高中三角函數(shù)期末精講精練

三角函數(shù)期末精講精練

三角函數(shù)精講

一、基本概念、定義：

1. 角的概念推廣后，包括、、，與α終邊相同的角表示為。 終邊角： x軸上 y軸上 第一象限第二象限 第二四象限直線y＝x上 2. 弧度制：把叫1弧度的角。

公式：|α|＝— 換算：180°＝ 弧度； 1弧度＝ 度； 1°＝ 弧度 扇形： 弧長L＝ ＝ ，面積S＝ ＝ 3. 任意角的三角函數(shù)：

①定義：角α終邊上任意一點P(x，y)，則r＝ ，六個三角函數(shù)的定義依次是 、 、。

②三角函數(shù)線：角的終邊與單位圓交于點P，過點P作 軸的垂線，垂足為M，則 A(1,0)作，交T，則。 ③同角三角函數(shù)關(guān)系式：

平方關(guān)系： 商數(shù)關(guān)系： 倒數(shù)關(guān)系：

（1～2要求能熟練運用：順用、逆用、變形用，3～6要求能證明，不記憶） 1．和、差角公式

sin(???)? cos(???)?

tan(???)?

2．二倍角公式

sin2?? cos2?? ＝ ＝ tan2?? 倍角公式變形：降冪公式

sin?cos?? sin2?? co2s??

3．半角公式(書P45～46)

sin

?

2

??

1?cos???cos???cos?sin?1?cos?

, cos??, tan?? ??22221?cos?1?cos?sin?

2tan

?2

1?tan2

??

；tan??2

2tan1?tan

?2

4．萬能公式： sin??

1?tan

?2

；cos??

1?tan

2

?2

．

5．積化和差公式(書P46～47)

第 1 頁 共 8 頁

11

sin?cos??[sin(???)?sin(???)]； cos?sin??[sin(???)?sin(???)]；

2211

cos?cos??[cos(???)?cos(???)]； sin?sin???[cos(???)?cos(???)]．

22

6．和差化積公式(書P46～47)

????????????

； sin??sin??2cos； sinsin??sin??2sincos

2222

????????????

； cos??cos???2sin． cos??cos??2coscossin

2222

應用公式解題的基本題型：化簡、求值、證明 基本技巧：

①1的妙用：1＝ ＝ ＝

②變角： (x+y)＋(x－y)＝ (x+y)＋(x－y)＝ α＝ ＝ ＝ 等 ③變名：切化弦；弦化切

④化一：a sinx＋b cosx＝

1、 作圖：五點法，依次取ωx＋ψ＝ 2、 周期T＝

3、 單調(diào)區(qū)間：A?ω>0時，增區(qū)間：解不等式 ≤ωx＋ψ≤ 減區(qū)間：解不等式 ≤ωx＋ψ≤

A?ω

減區(qū)間：解不等式 ≤ωx＋ψ≤ 4、最大值：A>0時，當ωx＋ψ＝ 時，y取最大值A。 最小值：A>0時，當ωx＋ψ＝ 時，y取最小值－A。

5、概念：振幅T＝；頻率f＝；相位。 6、三角變換： (A>0，ω>0)

將y＝sinx的圖像—————————>y＝sin(x＋ψ) ——————————>y＝sin(ωx＋ψ)

第 2 頁 共 8 頁

——————————>y＝Asin(ωx＋ψ)

或者： 將y＝sinx的圖像—————————>y＝sin(ωx) —————————>y＝sin(ωx＋ψ) ——————————>y＝Asin(ωx＋ψ)

7、聯(lián)系： y＝tan((ωx＋ψ) (ω>0)的周期是T＝ ，單調(diào) 區(qū)間是解不等式 。

五、反三角定義：

1.在閉區(qū)間 上，符合條件sinx＝a (-1≤a≤1)的角x叫a的反正弦，記作：x＝ 在閉區(qū)間 上，符合條件cosx＝a (-1≤a≤1)的角x叫a的反余弦，記作：x＝ 在開區(qū)間 上，符合條件tanx＝a的角x叫a的反正切，記作：x＝ 2.反三角的三角函數(shù)、三角函數(shù)的反三角：

例：sin(arcsinx)＝ ，其中x∈[-1,1]；arcsin（sinx）＝ ，其中x∈[－

??

