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利用定義來計(jì)算函數(shù)的定積分
利 用 定 義 來 計(jì) 算 函數(shù) 的 定 積 分
◆王 茜 劉 光 榮
（ 空軍工程大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)物理系）
【 摘要】定積分的概念 是用極 限來 定義的 ， 有很 強(qiáng)的 思想性。用 定
義 計(jì) 算 定積 分 是 教 學(xué) 中的 一 個(gè) 難 點(diǎn) 。 這 里 給 出 用 定 義 計(jì) 算 定 積 分 的 方 法 和 步驟 ， 舉例 說 明借 助 定 義 來計(jì) 算 的 函數(shù) 類 型 ， 即冪 函 數(shù) ； 指
數(shù) 函數(shù) ； 角函 數(shù) 。 三
解
…于函數(shù)＿ ： Ｃａｂ ，Ｉ ｆ ：． 區(qū)間 ｌ，】 廠 ）�。� ｌ ｌ ） （） ｒ （ ｔ ｊ ｌ 在 口６上可積 。 所
，
以將 區(qū) 間 ｌ６ 等 分 。分 點(diǎn) 為 口 （一 ）ｆ １， ｎ ， 小 區(qū) 間 ａ ， ＋ ６ ｎ （＝ ，…，） ２
＾
【 關(guān)鍵 詞 】定 積 分
冪 函數(shù)
指 數(shù) 函數(shù)
三 角 函數(shù)
ｌ＋ （一 ） ｎ ６ 口
，
＋
ｋ（ ‘ｂ
—
ｎＩ 長度 ： ）的
，取 小區(qū) 問 的右端 點(diǎn)
在 初 學(xué) 定 積 分 的 概 念 與 性 質(zhì) 之 后 ， 沒 有 學(xué) 習(xí)微 積 分 基 本 公 還 式 時(shí) ， 們 遇 到 了定 積 分 的計(jì) 算 問題 ， 取 的 方 法 使 用 定 義 和 幾 何 我 采
＋（ ｎ 于 ｒ ：ｍ ｂａ ＋（ 訓(xùn) ， 是 百 － —， ｌ￣ — ｉ 一
＝
意義來計(jì)算 ， 而利用幾何 意義求 定積 分要求必 須是 特殊 的曲邊梯 形 ， 如是 圓 ， 例 三角形 等 ， 即必須是可利用公 式求 出圖形 的面積的 ； 或是關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū) 間上的被 積 函數(shù) 是奇 函數(shù) 的積分 ， 結(jié)果 為 零 。利用定積分的定義解 題過程 有一定 的模式 ， 面臨一 個(gè)和式 要 的極限來處理 ， 本文就是 來 明確 一下 用定 義計(jì)算定 積分 的函數(shù) 的
類型 。 １用定 義計(jì) 算 定積 分 的方 法 和 步 驟
定積 分”的概念 是 由極限運(yùn) 算 定義 的，它是 一 Ｉ 個(gè)和 式的 極限 ，即
（ ６ ｎ＋ （
：（ ｂ－ａ） （ 口＋ 一口�。剑桑� ＿ ） ２１
２ ２
例 用 義 算 積 ｘ ２利 定 計(jì) 定 分ｆ ｄ ．
解 ｝ 于 函數(shù) ， ｘ ＝ ｃｏ １ 則 ， ： Ｉ １ （） ｘ ∈ Ｉ １， ， （ ） 在 區(qū)問 Ｉ ｑ ． 積 。 Ｏ ｋ￣ ， Ｔ 所 以將 區(qū)問 Ｉ ｌ 等分 ，分 點(diǎn) 為 （： ， …，） ｏ ＇ ｆ １ ， ，小區(qū) 間 Ｉ ， 的長 ２
ｒ ＝ 喜 － ， ， （ ）
其 中 ， ： ａ｛ ， ： ｝ ｍｘ ， ， ￣ …， 。定 義中 對積分 區(qū)間 ｌ ｂ分劃 的任 口 １ ， 意性 與 小 區(qū) 間 Ｉ Ａ ， Ｉ 選 取 點(diǎn) 蟊 ｆ １ ， 一 的任 意性 有 很 強(qiáng) 的思 － ｈ （＝ ， …，） ２
