第3講 尾數(shù)和余數(shù)
一、知識要點
自然數(shù)末位的數(shù)字稱為自然數(shù)的尾數(shù);除法中,被除數(shù)減去商與除數(shù)積的差叫做余數(shù),
小學(xué)奧數(shù)知識講解3
。尾數(shù)和余數(shù)在運算時是有規(guī)律可尋的,利用這種規(guī)律能解決一些看起來無從下手的問題。二、精講精練
【例題1】 寫出除213后余3的全部兩位數(shù)。
【思路導(dǎo)航】因為213=210+3.把210分解質(zhì)因數(shù):210=2×3×5×7,所以,符號題目要求的兩位數(shù)有2×5=10,2×7=14,3×5=15,3×7=21.5×7=35,2×3×5=30,2×3×7=42.一共有7個兩位數(shù)。
練習(xí)1:
1.寫出除109后余4的全部兩位數(shù)。
2.178除以一個兩位數(shù)后余數(shù)是3.適合條件的兩位數(shù)有哪些?
3.寫出除1290后余3的全部三位數(shù)。
【例題2】 (1)125×125×125×……×125[100個25]積的尾數(shù)是幾?
(2)(21×26)×(21×26)×……×(21×26)[100個(21×26)]積的尾數(shù)是幾?
【思路導(dǎo)航】(1)因為個位5乘5,積的個位仍然是5,所以不管多少個125相乘,個位還是5;
(2)每個括號里21乘26積的個位是6,我們只要分析100個6相乘,積的尾數(shù)是幾就行了。因為個位6乘6,積的個位仍然是6,所以不管多少個(21×26)連乘,積的個位還是6。
練習(xí)2:
1.21×21×21×……×21[50個21]積的尾數(shù)是幾?
2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200個1.5]積的尾數(shù)是幾?
3.(12×63)×(12×63)×(12×63)×……×(12×63)[1000個(12×63)]積的尾數(shù)是幾?
【例題3】 (1)4×4×4×…×4[50個4]積的個位數(shù)是幾?
(2)9×9×9×…×9[51個9]積的個位數(shù)是幾?
【思路導(dǎo)航】(1)我們先列舉前幾個4的積,看看個位數(shù)在怎樣變化,1個4個位就是4;4×4的個位是6;4×4×4的個位是4;4×4×4×4的個位是6……由此可見,積的尾數(shù)以“4,6”兩個數(shù)字在不斷重復(fù)出現(xiàn)。50÷2=25沒有余數(shù),說明50個4相乘,積的個位是6,
備考資料
《小學(xué)奧數(shù)知識講解3》(http://www.ishadingyu.com)。(2)用上面的方法可以發(fā)現(xiàn),51個9相乘時,積的個位是以“9,1”兩個數(shù)字不斷重復(fù),51÷2=25……1.余數(shù)是1.說明51個9本乘積的個位是9。
練習(xí)3:
1.24×24×24×…×24[2001個24],積的尾數(shù)是多少?
2.1×2×3×…×98×99,積的尾數(shù)是多少?
3.94×94×94×…×94[102個94]-49×49×…×49[101個49],差的個位是多少?
【例題4】 把1/7化成小數(shù),那么小數(shù)點后面第100位上的數(shù)字是多少?
【思路導(dǎo)航】因為1/7≈0.142857142857……,化成的小數(shù)是一個無限循環(huán)小數(shù),循環(huán)節(jié)“142857”共有6個數(shù)字。由于100÷6=16……4,所以,小數(shù)點后面的第100位是第17個循環(huán)節(jié)的第4個數(shù)字,是8。
練習(xí)4:
1.把1/11化成小數(shù),求小數(shù)點后面第2001位上的數(shù)字。
2.5/7寫成循環(huán)小數(shù)后,小數(shù)點后第50個數(shù)字是幾?
3.有一串?dāng)?shù):5、8、13、21、34、55、89……,其中,從第三個數(shù)起,每個數(shù)恰好是前兩個數(shù)的和。在這串?dāng)?shù)中,第1000個數(shù)被3除后所得的余數(shù)是多少?
【例題5】 555…55[2001個5]÷13.當(dāng)商是整數(shù)時,余數(shù)是幾?
【思路導(dǎo)航】如果用除法硬除顯然太麻煩,我們可以先用豎式來除一除,看一看余數(shù)在按怎樣的規(guī)律變化。
從豎式中可以看出,余數(shù)是按3、9、4、6、0、5這六個數(shù)字不斷重復(fù)出現(xiàn)。2001÷6=333……3.所以,當(dāng)商是整數(shù)時,余數(shù)是4。
練習(xí)5:
1.444…4÷6[100個4],當(dāng)商是整數(shù)時,余數(shù)是幾?
2.當(dāng)商是整數(shù)時,余數(shù)各是幾?
(1)666…6÷4[100個6]
(2)444…4÷74[200個4]
(3)888…8÷7[200個8]
(4)111…1÷7[50個1]