，]； 22

六、數(shù)學思想方法： 數(shù)形結(jié)合思想，例如：解三角不等式可以用 、或 ；

整體思想，例如：研究函數(shù)y＝Asin(ωx＋ψ)的.圖像和性質(zhì)可以把 看成整體

三角函數(shù)精練

A

α

⒈ 已知α是鈍角，那么 是 （ ）

2

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第一與第二象限角 D．不小于直角的正角

2． 角α的終邊過點P（－4k，3k）(k＜0}，則cosα的值是 （ ）

3 434A． B． C．－ D．－ 5555

3．已知點P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，則在［0，2π］內(nèi)，α的取值范圍是 ( )

π3π5πππ5πA．( ∪(π， B．( )∪(π，

244424π3π5π3πππ3πC．( ， )∪， D．( )∪( ，π)

2442424

34

4．若sinx= － cosx = ，則角2x的終邊位置在 ( )

55

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2π

5．若4π＜α＜6π，且α與－ 終邊相同，則α= ．

3

6． 角α終邊在第三象限，則角2α終邊在 象限．

7．已知｜tanx｜=－tanx，則角x的集合為 8．如果θ是第三象限角，則cos(sinθ)?sin(sinθ)的符號為什么？

9．已知扇形AOB的周長是6cm，該扇形中心角是1弧度，求該扇形面積．

B

1．sin600°的值是 （ ）

11A B．－ C． D．－

2222ππ

2． α)sinα）的化簡結(jié)果為 （ ）

44

11

A．cos2α B．cos2α C．sin2α D． sin2α

22

1

3．已知x∈［0，π］，則tanx的值是 （ ）

5

第 3 頁 共 8 頁

34434A．－ B．－ C．± D或－43343

11

4．已知tanα=－，則= ．

3 2sinαcosα+cosα5．

的值為 ．

cos10°－1－cos170°

1+2sinαcosα1+ tanα

6． = cosα－sinα 1－tanα

2sinθ+cosθ

7．已知－5，求3cos2θ+4sin2θ的值．

sinθ－3cosθ

8．已知銳角α、β、γ滿足sinα+sinγ=sinβ，cosα－cosγ=cosβ，求α－β的值．

C.