度
＝ 三 ， 取 小 區(qū) 間 的 右 端 點(diǎn) 二 ， 于 是
Ｈ ＾
ｆ ：喜 ＝
喜 ｘ （ �。�
： Ｉ — ｎ＋ ｉ ． ｍ （
— — — —
想 性和 包 容性 。但 是在可 積 的情況 下 ，可 以選 取特 殊 的分法 與取 法 ：
一
２ ） Ｉ ： ．ｎ ＋ １ Ｘ —
— — 一
１
一
：
＿坩 —
６
３
３用定義計(jì)算指數(shù)函數(shù) 和三角函數(shù) 的定積分
等 區(qū) 【 ｌ按 積 的 義 有ｒ（ …百ｂａ（。 分 間 ， 定 分 定 ， ，） ｌ￣ －， ） ６ ｉ 出＝ｍ
可 取 小 區(qū) 問 ， ｌ 左 端 點(diǎn) ＋ 的 （一 ） 右 端 點(diǎn) ６ 或
借助下面的等 比數(shù)列求和公式可求某些指數(shù)函數(shù)的定積分 ：
口＋唧 ＋． ＋卵 一 ： ． ．
Ｊ～ 口
其中 ，
（ ｇ≠ｌ 】
口 ＋
三（ 一口 。 ６ ）
Ｊ ｌ
例 用 義 算 積 �。� ３利 定 計(jì) 定 分ｆ 出
解 由 于函數(shù) ，（） Ｅ ａｂ ，則 ， �。� 在 區(qū)問 【，ｌ 可積 。 ；Ｅ Ｃｌ，ｌ （） ｘ 口ｂ上 所 以將 區(qū) 間 【，ｌ 分 ， 分點(diǎn) 為 口 ’ｂ ）ｆ ２…，） 小區(qū) 問 口ｂ ｎ等 ＋ｉ（一口 （：１ ， 月 ，
，
這樣我們用定義來 計(jì)算定 積分 的話 ， 一般有 下 面的解題 格式
與 步驟 ：
首先 ， 由可積 的充 分條件 判斷 函數(shù)可 積。如果被 積 函數(shù) 是連 續(xù) 函數(shù) 的話 ， 那么 函數(shù)可 積 ； 如果有 有 限個(gè) 間斷 點(diǎn)的話 ， 由積分 則 的可加性 ， 將其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)連續(xù) 函數(shù)積分 的和 。 其次， 由函數(shù)可 積想到定 積分與分 法 、 取法無關(guān) ， 而選取特 從 殊的分法 ： 區(qū)間等分 ； 將 特殊 的取法 ： 小區(qū)間的左端點(diǎn)或右端點(diǎn)。 第三 ， 將定積分寫成一個(gè)特定和式 的極 限 ， 用已知 的求 和公 利
：
＋
Ｈ
（一 ）ｎ �。ㄒ� ）的長 度 Ａ ， ｂ— ６ 口， ＋ ６ 口Ｉ ｘ ＝— ａ，取小 區(qū)問 的右端 點(diǎn) －
ｎ 月
。＋
ｉ－ ｌｐｘ… （ 卜ｒ �。� 足 ｄｌ Ｈ ” ｏ ＝喜 ｉ ａ ｒ 。 鬲
ｌ ｉ ｍ
…
式求和 ， 求和是關(guān)鍵 ， 也是難點(diǎn)。
（ 一Ｐ ） １
＝ ｅ 一 ￡ 。
最后 ， 求數(shù)列極 限 ， 得出定積分的值 。
２用 定 義 計(jì) 算 冪 函數(shù) 的定 積 分
觀 在令 酊的等 比數(shù)列求和 公式 中的�。海� ， 口：厶其中 ： 是復(fù)數(shù)且
ｚ ｗ：ｃｓ ＋ｉｉ０， 貝 對 于 ： ＋ ． － ｚ ＝ｅ 。８ ｓ ｎ ０ ＋ｚ ． ＋： ；— ． Ｏ
－
借助下面的求和公式可求某些冪函數(shù)的定積分 ：
１ ＋． ＋＾： ！ ＋２ ． ． ±！
．
ｚ
—
＇ ）
＿－
一
ｉ一 ：
ｉ＋ ｚ ．＋ ± ！ ！ ２＋ ． ｎ ：！ ± １ ｚ ． ！
６
艄 慨 娜
黼
對 于 任 意 給 定 的 自然 數(shù) ｋ， ＋ …＋
