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正項級數(shù)收斂性
正項級數(shù)收斂性
真正反映思維過程的文章，比八股式論文 要和諧可親得多，而且對思維訓練更有幫 助，可惜，這種文章只能藏在文庫中。 ----作者感言
1
?ab
n?2nlnn
1．a(chǎn)?1發(fā)散 2．a(chǎn)?1收斂 3．a(chǎn)?1,b?1發(fā)散 4．a(chǎn)?1,b?1收斂
?
lim[nln
n??
an
?1]lnn?g an?1
y?(nx?1)lnn
1yx??(?1)
nlnn
?glnlnn?lnn1nlngn
1?g??1?g????
?1?lna?lna??1nn?1????
n?lnnn?lnn??e
lnaN?
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lnaN?
??1???n?
?lnn?
1g??
ee
?
??1???n?lnn??
1g??
?
?bn
現(xiàn)在開始討論正項級數(shù)的收斂性，上面寫得很亂的東西，沒有清掉它，因為它是問題的核心，
記錄著思維的真實，保持原樣挺美的。
?a
n?1
?
n
（an?0）被稱為正項級數(shù)，這個定義有點狹隘，因為級數(shù)的收斂性不受去掉或增加
有限項的影響，只要從某項開始，后面全部項都是an?0，就足夠看成正項級數(shù)了。數(shù)列an
寫成函數(shù)形式an?f(n)可以拓展解決問題的視野，比如
?f(n)的收斂性和?
n?1
?
??
f(x)dx的
a
收斂性，有著極為密切的關(guān)系，假定f(x)?0很多時候，收斂性是相同的，比如單調(diào)的時候。不單調(diào)也不怕，因為級數(shù)和廣義積分的收斂都與前面有限部分的情況沒什么關(guān)系。極值點是單調(diào)性改變的地方，如果只有有限個極值點，在右邊足夠遠的區(qū)間里，函數(shù)必然單調(diào)，而這足夠肯定，兩者收斂性相同。只要有限個極值點，很多時候這已經(jīng)夠用了。如果是無窮個極值點，也不是沒有作為，只要存在經(jīng)過極少值點的函數(shù)，經(jīng)過極大值點的函數(shù)，且這兩個函數(shù)只有有限個極值點，對這兩個函數(shù)進行類似討論，也能解決絕大部分問題。當然，如果這兩個函數(shù)無論走多遠，都相距很遠，能給我們的幫助就非常有限。不過沒有必要為此擔心，初等函數(shù)中，只要不是周期函數(shù)，在足夠遠的區(qū)間里，都可以當作是單調(diào)的，也就是說，上面所說的級數(shù)和廣義積分收斂性是相同的。廣義積分可以求原函數(shù)，處理手段比級數(shù)靈活，借廣義積分研究級數(shù)收斂性是極為重要的渠道。最原始的級數(shù)收斂性，還非得借助廣義積分不可。比如p-級數(shù)
1
，其實就是通項為冪函數(shù)的級數(shù)，其收斂性完全清楚，另一個完?p
n?1n
?
全清楚的級數(shù)是等比級數(shù)
?a
n?1
?
n
，其實就是通項為指數(shù)函數(shù)的級數(shù)。這是兩個最基本的級數(shù)。
后面演繹的常見判斂方法，都與這兩者有關(guān)。比如，常見的比值盼斂，根值判斂，本質(zhì)上是
用等比級數(shù)作參照的。等比級數(shù)收斂或發(fā)散很快，能判的級數(shù)范圍并不大。拉貝判斂是以p-級數(shù)作參照得出的，由于p-級數(shù)收斂或發(fā)散比等比級數(shù)要慢，因而可判的級數(shù)范圍要廣很多。有沒有比p-級數(shù)還要遲鈍的級數(shù)？當然有，如
1
，高斯判斂就是以這個級數(shù)??
nlnnn?1
?