π34

1．已知0＜αβ＜π，sinα=，cos(α+β)=－sinβ等于 （ ）

255

242424

A．0 B．0或 C． D．0或－

252525

sin7°+cos15°sin8°2． 的值等于 （ ）

cos7°－sin15°sin8°

2－3 2+3

A．2+ B． C．2－ D．

22

3． △ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則∠C的大小為 （ ）

π5ππ5ππ2πA． B． C． D． 或666633

π1

4．若α是銳角，且sin(α－cosα的值是 ．

63

π2π3π

5．coscos

777

11

6．已知tanθtanφ=，且θ、φ都是銳角．求證：θ+φ=45°．

23

π3π44

7．已知cos(α－β)=－，cos(α+β)= ，且（α－β）∈（，π），α+β∈（2π），求cos2α、

5522

cos2β的值．

tanα11

8． 已知sin(α+β)= sin(π+α－β)= ．

23tanβ

D

1．cos75°+cos15°的值等于 （ ）

6 6 2 2 A． B － C． － D．

22222 2

2．a(chǎn)=（sin17°+cos17°），b=2cos213°－1，c= ，則 （ ）

22

A．c＜a＜b B． b＜c＜a C． a＜b＜c D． b＜a＜c

1+sin2θ-cos2θ

3．

1+sin2θ+cos2θ

4．化簡sin(2α+β)－2sinαcos(α+β．

ACAC

5．在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則tan3 tantan ．

2222

22

6．化簡sinA+sinB+2sinAsinBcos(A+B)． 7 化簡sin50°3 tan10°)．

8 已知sin(α+β)=1，求證：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．

E

1．函數(shù)y=lg(2cosx－1)的定義域為 （ ）

第 4 頁 共 8 頁

1－2sin10°cos10°

ππππ

A．{x｜－＜x B．{x｜－x＜

3366

ππππ

C．{x｜2kπ－＜x＜2kπ+k∈Z} D．{x｜2kπ－x＜2kπ+，k∈Z}

3366π

2．如果α

http://www.wenku1.com/news/55D4C7C06FF3FBE2.html 、βπ），且tanα＜cotβ，那么必有 （ ）

2

3π3π

A．α＜β B． β＜α C． α+β＜ D． α+β＞

22

3．若f(x)sinx是周期為π的奇函數(shù)，則f(x)可以是 （ ）

A．sinx B． cosx C． sin2x D． cos2x 4．下列命題中正確的是 （ ）

A．若α、β是第一象限角，且α＞β，且sinα＞sinβ

ππ

B．函數(shù)y=sinxcotx的單調(diào)遞增區(qū)間是（2kπ－2kπ+），k∈Z

22

1－cos2x

C．函數(shù)y=的最小正周期是2π

sin2x

kππ

D．函數(shù)y=sinxcos2φ－cosxsin2φ的圖象關(guān)于y軸對稱，則φ=k∈Z

24

xx

5．函數(shù)2π，2π）內(nèi)的遞增區(qū)間是 ．

2266

6．y=sinx+cosx的周期為

ππ

7．比較下列函數(shù)值的大�。海�1）sin2，sin3，sin4； (2)cos2θ，sin2θ，tan2θ（＜θ＜）．

42

kπ

8．設f(x)=sin(x+) (k≠0) ．

53

(1)寫出f(x)的最大值M，最小值m，以及最小正周期T；

（2）試求最小的正整數(shù)k，使得當自變量x在任意兩個整數(shù)間（包括整數(shù)本身）變化時，函數(shù)f(x)至少

有一個M與m．

F. 1

1．函數(shù)y= sin(2x+θ)的圖象關(guān)于y軸對稱的充要條件是 （ ）

2

ππ

A．θ=2kπ+ B．θ=kπ C．θ=2kπ+π D．θ=kπ+π(k∈Z)

22

π

2．先將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象作關(guān)于y軸的對稱變換，則所得函數(shù)圖

3象對應的解析式為 （ ）

ππ

A．y=sin(－2x+ ) B．y=sin(－2x－)

33C．y=sin(－2x+

2π2π

) D． y=sin(－2x－) 33

3．右圖是周期為2π的三角函數(shù)y=f(x)的圖象，

那么f(x)可以寫成 （ ）

A．sin(1+x) B． sin(－1－x) C．sin(x－1) D． sin(1－x) 1π

4．y=tan(－)在一個周期內(nèi)的圖象是 （ ）

23

?

