)0=0(6)
(3F4)0+(5F4)0=0
(7)
而分支中各柔性鉸鏈單元(AB,CD,EF)變形方程
為
ii
(8)Fi=Ki,i+1Δi+1
i
Fi+1=Ki+1,i+1Δi+1
i
(9)
分支中各剛性構(gòu)件單元(BC,DE,FP)變形
方程可由下面公式得到:
i+1i+1
(10)Fi+1=SiFi式中
(i
Δi+1)0=0TiiΔi
+1(iFi+1)0=0TiiFi+1(iF
i)0=0Ti-1iFi+1
(11)(12)(13)
.
其中
選定其中一分支,參考坐標(biāo)系為Oxyz,A點
坐標(biāo)系{1}為OAxAyAzA,其坐標(biāo)軸的方向與參考坐標(biāo)系一致.B點坐標(biāo)系{2}為OBxByBzB,其初始坐
Ti=
Ri0
0-I
Di
RSi=
0-(14)
第3期 于靖軍等:空間全柔性機構(gòu)位置分析的剛度矩陣法
i
325
Fi+1為坐標(biāo)系{i+1}原點相對坐標(biāo)系{i}所受節(jié)
i
i
類似.具體如圖3所示.
點力;(Fi+1)0為Fi+1在參考坐標(biāo)系中的表示;Si為轉(zhuǎn)移矩陣;Di為3×3維常數(shù)陣,僅與桿長有關(guān);I為3×3維單位陣.以上公式中i=1,3,5.將式(8)～(14)代入式(6)及(7)中,可得到如下形式的關(guān)系式:
13
(15)A11(Δ2)0=A12(Δ4)0
A21(Δ4)0=A22(Δ6)0
6
3
5
(16)
機構(gòu)運動平臺在靜力平衡下滿足合力為零.
Fw=
k=1
∑(
P
F6k)0(17)
圖 式中 Fw為作用在運動平臺上的外力,一般情況下已知;(F6k)0力;k為分支數(shù).
中,5
于(Δ6k)0A31(Δ6k)0+A32=0
5
p
:
0,
13i
R2=R0R4=I
Ri+1=Rθi,θi,θi i=2,4xyz
(23)
(18)
3.1.3 空間矢量閉環(huán)位置方程
OA+AB+BC+CD+DE+EF+FP=OP
3.2.2 力平衡方程
(19)
代入相關(guān)公式可得到如下形式的方程:
(1Δ2p)0+(3Δ4p)0+(5Δ6p)0+A40=0
(20)
3.1.4 變形協(xié)調(diào)方程
在相鄰單元共同的節(jié)點上,所受的節(jié)點力應(yīng)
滿足平衡條件.對于節(jié)點3,可由平衡條件得到:
(2F3)0+(4F3)0=0(24)分支中柔性鉸鏈單元(CD,EF)變形方程可由式
(8)和(9)計算(公式中i=2,4),剛性構(gòu)件單元DE變形方程可由公式(10)得到(公式中i=3).
將以上所得結(jié)果代入到式(24),可得到如下形式的關(guān)系式:
24
A11(Δ3)0+A12(Δ5)0=0
(25)
考慮到柔性鉸鏈單元CD相對柔性鉸鏈單元EF的角度關(guān)系,可建立起如下形式的關(guān)系式:
(3Δ4r)0+(5Δ6r)0+A50=0(21)式中
(Δi+1)0=
i
(iΔi+1p)
0(iΔi+1r)0
i=1,3,5(22)
在微動條件下機構(gòu)上平臺滿足靜力平衡條
件,故在參考點P處合力為零.代入相關(guān)公式到
4
式(17)中,可得到該式是關(guān)于(Δ5k)0的方程:
A21(Δ5k)0+A22=0
4
(16)、(18)、(20)和(21)組成方 聯(lián)立式(15)、
(26)
程組,總共有108個未知變量,108個方程,方程可
解.根據(jù)此方程組可求得62RSS全柔性機器人機構(gòu)的位置正反解.顯然,方程組的求解是十分復(fù)雜的,不過可通過數(shù)值法求得結(jié)果.3.2 基于偽剛體模型法的全柔性機構(gòu)位置分析
本節(jié)的分析仍以62RSS空間全柔性機構(gòu)為例.機構(gòu)的基本參數(shù)設(shè)定與上一節(jié)一致,而且在分析方法上也基本一致,不同之處在于對R副(轉(zhuǎn)動副)的處理上.根據(jù)偽剛體模型法的假設(shè),可將柔性R副等效為繞某一點轉(zhuǎn)動的剛性桿(剛度為keq).
