講義：截長(zhǎng)補(bǔ)短法

截長(zhǎng)補(bǔ)短法

截長(zhǎng)補(bǔ)短法是幾何證明題中十分重要的方法。通常來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系。 截長(zhǎng)補(bǔ)短法有多種方法。 截長(zhǎng)法：

（1）過某一點(diǎn)作長(zhǎng)邊的垂線

（2）在長(zhǎng)邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。?? 補(bǔ)短法

（1）延長(zhǎng)短邊。

（2）通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起。??

例1：在正方形ABCD中，DE=DF，DG?CE，交CA于G，GH?AF，交AD于P，交CE延長(zhǎng)線于H，請(qǐng)問三條粗線DG，GH，CH的數(shù)量關(guān)系

B

A

方法一（好想不好證） 方法二（好證不好想）

B

A

B

M

A

例2、正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)F在BC上，?EAF=45。求證：EF=DE+BF

o

F

E

變形a

正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在BC延長(zhǎng)線上，?EAF=45。請(qǐng)問現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關(guān)系？

o

變形b

正方形ABCD中，點(diǎn)E在DC延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上，?EAF=45。請(qǐng)問現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關(guān)系？

o

變形c

正三角形ABC中，E在AB上，F(xiàn)在AC上?EDF=45。DB=DC，?BDC=120。請(qǐng)問現(xiàn)在EF、BE、CF又有什么數(shù)量關(guān)系？

o

o

變形d

D

oo

正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)F在BC上，?EAD=15，?FAB=30。AD=，求?AEF的面

積

F

E

例3、正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于O，點(diǎn)E在BD上，AE平分?DAC。求證：AC/2=AD-EO

加強(qiáng)版

正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延長(zhǎng)線上，CM=AN，點(diǎn)E在BD上，NE平分?DNM。過E作EF?MN于F,請(qǐng)問MN、AD、EF有什么數(shù)量關(guān)系？

A

D

C

M

例4、、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E為CD的中點(diǎn)，EF∥AB交BC于點(diǎn)F （1）求證：BF=AD+CF；

（2）當(dāng)AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC時(shí)，求EF的長(zhǎng)．

例5、已知梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AC于E，AD=BC，AC=AB，DF⊥AB于F，AC、DF相交于DF的中點(diǎn)O．

（1）若點(diǎn)G為線段AB上一點(diǎn)，且FG=4，CD=3，GC=7，過O點(diǎn)作OH⊥GC于H，試證：OH=OF； （2）求證：AB+CD=2BE．

變形1．

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=450，CD=2，BD⊥CD。過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，交對(duì)角線BD于F，點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，連結(jié)EG、AF。 （1）求EG的長(zhǎng)；

（2）求證：CF=AB+AF。

變形2

已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°．點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作DC的垂線交AB于點(diǎn)P，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．點(diǎn)F在線段ME上，且滿足CF＝AD，MF＝MA． （1）若∠MFC＝120°，求證：AM＝2MB；

1

（2）求證：∠MPB＝90°－∠FCM．

2

等腰三角形專題

一、知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

1. 等腰三角形的判定定理

如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）。

（1）該定理的作用：是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)。

（2）注意：該定理不能敘述為：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)底角相等，那么它的兩腰也相等。因?yàn)樵跊]有判定出它是等腰三角形以前，不能用“底角”“腰”這些名詞，只有等腰三角形才有“底角”“腰”。 （3）等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理 2. 等腰三角形判定定理的推論

推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。

推論2：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。

推論3：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 說明：

（1）推論1和推論2是等邊三角形的判定定理，其中推論2中的60°角可以是頂角，也可以是底角。 （2）推論3是由等邊三角形的性質(zhì)推出的關(guān)于直角三角形的一個(gè)性質(zhì)，它反映了直角三角形中邊與角之間的關(guān)系。 注意：推論3的大前提是：“在直角三角形中”。①在證題時(shí)，如果只知道一個(gè)三角形有一個(gè)角為30°，那么說這個(gè)角的對(duì)邊等于鄰邊的一半就是錯(cuò)誤的。②在證題時(shí)，如果只知道一個(gè)三角形中的一角所對(duì)的邊等于另一邊的一半，那么說這個(gè)角等于30°，這得三角形是直角三角形也是錯(cuò)誤的。

3. 等邊三角形的判定方法

（1）運(yùn)用定義：三條邊相等

（2）三個(gè)角相等

（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形

B F C

二、善于總結(jié)解題規(guī)律 規(guī)律1：經(jīng)過等腰三角形一腰上的點(diǎn)作底邊平行線分得三角形ADE為等腰三角形。經(jīng)過等腰三角形腰上一點(diǎn)作另一腰的平行線分得△BDF為等腰三角形。如圖所示，AB=AC，DE//BC，則△ADE為等腰三角形。DF//AC，則△BDF為等腰三角形。

規(guī)律2：將圖中的等腰三角形換成等邊三角形，則△ADE、△BDF均為等邊三角形。

規(guī)律3：如果一個(gè)三角形有一個(gè)角為30°，則應(yīng)想辦法將30°角放在一個(gè)Rt△內(nèi)；如果一個(gè)三角形有一個(gè)角為60°，則應(yīng)想辦法構(gòu)造等邊三角形。 以上規(guī)律的總體思路是

?特殊???等腰三角形運(yùn)用全等知識(shí)

?特殊???等邊三角形

等邊(角)對(duì)等角(邊)三邊(角)相等

規(guī)律4：有角平分線或中點(diǎn)時(shí)，常用到的輔助線 （1）在角的兩邊截相等的線段，構(gòu)造全等三角形； （2）過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線；

（3）如有和角平分線垂直的線段時(shí)，常把它延長(zhǎng)與角的兩邊相交構(gòu)成等腰三角形； （4）有中線或有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常加倍它們，構(gòu)造全等三角形。

作業(yè)

1、如圖所示，BD=DC，BF交AD，AC于E、F，若AF=EF，求證：BE=AC。

A

F

B D C

2、如圖所示，?ACB?3?B，?1??2，CD?AD于D，求證：AB?AC?2CD。

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