勾股定理證明題

時(shí)間：2023-04-29 20:37:39 證明范文我要投稿

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勾股定理證明題

已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各邊為長(zhǎng)邊在△ABC外作矩形，使每個(gè)矩形的寬為長(zhǎng)的一半，S1、S2、S3分別表示這三個(gè)矩形的面積，則S1、S2、S3之間有什么關(guān)系?并證明你的結(jié)論。(要詳細(xì)解題過(guò)程)

勾股定理證明題

因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，DE垂直于DF于D

所以，∠EDF=90度，AC=2DF, BC=2DE

又因?yàn)�，∠ACB=90度,∠EDF=90度，所以DE//BC,DF//AC

即，∠DFB=∠AED=90度

根據(jù)勾股定理則有 AE^2=AD^2-DE^2-------(1)

BF^2=BD^2-DF^2-------(2)

又因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，DE//BC,DF//AC。

所以EF//AB，且AD=BD=EF----------------(3)

在Rt△EDF中， EF^2 =DE^2+DF^2 = 2AD^2-(AE^2+BF^2)

即 EF^2=AE^2+BF^2

因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，DE垂直于DF于D

所以，∠EDF=90度，AC=2DF, BC=2DE

又因?yàn)�，∠ACB=90度,∠EDF=90度，所以DE//BC,DF//AC

即，∠DFB=∠AED=90度

根據(jù)勾股定理則有 AE^2=AD^2-DE^2-------(1)

BF^2=BD^2-DF^2-------(2)

又因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，DE//BC,DF//AC。

所以EF//AB，且AD=BD=EF----------------(3)

在Rt△EDF中， EF^2 =DE^2+DF^2 = 2AD^2-(AE^2+BF^2)

即 EF^2=AE^2+BF^2

設(shè)MD,ME,MF分別交AC,BC,AB于P,Q,R,連接MA.MB,MC

由勾股定理

MB^2=MP^2+BP^2=MR^2+BR^2 (1)

BD^2=MP^2+PD^2=BF^2=BR^2+FR^2 (2)

CM^2=CP^2++MP^2=CQ^2+MQ^2 (3)

CD^2=PD^2+PC^2=CF^2=CQ^2+QF^2 (4)

MA^2=MQ^2+AQ^2=AR^2+MR^2 (5)

由(1)(2)(3)(4)(5)可得

AQ^2+MQ^2=AR^2+FR^2

即AE^2=AF^2

AE=AF

4已知△ABC為直角三角形 ,∠BAC=90°,D為B邊中點(diǎn),有一塊直角三角板PMN，其中∠MPN=90°，將它放在△ABC上，使得其頂點(diǎn)P與D點(diǎn)重合，旋轉(zhuǎn)三角板OMN，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，三角板的兩條直角邊DM、DN分別與AB、BC邊所在直線(xiàn)交于點(diǎn)E、F，連接EF;

(1)當(dāng)E、F分別在邊AB、AC上時(shí)(如圖1)，求證：BE^2+CF^2=EF^2

(2)當(dāng)E、F分別在邊AB、AC所在的直線(xiàn)上時(shí)(如圖2)，線(xiàn)段BE、CE、EF之間的關(guān)系是否變化?請(qǐng)說(shuō)明理由

(3)在圖2中，若AB=6，AC=4，AE=1，求EF的長(zhǎng)

作四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b ，斜邊長(zhǎng)為c. 把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使D、E、F在一條直線(xiàn)上. 過(guò)C作AC的延長(zhǎng)線(xiàn)交DF于點(diǎn)P.

∵ D、E、F在一條直線(xiàn)上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180°―90°= 90°

又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°