求 法 ， 參 考 文 獻(xiàn) １ ２＋ 一 的 可 【】２ ． ｌ ［１ ， 例 ｌ 利用 定義 計(jì)算定 積分
１０ ２
ｃＯ? ÷— ｏＳ?口＋— ｓ２＋＝竽告 ８０ ÷—一 ＋…Ｏ一— Ｃ — Ｃ Ｓ ＋玎
�！� 咖 ． ｃ 一ｓ １ ｏ �。� ） ｔ ｃ �。� 詈ｏ＋ （
ｘｘ ｄ．
例 利 定 汁 定 分ｉｏ ｋ ４ 用 義 筇 積 ‘ｓ ． ｃ捌
可得�。簦� ＝ 以到 ｅ 善 ￣ ｄ ｘ ｉ … ｍ
２ （ 一ｅ ”、 ｎ１
＝ ＝ ? 一 ＋
由：數(shù) �。剑� ｃ，， ｆ）Ｏ 區(qū) Ｉ Ｌ 兩邊 分別 取實(shí)部 ｒ ， ／）ｃ ｅ［ Ｊｌ ＣＸ 問ｏ 町 函 ｏ ｏ ） （＝Ｓ ｘ 三１ ！ Ｊ ＇
積 。 所 以將 區(qū) 間 Ｉ，＂ 等 分 ， 分 點(diǎn) 為 （＝１ ， ｎ ， 小 區(qū) 間 Ｏ／ １ ｆ ， …，） ２
Ｚ
可得 ｚｏｘ ｘ Ｉ ｓｄ ＝ ， ｓ ｘｘ＝ ． ｃ ｉ ｄ １ ｎ
總 之 ， 用 定 積 分 定 義 可 求 部 分 函數(shù) 的 定 積 分 ， 們 要 面 臨 一 利 我
ｌ 型
，
嘉的 度 寺 取 區(qū) 的 端 ， ｌ長�。� ， 小 問 右 點(diǎn) ｊ 是
ｃ。 ｓ ＝
個(gè) 復(fù)雜的和式極 限的處理 ， 于是 我們 學(xué) 習(xí)簡便 而有效 地計(jì)算 定積 分 的方 法— — 牛 頓 萊 布 尼 茲 公 式 。另 一 方 面 ， 們 又 可 以用 定 義 我
求 一類 無限和的極限或數(shù)列極 限 。
參考文獻(xiàn) ：
［ ］ 國勝 ， 國紅 ． 于 ｌ ＋人 ＋矩 １胡 張 關(guān) �。� 求 和 的 三 種 算 法 ［］ 數(shù) 學(xué) 的 實(shí) 踐 與認(rèn) 識 ，０ ４ ３ （ ） １４—１７ Ｊ． ２０ ，４ １ ：６ ６．
喜ｏ … ｃ 云 ｃ ｌ ｓ ｉ ｒ ａ 喜
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警 － ： ｔ
：１ ．
［］ ２ 馬建榮 ， 三陽 ， 劉 劉紅衛(wèi)． 自然數(shù)冪和的定積分算法［ ］ 高 Ｊ．
等 數(shù) 學(xué) 研 究 ，０ ９ １ （ ） ３ ２０ ，２ ６ ：３—３ ． ６
列 我們 也可 以計(jì) 鉀＝ｉｉ ｎ ｓ
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社 ，０ ７ ２０ ．
解
先計(jì) 算 ｉ ￣ ， ｅｄ ｘ，其 中ｆ 為虛數(shù) 單位 。 取 與例 ３類似 的過
［］ ４ 王鳳鳴 ， 奇峰． 朱 高等數(shù) 學(xué)教 學(xué) 中的兩個(gè) 難點(diǎn)分 析［ ］ 南 Ｊ．
陽師 范 學(xué) 院 學(xué) 報(bào) ，０ ０ ９ ３ ：１ ９ ． ２ １ ，（ ）９ — ３
（ 上接第 １５頁） ． １ ２ 產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)不合理 ， 社會治安差 城 中村的出現(xiàn) ， 使得一些貪 圖享樂 的村 民依賴 出租房屋 、 土地 補(bǔ)償款 、 資產(chǎn)分紅來獲得收益 ， 日游手好閑 ， 整 無所事 事 ， 重了村 加
面投 入 改造 的積 極性 。 ４ 加 強(qiáng) 村 民 素質(zhì) 教育 ， 高 工 作 技 能 ． 提
村 民整體素質(zhì) 的