作參照的。不過，無論哪種極限判別，都有判據(jù)為1時無所作為的遺憾。
正項級數(shù)的方便之處在于，級數(shù)的收斂性等價于其部分和數(shù)列的有界性，準確說，是否有上界，因為其部分和數(shù)列是單調(diào)遞增的。由于這個原因，若an?bn，則由bn的部分和有上界，必可得到an的部分和有上界，故收斂是小看大，大的收斂，小的一定收斂。這個命題的等價命題是：發(fā)散大看小，小的發(fā)散，大的必然發(fā)散。這種通過不等式比較兩個數(shù)列，從而得出收斂性判定，很基礎(chǔ)，但不方便，因為不等式的放縮不是件容易的事情。
用極限比較是個不錯的主意。因為極限雖然是一個數(shù)，但這個數(shù)和數(shù)列某項以后的無窮項有著很好的大小關(guān)聯(lián)性，而級數(shù)收斂性則只與某項以后無窮項有關(guān)。
lim
ana?l，（l?0）根據(jù)極限定義，有???0,?N,?n?N:|n?l|??
n??bbnn
即???0,?N,?n?N:(l??)bn?an?(l??)bn
如果l?0，由于??0的任意性，選取?使得l??為正沒有任何問題。若
?b
n?1
?
n
發(fā)散，
(l??)bn?an?(l??)bn的左邊不等式說明?an，若?bn收斂，其右邊不等式則說明
n?1
n?1
??
?a
n?1
?
n
收斂。這個兩邊夾不等式，確保
?a
n?1
?
n
，
?b
n?1
?
n
收斂性相同。當l?0，這個兩邊夾不
等式的左邊失靈了，因為所有項非正，不過右邊不等式仍然可用，即可以由
?b
n?1
?
n
收斂判斷
?a
n?1
?
n
收斂，但無法由
?b
n?1
?
n
發(fā)散判斷
?a
n?1
?
n
發(fā)散。
這個極限比較判斂，需要知道其中一個的收斂性，當l?0時，可以肯定另一個有同樣的收斂性，但l?0時，只可由
?b
n?1
?
n
收斂判斷
?a
n?1
?
n
收斂，或者由
?a
n?1
?
n
發(fā)散判斷
?b
n?1
?
n
發(fā)散。
l???和l?0剛好顛倒。
有時候l不存在，也不是??，只要lim
an
?l存在，這相當于
n??bn
???0,?N,?n?N:lbn?an?(l??)bn 故lim
ana
?l與limn?l判定方法完全一樣，但前者有更好的適應(yīng)性。
n??bn??bnn
這種事先要知道一個級數(shù)的收斂性的要求還是有點不方便，如何找那個事先知道的級數(shù)？
能否通過數(shù)列自身的信息得出判定方法？最自然的想法就是前后兩項相比，會有什么消息？還是用極限方法：lim
an?1
?l，由極限定義，得
n??an
an?1
?l|?? an
???0,?N,?n?N:|
變成 ???0,?N,?n?N:(l??)an?an?1?(l??)an 這不會提供任何有效信息，因為任何一邊都是未知的。 由極限定義得到???0,?N,?n?N:l???
an?1
?l?? an
先假設(shè)l?0，適當選取?可保l???0，不等式取對數(shù)： ln(l??)?lnan?1?lnan?ln(l??) 再取和：
n?N?1
?ln(l??)??(lna
n?N?1
mm
n?1
?lnan)?
n?N?1
?ln(l??)
m
即 (m?n)ln(l??)?lnam?1?lnaN?1?(m?n)ln(l??) 故 (m?n)ln(l??)?lnaN?1?lnam?1?(m?n)ln(l??)?lnaN?1 取指數(shù)： aN?1(l??)(m?n)?am?1?aN?1(l??)(m?n)
當m變化時，上面不等式兩端都是等比數(shù)列，其級數(shù)的收斂性完全由公比確定，am的收斂性完全由兩端的等比級數(shù)確定。由?的任意性，若0?l?1，則可以確保0?l??,l???1。若l?1，則可以確保l??,l???1。故根據(jù)0?l?1和l?1，可分別得出散。當l?1時，這個方法失效，無從給出判定。當l?0時，不等式 aN?1(l??)(m?n)?am?1?aN?1(l??)(m?n) 右半部分還是可用的，而這足夠了，選定l?????1，可以確定
?a
n?1
?
