切比雪夫不等式證明

時(shí)間：2021-10-04 14:39:34 證明范文我要投稿

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切比雪夫不等式證明

一、

切比雪夫不等式證明

試?yán)们斜妊┓虿坏仁阶C明：能以大小0.97的概率斷言，將一枚均勻硬幣連續(xù)拋1000次，其出現(xiàn)正面的次數(shù)在400到600之間。

分析:將一枚均勻硬幣連續(xù)拋1000次可看成是1000重貝努利試驗(yàn),因此

1000次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面H的次數(shù)服從二項(xiàng)分布.

解:設(shè)X表示1000次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面H的次數(shù),則X是一個(gè)隨機(jī)變量,且

~XB(1000,1/2).因此

500

1000=×==npEX,

250)

答題完畢，祝你開心!

1000)1(= ××= =pnpDX,

而所求的概率為

}500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP

}100{< =EXXP

975.0

100

= ≥

二、

切比雪夫(Chebyshev)不等式

對(duì)于任一隨機(jī)變量X ,若EX與DX均存在,則對(duì)任意ε>0,

恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2

切比雪夫不等式說明，DX越小，則 P{|X-EX|>=ε}

越小，P{|X-EX|<ε}越大，也就是說，隨機(jī)變量X取值基本上集中在EX附近，這進(jìn)一步說明了方差的意義。

同時(shí)當(dāng)EX和DX已知時(shí)，切比雪夫不等式給出了概率P{|X-EX|>=ε}的一個(gè)上界，該上界并不涉及隨機(jī)變量X的具體概率分布，而只與其方差DX和ε有關(guān)，因此，切比雪夫不等式在理論和實(shí)際中都有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。需要指出的是，雖然切比雪夫不等式應(yīng)用廣泛，但在一個(gè)具體問題中，由它給出的概率上界通常比較保守。

切比雪夫不等式是指在任何數(shù)據(jù)集中，與平均數(shù)超過K倍標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)據(jù)占的比例至多是1/K^2。

在概率論中，切比雪夫不等式顯示了隨機(jī)變數(shù)的「幾乎所有」值都會(huì)「接近」平均。這個(gè)不等式以數(shù)量化這方式來描述，究竟「幾乎所有」是多少，「接近」又有多接近：

與平均相差2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的`值，數(shù)目不多于1/4

與平均相差3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/9

與平均相差4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/16

……

與平均相差k個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/K^2

舉例說，若一班有36個(gè)學(xué)生，而在一次考試中，平均分是80分，標(biāo)準(zhǔn)差是10分，我們便可得出結(jié)論：少于50分(與平均相差3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差以上)的人，數(shù)目不多于4個(gè)(=36*1/9)。

設(shè)(X,Σ,μ)為一測(cè)度空間，f為定義在X上的廣義實(shí)值可測(cè)函數(shù)。對(duì)於任意實(shí)數(shù)t > 0，

一般而言，若g是非負(fù)廣義實(shí)值可測(cè)函數(shù)，在f的定義域非降，則有

上面的陳述，可透過以|f|取代f，再取如下定義而得：

概率論說法