3.2.1 坐標(biāo)系的建立
3.2.3 空間矢量閉環(huán)位置方程
OA+AC+CD+DE+EF+FP=OP
(27)
代入相關(guān)公式可得到如下形式的方程:
(2Δ3p)0+(4Δ5p)0+A30=0(28)3.2.4 變形協(xié)調(diào)方程
考慮到柔性鉸鏈單元CD相對柔性鉸鏈單元
EF的角度關(guān)系,可建立起如下形式的關(guān)系式:
(2Δ3r)0+(4Δ5r)0+A40=0(29)聯(lián)立式(28)和(29)可得
(2Δ3)0+(4Δ
5)0+A50=0
(30)
選定其中一分支,坐標(biāo)系建立方式與3.
1.1節(jié)
(26)和(30)組成方程組,總共有78聯(lián)立式(25)、
個未知變量,78個方程,顯然方程組可解.根據(jù)此
326北京航空航天大學(xué)學(xué)報 2002年
cation,andabstractionsofcompliantmechanisms[J].TransactionsoftheASME,JournalofMechanicalDesign,1994,116(1):270～279.
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[]:燕山大學(xué)機械
方程組可求得機構(gòu)的位置解.
4 結(jié) 論
本文從柔性鉸鏈的剛度矩陣出發(fā),對空間全柔性機構(gòu)的位置解求解方法進行了探討.同以前
處理空間全柔性機構(gòu)運動學(xué)問題所應(yīng)用的方法相比,本文提出的求解方法充分考慮了機構(gòu)的彈性變形,所建立的數(shù)學(xué)模型更接近于實際.由于本文討論的重點是在求解方法的研究上,所以并未給出其算例.
參 考 文 獻
[1]MidhaA,NortonTW,HowellLL.the,2
StiffnessMatrixMethodforDisplacementAnalysisofFullySpatial
CompliantMechanisms
YUJing2jun BIShu2sheng ZONGGuang2hua
(BeijingUniversityofAeronauticsandAstronautics,SchoolofMechanicalEngineeringandAutomation)
Abstract:Becauseofsphericaljointsexistedinsomespatialmechanisms,thepseudo2rigid2bodymodelmeth2od
extensivelyusedintheanalysisanddesignofacompliantmechanismwithonlyrevoluteflexurejointswasverylimitedinanalyzingitskinematics.Anexpandedpseudo2rigid2bodymodelmethodnamedasstiffnessmatrixmethodwaspresentedtoconductthedisplacementanalysisoffullyspatialcompliantmechanisms.Takea62RSSmechanismforinstance,thestiffnessmatrixofthegeneralflexurehingewasestablishedbyusingthedisplacementmatrixmeth2odinstructuralanalysis.Throughthetransformationsofaseriesofcoordinatesystems,force2balanceequationsofnodesandend2effectorofthemechanism,deformationcooperationequationsandclose2loopdisplacementequationsofthemechanismwerederived.Ontheabovebasis,displacementanalysisofthemechanismwasconductedwiththestiffnessmatrixmethod,givingarelativelyhigheraccuratesolutionbyconsideringelasticdeformationofalltheme2chanicalmembers.
Keywords:kinematics;stiffnessmatrix;mechanism;fullycompliantmechanism;flexurehinge;pseudo2rig2id2bodymodel
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