n
收斂和發(fā)
?a
n?1
?
n
收斂。
??
an?1
于是有 lim?l，若0?l?1，?an收斂，若l?1，?an發(fā)散。l?1，不確定。
n??an?1n?1n
在這里lim
an?1a
?l可以替換成n?1?l，結(jié)論一樣。不過適用性更廣。知道這個l的實
n??an??ann
質(zhì)是等比數(shù)列的公比是有價值的。這個判別方法不過是用等比級數(shù)作標準判斷級數(shù)的收斂
性，能判的范圍很有局限性，比如l?1的時候，就不靈了。
根值法?l和比值法雖然計算上有點區(qū)別，但實質(zhì)仍然是以等比級數(shù)作標準判斷收
n斂性，因而結(jié)論完全一樣，不過根據(jù)不同表達式采用不同判別法，在計算上會有各自的特點。 當lim
an?1a
?1時，咋辦？一般說來，想比不如相減方便，故limn?1?1可等價寫成
n??an??ann
an?1aa
?0，為了后面表述上的一致性，我們更主要用limlnn?0表示limn?1?1。
n??n??anan?1an
limln
n??
這樣提問，也許能幫我們引向問題的解決：
我們需要什么樣的一個函數(shù)?(x,n)，使得lim?(ln
n??
an
,n)?l，而根據(jù)l的范圍，便可給an?1
出
?an的收斂性判定？還是從lim?(ln
n?1
n??
?
an
,n)?l本身尋找答案，其極限定義為 an?1
an
,n)?l|?? an?1
an
,n)?l?? an?1
???0,?N,?n?N:|?(ln
即 ???0,?N,?n?N:l????(ln
求解?(x,n)的反函數(shù)，我們假設(shè)它仍能維持不等式的兩邊夾，于是 ?(l??,n)?ln
an
??(l??,n) an?1
即 ?(l??,n)?lnan?lnan?1??(l??,n) 取和：
n?N?1m
?
m
?(l??,n)?
n?N?1
m
?
m
(lnan?lnan?1)?
n?N?1
?
m
?(l??,n)
即
n?N?1
m
?
?(l??,n)?lnaN?1?lnam?1?
n?N?1
m
?
?(l??,n)
lnaN?1?
m
n?N?1
m
?
?(l??,n)?lnam?1?lnaN?1?
lnaN?1?
n?N?1
?
?(l??,n)
e
?
lnaN?1?
n?N?1
?
m
?(l??,n)
?am?1?e
m
n?N?1
??(l??,n)
顯然，
?a
n?1
n
的收斂性由e
lnaN?1?
n?N?1
?
?(l??,n)
,e
lnaN?1?
n?N?1
??(l??,n)
的級數(shù)收斂性確定。討論收斂性，
m
?
常數(shù)lnaN?1可以不作考慮，于是，只要討論e
n?N?1
?
m
?(l??,n)?
,e
n?N?1
??(l??,n)
的級數(shù)收斂性即可。
這兩個級數(shù)只是l??,l??，我們暫時抹掉這種差異，用l代替這兩者，于是，我們關(guān)注
?
e
n?N?1
??(l,n)
m
究竟是什么？可以充當級數(shù)收斂性的判定標準？
?
目前我們只能用等比級數(shù)作標準，能用p-級數(shù)
1
嗎？也就是 ?p
n?1n
?
e
n?N?1
??(l,n)
m
m
?
1
（為了左右一致，將p換成l，n換成m） lm
1
?e?llnm lm
?
即 e
n?N?1
??(l,n)
?
于是
n?N?1
??(l,n)?llnm
m
考慮到級數(shù)和廣義積分收斂性相同，我們更愿意假設(shè)
?
m
N?1
?(l,n)dn?llnm
l m
對m求導，得到 ?(l,m)?于是
al??l??
?lnn?
nan?1n
an
?l?? an?1
即 ???nln
|nln
an
?l|?? an?1
?
anan1
故lim?(ln,n)?l可選為limnln?l，l為p-級數(shù)?p的p值，l?1，l??都n??n??an?1an?1n?1n
?
