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相似三角形的判定定理及練習(xí)
(一)相似三角形
1、定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形，叫做相似三角形． 2、相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比．
3、相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形的一條邊直線，截其它兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似． 強(qiáng)調(diào)：
①定理的基本圖形有三種情況，如圖其符號語言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；
②這個(gè)定理是用相似三角形定義推導(dǎo)出來的三角形相似的判定定理．它不但本身有著廣泛的
應(yīng)用，同時(shí)也是證明相似三角形三個(gè)判定定理的基礎(chǔ)，故把它稱為“預(yù)備定理”； ③有了預(yù)備定理后，在解題時(shí)不但要想到 “見平行，想比例”，還要想到“見平行，想相似”．
(二)相似三角形的判定
1、相似三角形的判定：
判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似�？珊唵握f成：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。 例1、已知：如圖，∠1=∠2=∠3，求證：△ABC∽△ADE．
例2、如圖，E、F分別是△ABC的邊BC上的點(diǎn)，DE∥AB,DF∥AC , 求證：△ABC∽△DEF.
B
E
F
D
A
判定定理2：如果三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。
簡單說成：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似． 例1、△ABC中，點(diǎn)D在AB上，如果AC2=AD?AB，那么△ACD與△ABC相似嗎？說說你的理由．
例2、如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，△PCD是等邊三角形。 （1）當(dāng)AC、CD、DB滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，△ACP∽△PDB？ （2）當(dāng)△ACP∽△PDB時(shí)，求∠APB的度數(shù)。
判定定理3：如果三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似。
簡單說成：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似．
強(qiáng)調(diào)：
①有平行線時(shí)，用預(yù)備定理；
②已有一對對應(yīng)角相等(包括隱含的公共角或?qū)斀?時(shí)，可考慮利用判定定理1或判定定理2；
③已有兩邊對應(yīng)成比例時(shí)，可考慮利用判定定理2或判定定理3．但是，在選擇利用判定定理2時(shí)，一對對應(yīng)角相等必須是成比例兩邊的夾角對應(yīng)相等．
2、直角三角形相似的判定：
斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似．
例1、已知：如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn)．求證：△ADQ∽△QCP．
例2、如圖,AB⊥BD,CD⊥BD,P為BD上一動(dòng)點(diǎn),AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,當(dāng)P點(diǎn)在BD上由B點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),PB的長滿足什么條件,可以使圖中的兩個(gè)三角形相似?請說明理由
.
例3、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分線，∠C=90°，
EF是AD的垂直平分線交AD于M，EF、BC的延長線交于一點(diǎn)N。
求證：(1)△AME∽△NMD (2)ND2=NC〃NB
強(qiáng)調(diào)：
①由于直角三角形有一個(gè)角為直角，因此，在判定兩個(gè)直角三角形相似時(shí)，只需再找一對對應(yīng)角相等，用判定定理1，或兩條直角邊對應(yīng)成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定兩個(gè)直角三角形相似；
②如圖是一個(gè)十分重要的相似三角形的基本圖形，圖中的三角形，可稱為“母子相似三角形”，其應(yīng)用較為廣泛．（直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直三角形的與原三角形相似）
③如圖，可簡單記為：在Rt△ABC中，CD⊥AB，則△ABC∽△CBD∽△ACD． ④補(bǔ)充射影定理。
（1） 如圖：稱為“平行線型”的相似三角形
B
C
E
(2)如圖：其中∠1=∠2，則△ADE∽△ABC稱為“相交線型”的相似三角形。
A
E
1
B
DC
B
A
4
D
E
DC
A
B
C
A
EDE
(3)如圖：∠1=∠2，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。
B
C
二、例題分析
1、下列說法不正確的是（ ）
A、兩對應(yīng)角相等的三角形是相似三角形； B、兩對應(yīng)邊成比例的三角形是相似三角形； C、三邊對應(yīng)成比例的三角形是相似三角形； D、以上有兩個(gè)說法是正確。 A 2、如圖，DE∥BC，EF∥AB，則圖中相似三角形有（ ）
D A、2對 B、3對 C、4對 D、5對 E
3、如圖，若P為△ABC的邊AB上一點(diǎn)（AB>AC），則下列條件不一定能保證△
ACP的有（ ） A、∠ACP=∠B B、∠APC=∠ACB C
、AC?AP D、PC?AC
ABACBCAB
C
4、如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；ADAB
?③；其中正確的有 （ ） AEAC
A、3個(gè) B、2個(gè) C、1個(gè) D、5、如圖AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F 6、小明的身高是1.6m，他的影長為2m，同一時(shí)刻教學(xué)樓的影長為24m，則教學(xué)樓的高是
；
7、已知AD為Rt△ABC斜邊BC上的高，且AB=15cm，BD=9cm，則AD= ，CD= 。
8、如圖四，在平行四邊形ABCD中，AB = 4cm ,AD = 7cm , ∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，交CD的延長線于點(diǎn)F，則DF = _________cm
9、已知:如圖,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求證:ΔABC∽ΔEAD.
C
10、已知，如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)ED、AD，以BC為邊在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=
∠BAD
求證：△DBE∽△ABC
11、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分線，求證：△ABC∽△BCD A
D
CB
12、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC邊的三等分點(diǎn)，連結(jié)AE、AF、AC，問圖中是否存在非全等的相似三角形？請證明你的結(jié)論。
A
D
E13、如圖10，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、
CG,AE與CG相交于點(diǎn)M，CG與AD相交于點(diǎn)N． 求證：（1）AE?CG；（2）AN?DN?CN?MN. 14、已知如圖，∠A=90°，D是AB上任意一點(diǎn)，BE⊥BC，∠BCE=∠DCA，EF⊥AB， 求證：AD=BF
B
F
C
15、有一塊三角形的土地，它的底邊BC＝100米，高AH＝80米。某單位要沿著地邊BC修一座底面是矩形DEFG的大樓，D、G分別在邊AB、AC上。若大樓的寬是40米（即DE＝40米），求這個(gè)矩形的面積。
△BBCEECABCD中，?BAD?32和H°，分別以BC、CD為邊向外作△DCFF
，使BE?BCDF，DC?EBC，?CDF??．延長AB交邊EC于點(diǎn)H，點(diǎn)H在E、C兩點(diǎn)之間，連結(jié)AE、AF． （1）求證：△ABE≌△FDA．
（2）當(dāng)AE⊥AF時(shí)，求?EBH的度數(shù)．
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