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分析和解決問題能力的組成及培養(yǎng)

時間:2023-04-30 06:06:43 資料 我要投稿
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分析和解決問題能力的組成及培養(yǎng)

摘要:高中數(shù)學新課程對于提高分析和解決問題的能力有著更深層次的要求,本文就我們教師在平時教學中應注重分析和解決問題能力的培養(yǎng)的方法和策略上進行研討,得出了一般性的結論。

關鍵詞:高中數(shù)學 審題能力 分析和解決問題 數(shù)學建模

新課標明確指出:高中數(shù)學課程對于提高分析和解決問題的能力,形成理性思維,發(fā)展智力和創(chuàng)新思維,起著基礎性作用。分析和解決問題的能力是指能閱讀、理解對問題進行陳述的材料,能綜合應用所學數(shù)學知識、思想和方法解決問題,包括解決在相關學科、生產、生活中的數(shù)學問題,并能用數(shù)學語言正確地加以表述,建立恰當?shù)臄?shù)學模型,利用對模型求解的結果加以解釋。它是邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力等基本數(shù)學能力的綜合體現(xiàn)。高考數(shù)學科的命題原則是在考查基礎知識的基礎上,注重對數(shù)學思想和方法的考查,注重數(shù)學能力的考查,強調了綜合性。下面筆者就分析和解決問題能力的組成及培養(yǎng)談幾點雛見。

一、審題能力

審題是對條件和問題進行全面認識,對與條件和問題有關的全部情況進行分析研究,它是如何分析和解決問題的前提。審題能力主要是指充分理解題意,把握住題目本質的能力,分析、發(fā)現(xiàn)隱含條件以及化簡、轉化已知和所求的能力。要快捷、準確地解決問題,掌握題目的數(shù)形特點、能對條件或所求進行轉化和發(fā)現(xiàn)隱含條件是至關重要的。

例1 已知sinα+sinβ=2,cosα+cosβ=2/3,求tgαtgβ的值。

分析:怎樣利用已知的兩個等式?初看好象找不出條件和結論的聯(lián)系,只好從未知tgαtgβ入手。當然,首先想到的是把tgα、tgβ分別求出,然后求出它們的乘積,這是個辦法,但是不好求;于是可考慮將tgαtgβ寫成sinαsinβ/cosαcosβ,轉向求sinαsinβ、cosαcosβ。令:

x=cosαcosβ,y=sinαsinβ,于是tgαtgβ=y/x。

從方程的觀點看,只要有x、y的二元一次方程就可求出x、y。于是轉向求x+y=cos(α-β)、x-y=cos(α+β)。

這樣把問題轉化為下列問題:

已知sinαsinβ= 2 ①

cosαcosβ= ②

求cos(α+β)、cos(α-β)的值。

①2+②2得2+2cos(α-β)= ,cos(α-β)= 。

②2-①2得cos2α+cosβ+2cos(α+β)= ,cos(α+β)=- 。

這樣問題就可以得到解決。

從剛才的解答過程中可以看出,解決此題的關鍵在于挖掘所求和條件之間的聯(lián)系,這需要一定的審題能力。由此可見,審題能力應是分析和解決問題能力的一個基本組成部分。

二、合理應用知識、思想、方法解決問題的能力

高中數(shù)學知識包括函數(shù)、導數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、復數(shù)、立體幾何、解析幾何、排列與組合、統(tǒng)計與概率等內容;數(shù)學思想包括數(shù)形結合、函數(shù)與方程思想、分類與討論和等價轉化等;數(shù)學方法包括待定系數(shù)法、換元法、數(shù)學歸納法、反證法、配方法、分離參數(shù)法等基本方法。只有理解和掌握了數(shù)學基本知識、思想、方法,才能解決高中數(shù)學中的一些基本問題,而合理選擇和應用知識、思想、方法可以使問題解決得更迅速、順暢。

例2 設函數(shù)f(x)= (x>0且x≠1)。

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;

(Ⅱ)已知2>xa對任意x∈(0,1)成立,求實數(shù)a的取值范圍。

解:(Ⅰ)f′(x)=- ,若f′(x)=0,則x= :

(Ⅱ)在2>xa兩邊取對數(shù), 得 1n2>a1nx,由于0  由(1)的結果可知,當x∈(0,1)時,f(x)≤f( )=-e,

為使(1)式對所有x∈(0,1)成立,當且僅當 >-e,即a>-e1n2。

∴a∈(-e1n2,+∞)

在上述的解答過程中可以看出,本題主要考查了用導數(shù)討論函數(shù)的單調性,求參數(shù)取值范圍利用分離參數(shù)法、不等式的解法等基本知識,以及分類討論的數(shù)學思想方法的運算、推理等能力。

三、數(shù)學建模能力

近幾年來,在高考數(shù)學試卷中,都有幾道實際應用問題,這對學生分析和解決問題的能力提出了挑戰(zhàn)。而數(shù)學建模能力是解決實際應用問題的重要途徑和核心。

例3 某分公司經銷某種品牌的產品,每件產品的成本為3元,并且每件產品需向總公司交a元(3≤a≤5)的管理費,預計當每件產品的售價為x元(9≤x≤11)時,一年的銷售量為(12-x)2萬件。

(Ⅰ)求分公司一年的利潤L(萬元)與每件產品的售價x的函數(shù)關系式;(Ⅱ)當每件產品的售價為多少元時,分公司一年的利潤L最大?并求出L的最大值Q(a)。

解:(Ⅰ)分公司一年的利潤L(萬元)與售價x的函數(shù)關系式為:

L=(x-3-a)(12-x)2,x∈[9,11]。

(Ⅱ)L′(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)

=(12-x)(18+2a-3x)。

令L′=0得x=6+a或x=12(不合題意,舍去)。

∵3≤a≤5,∴8≤6+ a≤ 。

在x=6+ a兩側L′的值由正變負。

所以:(1)當8≤6+ a  Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a)。

(2)當9≤6+ a≤ 即 ≤a≤5時,

Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a[12-(6+a)]2=4(3-a)3,

答:若3≤a  評述:本題考查了函數(shù)、導數(shù)及其應用等知識,考查了運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力。在該題解答中,學生若沒有一定的數(shù)學建模能力,正確解決此題實屬不易。因此,建模能力是分析和解決問題能力不可缺的一個組成部分。

參考文獻:

[1]簡洪權.高中數(shù)學運算能力的組成及培養(yǎng)策略[J].中學數(shù)學教學參考.

[2]張衛(wèi)國.例談高考應用題對能力的考查[J].中學數(shù)學研究.

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