可保持大于1，l?1，l??同樣可以保持和l同樣的范圍，故這兩種情況，
?a
n?1
n
的收斂性
和p-級數(shù)
1
的收斂性判定完全相同，可l?1時候，l??肯定無法保持為1。故 ?pnn?1
?
??an
limnln?l，當l?1時，?an收斂，當l?1時，?an發(fā)散，l?1，不確定。 n??an?1n?1n?1
在limln
n??
anaaa
?0的情況下，lnn?n?1，故limnlnn?l可換成
n??an?1an?1an?1an?1
an
?1)?l an?1
limn(
n??
除了用p-級數(shù)
1
作標準，還可以用別的嗎？ ?p
n?1n
?
可以，柯西選擇了級數(shù)
?nln
n?1
?
1
l
n
m
?
即 e
n?N?1
??(l,n)
?
1
?e?llnlnm?lnm l
mlnm
于是
n?N?1
??(l,n)?llnlnm?lnm
m
考慮到級數(shù)和廣義積分收斂性相同，我們更愿意假設(shè)
?
m
N?1
?(l,n)dn?llnlnm?lnm
l1
?
mlnmm
對m求導，得到 ?(l,m)?于是
(
al??1l??1
?)?lnn?(?) nlnnnan?1nlnnn
an
)lnn?l?? an?1
即 ???(nln
|(nln
an
)lnn?l|?? an?1
?
anan1
故lim?(ln其中l(wèi)為?的參數(shù)，l?1，,n)?l可選為lim(nln?1)lnn?l，ln??n??an?1an?1n?1nlnn
?
l??都可保持大于1，l?1，l??同樣可以保持和l同樣的范圍，故這兩種情況，?an的
n?1
收斂性和級數(shù)
1
的收斂性判定完全吻合，可l?1時候，l??肯定無法保持為1。 ?l
nlnnn?1
?
??
an
lim(nln?1)lnn?l，當l?1時，?an收斂，當l?1時，?an發(fā)散。 n??an?1n?1n?1
在limln
n??
anaaa
?0的情況下，lnn?n?1，故lim(nlnn?1)lnn?l可換成
n??an?1an?1an?1an?1
an
?1)?1)lnn?l an?1
lim(n(
n??
這是因為 lim(nln
n??
an
?1)lnn?l等價于 an?1
a
(nln?1)nln?l?o
an?1ln
(1)
anl11???o()an?1nlnnnnlnn
ln
ana
?n?1an?1an?1
anl11?1???o() an?1nlnnnnlnn(n(
an
?1)?1)lnn?l?o(1)an?1
an
?1)?1)lnn?l an?1
lim(n(
n??
對于最初知道的比值判斂法，其實也可以按照上面的方式尋找到，即用等比級數(shù)準。
?
?l
n?1
?
n
作標
e于是
n?N?1
??(l,n)
m
m
?lm?emlnl
n?N?1
??(l,n)??mlnl
考慮到級數(shù)和廣義積分收斂性相同，我們更愿意假設(shè)
?
m
N?1
?(l,n)dn??mlnl
對m求導，得到 ?(l,m)??lnl 于是
?ln(l??)?ln
an
??ln(l??) an?1
即 ???
an?1
?l?? an
|
an
?l|?? an?1
?
anan
故lim?(ln,n)?l可選為lim?l，其中l(wèi)為?ln的公比，0?l?1，l??都可保n??n??aan?1n?1n?1
?
持大于1，l?1，l??同樣可以保持和l同樣的范圍，故這兩種情況，
?a
n?1
n
的收斂性和級
數(shù)
n
l?的收斂性判定完全相同，可l?1時候，l??肯定無法保持為1。 n?1
?
??an?1lim?l，當0?l?1時，?an收斂，當l?1時，?an發(fā)散，l?1，不確定。 n??an?1n?1n
根值判斂法雖然也是以等比級數(shù)作標準，但似乎不能按上述模式推導出來。
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