高低 與否嚴(yán) 重影響到城中村改造能否成 功的 由于城市產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)的調(diào)整 ， 勞動力素質(zhì)的要求也在逐 Ｅ提 對 ｌ 民的惰性 ， 如此發(fā)展下去 既阻礙 了村集體 的發(fā)展 又阻礙 了村 民個(gè) 進(jìn)行 ，
人 的發(fā)展。同時(shí) ， 由于城 中村提供 了大量 的出租房屋 ， 由此 外來暫 高 。村 民不僅要提高 文化素質(zhì) 和思想 觀念 ， 還要 進(jìn)行新 的培訓(xùn) 和 教育 ， 獲得謀生的手段和技 能 ， 已適應(yīng) 城市 的經(jīng)濟(jì) 活動 ， 更新 就業(yè) 住人員和流動人 口將城 中村作 為 了“ 聚集地 ” 。隨之 帶來 了一系
列不安定因素 ， 性事件 也頻頻 發(fā)生 ， 得治 安形式 越來 越嚴(yán) 峻 ， 觀 念 。 惡 使 社 會 環(huán) 境 日趨 惡 化 。 ３ 人 口密 度 過 高 ， 口素 質(zhì) 較 低 ． 人
５ 創(chuàng) 新 改 造 模 式 ， 尋 新 的 發(fā) 展 道 路 ． 探
通 過 借 鑒 廣 州 、 海 、 圳 等 一 些 地 方 的改 造 模 式 ， 取 經(jīng) 驗(yàn) 珠 深 吸
由 于 戶籍 制 度 和城 市 住 房 制 度 的 限 制 ， 來 人 口 只 能 將 租 賃 教 訓(xùn) 。要 努 力 探 索 這 幾 種 改造 模 式 的 優(yōu) 缺 點(diǎn) ， 具 體 分 析 各 個(gè) 城 外 在
房屋作為其解決住房 方式 的途徑 ， 同時(shí)城 中村 的房屋租 賃價(jià)格 普 中村特點(diǎn) 、 主要問題及形成機(jī)制 的基礎(chǔ)上 ， 活采用 改造模式 ， 靈 實(shí) 城郊 結(jié)合 部 的村 遍低 于城市商 品房 的價(jià) 格 ， 因此大量 的外來 人員高度 集 中于城 中 現(xiàn)多贏 。同時(shí)政府要 加強(qiáng) 引導(dǎo) ，鼓勵(lì) 有條 件 的、 村 。加 之 村 民 的思 想 道 德 陳 舊 ， 念 落 后 ， 化 程 度 低 ， 城 中 村 集 體 經(jīng) 濟(jì) 組 織 參 與 改 造 和 自行 改 造 。通 過 改 造 實(shí) 現(xiàn) 居 民城 市 化 ， 觀 文 給
的精 神 文 明建 設(shè) 帶 來 了 困境 。 五 、 中 村 改 造 的措 施 城
使得村 民變?yōu)檎嬲饬x上 的市 民 ， 享受市 民擁有 的待遇 ， 使得城 中 村的改造順應(yīng)城市化 的發(fā)展進(jìn)程 ， 籌城鄉(xiāng)發(fā)展 ， 步推進(jìn)城 鄉(xiāng)一 統(tǒng) 穩(wěn)
體化。
參考文獻(xiàn) ：
１ 調(diào)整城市總體規(guī)劃 ， ． 制定詳 細(xì) 目標(biāo) 調(diào)整城市總體規(guī)劃 ， 應(yīng)對建成 區(qū)和城 中村 地 區(qū)的建設(shè) 做到 統(tǒng)
一
規(guī) 劃 管 理 ， 分 考 慮 城 市 用 地 功 能 、 礎(chǔ) 設(shè) 施 發(fā) 展 水 平 ， 定 城 充 基 確
市基礎(chǔ)設(shè)施 布局合理 ， 統(tǒng)籌安排公共設(shè)施 ， 解決外來人 口的生活和 居 住 空 間 需 求 。 把城 中 村 的 改 造 與 城 市 的 規(guī) 劃 合 理 的結(jié) 合 起 來 ，
