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如何證明極限不存在
如何證明極限不存在反證法
若存在實數(shù)L,使limsin(1/x)=L,
取ε=1/2,
在x=0點的任意小的鄰域X內(nèi),總存在整數(shù)n,
①記x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X,有sin[1/x1(n)]=1,
②記x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X,有sin[1/x2(n)]=-1,
使|sin[1/x1(n)]-L|<1/3,
和|sin[1/x2(n)]-L|<1/3,
同時成立。
即|1-L|<1/2,|-1-L|<1/2,同時成立。
這與|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2發(fā)生矛盾。
所以,使limsin(1/x)=L 成立的實數(shù)L不存在。
反證法:
一個數(shù)列{an}極限存在,另一個數(shù)列{bn}極限不存在
假設(shè)兩數(shù)列之和{cn}的極限存在,那么bn=cn-an極限也存在(兩個數(shù)列和的極限等于兩個數(shù)列極限的和)
矛盾
所以原命題成立
令y=x, lim(x,y)趨于(0,0)xy/x+y
=lim(x趨于0)x^2/(2x)=0
令y=x^2-x,lim(x,y)趨于(0,0)xy/x+y
= lim(x趨于0) x^3-x^2/ x^2 =-1
兩種情況極限值不同,故原極限不存在
2答案: 首先需要二項式定理:
(a+b)^n=∑ C(i=0 – i=n)n i a^(n-i) * b^i (式一)
用數(shù)學歸納法證此定理:
n=1 (a+b)^1 a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1
a+b
故此,n=1時,式一成立。
設(shè)n1為任一自然數(shù),假設(shè)n=n1時,(式一)成立 ,即:
(a+b)^n1=∑ C(i=0 – i=n1)n1 i a^(n1-i) * b^i (式二)
則,當n=n1+1時:
式二兩端同乘(a+b)
[(a+b)^n1]*(a+b)=[∑ C(i=0 – i=n1)n1 i a^(n1-i) * b^i]*(a+b)
= (a+b)^(n1+1)= ∑ C(i=0 – i=(n1+1))(n1+1) i a^((n1+1)-i) * b^i ( 據(jù)乘法分配律)
因此二項式定理(即式一成立)
下面用二項式定理計算這一極限:
(1+1/n)^n (式一)
用二項式展開得:
(1+1/n)^n = 1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2*1)]*(1/n)^3 + … +[(n(n-1)(n-2) …3)/((n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-2)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2)/((n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-1)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^n
由于二項展開式系數(shù)項的分子乘積的最高次項與(1/n)的次數(shù)相同,而系數(shù)為1,因此,最高次項與(1/n)的相應(yīng)次方剛好相約,得1,低次項與1/n的相應(yīng)次方相約后,分子剩下常數(shù),而分母總余下n的若干次方,當n - +∞,得0。因此總的結(jié)果是當n - +∞,二項展開式系數(shù)項的各項分子乘積與(1/n)的相應(yīng)項的次方相約,得1。余下分母。于是式一化為:
(1+1/n)^n =1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+ … + 1/n! (式二)
當n - +∞時,你可以用計算機,或筆計算此值。這一數(shù)值定義為e。
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