O

5．已知函數(shù)y=2cosx(0≤x≤2π)的圖象與直線y=2圍成一個封閉的平面圖形，則該封閉圖形面積

是 ． 6．將y=sin(3x－

ππ

的圖象向（左、右） 個單位可得 63

π4π11

7．已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)，在同一個周期內(nèi)，當x=x= 若A

9292

π

＞0，ω＞0，｜φ｜＜，求該函數(shù)的解析表達式．

2

8．已知函數(shù)y=3 sinx+cosx，x∈R． (1)當y取得最大值時，求自變量x

（2）該函數(shù)的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？

9．如圖：某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b（1）求這段時間的最大溫差；

（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式．

G 1．函數(shù)y=A1

的最大值是 （ ）

2+sinx+cosx

2 2 2 2 －1 B． ＋1 C． 1－ D． －1－ 2222

2．若2α+β=π，則y=cosβ－6sinα的最大值和最小值分別為 （ ） A．7，5 B． 7，－

1111

C． 5，－ D． 7，－5 22

πsinx+1

3．當0≤x≤時，函數(shù)f(x)= 的 （ ）

2 cosx+1

1

A．最大值為2，最小值為 B．最大值為2，最小值為0

2C．最大值為2，最小值不存在 D．最大值不存在，最小值為0

π

4．已知關(guān)于x的方程cos2x－sinx+a=0，若0＜x＜a的取值范圍是（ ）

25

A．［－1，1］ B．（－1，1） C．［－1，0］ D．

45．要使sinα3 cosα=

4m－6

有意義，則m的取值范圍是 ． 4－m

π

6．若f(x)=2sinωx(0＜ω＜1），在區(qū)間［0，］上的最大值為2 ，則ω= ．

37．y=sinxcosx+sinx+cosx，求x∈［0，

π

］時函數(shù)y的最大值． 3

第 6 頁 共 8 頁

8．已知函數(shù)f(x)=－sin2x－asinx+b+1的最大值為0，最小值為－4，若實數(shù)a＞0，求a，b的值．

π

9．已知函數(shù)f(x)=2cos23 sin2x+a，若x∈［0，］，且｜f(x)｜＜2，求a的取值范圍．

2

H

1．△ABC中，3 =3 tanAtanB，sinAcosA=

3

（ ） 4

A．等邊三角形 B．鈍角三角形

C．直角三角形 D．等邊三角形或直角三角形

2．在△ABC中，已知（b+c）∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，則此三角形的最大內(nèi)角為 （ ） A．120° B．150° C．60° D．90°

3．若A、B是銳角△ABC的兩個內(nèi)角，則點P（cosB－sinA，sinB－cosA）在 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC=5∶12∶13，則cosA= ．

5．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則∠C的大小為．

6．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊，S是△ABC的面積，若a=4，b=5，s=53 ，求c的長度．

7．在△ABC中，sin2A－sin2B+sin2C=sinAsinC，試求角B的大�。� 8．半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上一點，且OA=2， B為半圓上任意一點，以AB為邊向外作等邊△ABC，問B

點在什么位置時，四邊形OACB的面積最大，并求出這個最

大面積．

三角函數(shù)答案

16π

A1． A 2． B 3． B 4． D 5． 6．一、二

37．{2kπ+

π3π

＜x＜2kπ+π或2kπx＜2kπ+2π ，k∈Z＝ 8．負 9． 2cm2． 22

π107

B1． D 2． B 3． B 4． 5． 1 6． 略 7 8353

C1． C 2． C 3． A 4．2

71

7． cos2α=－cos2β=－1 8．

255

－11

5． 6．略 68

D1． A 2． A 3． tan θ 4． sinβ 5． 6． sin2（A＋B）．

7. 1 8 .略．

E1． C 2． C 3． B 4． D 5． [－ 7．（1）sin4 ＜sin3＜ sin2 （2）cos2θ＜sin2θ＜tan2θ

2π10π8．（1）M=1，m=－1，T= k≠0）． （2）k=32．

k | k |5

π

F1． B 2． D 3． D 4． A 5． 4 π 6．左，

3ππ, π) 6． 22

6

第 7 頁 共 8 頁

πππ1

7． y= sin(3x+) 8．（1）{x｜x=+2kπ，k∈Z｝； （2）將y=sinx的圖象向左平移2636

數(shù)y=sin(x+的圖象．

π

6

π

）的圖象，再將所得圖象上各點橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的2倍，得到函數(shù)y=2sin(x+6

π3π

9．（1）最大溫差20℃； （2）y=10sin(x+20，x∈[6，14]．

84

37

G1． B 2． D 3． A 4． A 5． －1≤m≤ 6．

3

4

7．1

2+2 8．a(chǎn)=2, b=－2 9．－2＜a＜－1 H1． A 2． A 3． B 4． 12

13 5． π6 6．8． 設∠AOB=θ，θ=

5π6時，S53

最大值 =2+4

第 8 頁 共 8 頁

21 61 7． π3

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