在 建設(shè) 的過 程 中要 規(guī) 范 建 設(shè) 行 為 ，各 級 政 府 職 能 部 門積 極 配 合 ， 相 互協(xié) 調(diào) ， 強(qiáng) 工 程 監(jiān) 管 ，防止 新 的城 中村 和 違 章 建 筑 的 出 現(xiàn) 。 加 ２ 提 高 認(rèn) 識 ， 化 理 念 ． 深
［］
１ 史海運(yùn) ， 劉立鈞 ，葉得 富．城 中村在城 市 中生態(tài)位的變遷
［ ］． 山西 建 筑 ， ０ ８ ３ （ ） ８ —８ ． Ｊ ２０ ， ４５ ： １ ２ ［ ］ 秀 青 ，王 麗 ．博 弈 中 的 城 中村 改 造 ［ ］． 山 西 建 筑 ， ２邢 Ｊ
２０ ， ３ ４ ： ３— ４ ０ ７ ３ （２ ） ５ ５ ．
［］ ３ 丁洪 建 ， 海 峰． 中村 的 問題 、 因及 規(guī) 劃 管 理對 策 刑 城 成 ［ ］ 中國房地產(chǎn) ，０ ７ （１ ） Ｊ． ２０ ， ２ ． ［］ ４ 李國敏 ， 吳倩江． 實(shí)施“ 中村” 城 改造 應(yīng)注 意的 問題 ［ ］ 中 Ｊ．
國房 地 產(chǎn) ， ０ ， ２ ． ２ ６（） ０
大力宣傳整治改 造城 中村 的意義 、 原則 和方 法 ， 廣 大市 民 使
和城 中村 的村 民了解城 中村 問題 的危 害 ， 強(qiáng)城 市意識 ， 增 要加 大 行政推動力度 ， 強(qiáng)宣傳教育 ， 一步提 高人 民群眾 對城 中村 改 加 進(jìn)
造 重 要 意 義 的認(rèn) 識 ，切 實(shí) 消 除 村 民思 想 顧 慮 ， 城 市 化 進(jìn) 程 的 不 為
［ ］ 素英． ５金 城市化進(jìn)程 中的“ 中村” 城 現(xiàn)象探 討［ ］ Ｊ ．綠色大
世 界 ? 色科 技 ，０ ９ （７ 綠 ２ ０ ， ）．
斷加快打下牢 固的思想基礎(chǔ) 。
３保障各方利益 ， 動各方積極性 ． 調(diào) 在 城 中 村 的 改 造 過 程 中要 切 實(shí) 維 護(hù) 人 民 群 眾 的 利 益 ，充 分 考
［］ ６ 賈康 ， 孫潔． 新農(nóng)村基礎(chǔ)設(shè)施建 設(shè) 中 Ｐ Ｐ模式 的應(yīng)用［ ］ Ｐ Ｊ．
地 方 財(cái) 政 研 究 ，０ ６ （ ） ２０ ，５ ．
慮他們的生活需求。城中村 的改造 ， 要實(shí) 現(xiàn)戶 籍制 度 、 土地管 理 、 行 政 體 制 、 濟(jì) 組 織 、 活 活 動 等 方 面 的 完 全 轉(zhuǎn) 變 ， 正 實(shí) 現(xiàn) 城 市 經(jīng) 生 真 化。通過立法來保 證集 體財(cái)產(chǎn) 和個(gè)人 財(cái)產(chǎn)不 受到損 害 ， 在土地 收 益的分配上盡 可能 的對村 民和投資 方讓利 ， 動村 民和社會 兩方 調(diào)
［］ ７ 鞠睛江 ， 龐敏． 基礎(chǔ)設(shè)施 對農(nóng)村 經(jīng)濟(jì)發(fā)展 的作 用機(jī)制分 析
［］ 經(jīng) 濟(jì) 體 制 改革 ，０ ５ （ ） Ｊ． ２０ ，４ ．
［］ ８ 傅晉華． 農(nóng)村基 礎(chǔ)設(shè)施的投資 與運(yùn) 營管理 ： 究綜述 ［ ］ 研 Ｊ．
首 都 經(jīng) 濟(jì) 貿(mào)易 大 學(xué) 學(xué)報(bào) ，０ ８ （ ） ２０ ， １ ．
１ １ 鑊 ２
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