用數(shù)學(xué)歸納法證明

1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2 - n+2/2^n.

1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2 - (n+2)/2^n.

1、當(dāng)n=1時(shí)候，

左邊=1/2;

右邊=2-3/2=1/2

左邊=右邊，成立。

2、設(shè)n=k時(shí)候，有：

1/2+2/2^2+3/2^3+......+k/2^k=2 - (k+2)/2^k成立，

則當(dāng)n=k+1時(shí)候：有：

1/2+2/2^2+3/2^3+.....+k/2^k+(k+1)/2^(k+1)

=2 - (k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1)

=2-[2(k+2)-(k+1)]/2^(k+1)

=2-(k+3)/2^(k+1)

=2-[(k+1)+2]/2^(k+1)

得證。

我覺(jué)得不是所有的猜想都非要用數(shù)學(xué)歸納法.

比如a1=2,a(n+1)/an=2,這顯然是個(gè)等比數(shù)列

如果我直接猜想an=2^n,代入檢驗(yàn)正確,而且對(duì)所有的n都成立,這時(shí)候干嘛還用數(shù)學(xué)歸納法啊.可是考試如果直接這樣猜想是不得分的,必須要用數(shù)學(xué)歸納法證明.

我覺(jué)得如果是數(shù)列求和,猜想無(wú)法直接驗(yàn)證,需要數(shù)學(xué)歸納法,這個(gè)是可以接受的.但是上面那種情況,誰(shuí)能告訴我為什么啊.我覺(jué)得邏輯已經(jīng)是嚴(yán)密的了.

結(jié)果帶入遞推公式驗(yàn)證是對(duì)n屬于正整數(shù)成立.

用數(shù)學(xué)歸納法,無(wú)論n=1,還是n=k的假設(shè),n=k+1都需要帶入遞推公式驗(yàn)證,不是多此一舉嗎.我又不是一個(gè)一個(gè)驗(yàn)證,是對(duì)n這個(gè)變量進(jìn)行驗(yàn)證,已經(jīng)對(duì)n屬于正整數(shù)成立了.怎么說(shuō)就是錯(cuò)誤的.

怎么又扯到思維上了,論嚴(yán)密性我比誰(shuí)都在意,雖然是猜出來(lái)的,畢竟猜想需要,我的問(wèn)題是--------這樣的驗(yàn)證方式嚴(yán)不嚴(yán)密,在沒(méi)有其他直接證明方法的情況下,是不是一定要用數(shù)學(xué)歸納法-------,并沒(méi)有說(shuō)這樣就是對(duì)待數(shù)學(xué)的態(tài)度,沒(méi)有猜想數(shù)學(xué)怎么發(fā)展.

這說(shuō)明你一眼能看出答案，是個(gè)本領(lǐng)。

然而，考試是要有過(guò)程的，這個(gè)本領(lǐng)屬于你自己，不屬于其他人，比如你是股票牛人，直接看出哪支會(huì)漲哪支會(huì)跌，但是不說(shuō)出為什么，恐怕也不會(huì)令人信服。

比如你的問(wèn)題，你猜想之后，代入檢驗(yàn)，驗(yàn)證成功說(shuō)明假設(shè)正確，這是個(gè)極端錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)問(wèn)題，請(qǐng)記�。翰皇球�(yàn)證了一組答案通過(guò)，就說(shuō)明答案是唯一的!比如x + y = 2.我們都知道這是由無(wú)數(shù)組解的方程。但是我猜想x=y=1,驗(yàn)證成功，于是得到答案，你覺(jué)得對(duì)嗎?所以你的證明方法是嚴(yán)格錯(cuò)誤的!

你的這種思想本身就是經(jīng)不起推敲的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是會(huì)做多少題，而是給自己建立一套縝密的思維。你的這種思維在學(xué)習(xí)過(guò)程中是一個(gè)巨大的絆腳石，你現(xiàn)在做的就是假設(shè)某某正確，然后拼死維護(hù)它的正確，即使有不嚴(yán)密的地方你也視而不見(jiàn)。我說(shuō)過(guò)，你有一眼看出答案的本領(lǐng)，這只是本領(lǐng)而已，填空題你有優(yōu)勢(shì)。但是如果你缺少了證明的思維，證明的本領(lǐng)，那你就成了一個(gè)扶不起來(lái)的阿斗。最可怕的是你的這個(gè)思想：褒一點(diǎn)說(shuō)善于投機(jī)取巧，貶一點(diǎn)說(shuō)，就是思維惰性，懶。

說(shuō)說(shuō)你的這道題，最簡(jiǎn)單的一道數(shù)列題，當(dāng)然可以一下看出答案，而且你的答案是正確的。但是證明起來(lái)就不是那么容易了，答案不是看出來(lái)的，是算出來(lái)的。你的解法就是告訴大家，所有的答案都是看出來(lái)，然后代入證明的。假設(shè)看不出來(lái)怎么辦?那就無(wú)所適從，永遠(yuǎn)也解不出來(lái)了!這就是你的做法帶來(lái)的答案，你想想呢?你的這種做法有什么值得推廣的?

OK,了解!

數(shù)學(xué)歸納法使被證明了的，證明數(shù)學(xué)猜想的嚴(yán)密方法，這是毋庸置疑的。在n=1時(shí)成立;假設(shè)n=k成立，則n=k+1成立。這兩個(gè)結(jié)論確保了n屬于N時(shí)成立，這是嚴(yán)密的。

你的例題太簡(jiǎn)單，直接用等比數(shù)列的定義就可以得到答案(首項(xiàng)和公比均已知)，不能說(shuō)明你的證明方法有誤。我的本意是：任何一種證明方法，其本身是需要嚴(yán)格證明的，數(shù)學(xué)歸納法是經(jīng)過(guò)嚴(yán)格證明的;而你的證明方法：猜想帶入條件，滿(mǎn)足條件即得到猜想正確的結(jié)論。未經(jīng)證明，(即使它很?chē)?yán)密，我說(shuō)即使)它不被別人認(rèn)可。事實(shí)上，你的證明方法(猜想帶入所有條件均成立)只能得到“必要”答案，并不“充分”，你想一下，A滿(mǎn)足B就說(shuō)A=B顯然是不充分的。而數(shù)學(xué)歸納法充分必要，或者說(shuō)“不大不小，不縮不放”，用你的方法可以猜想出多套答案，把所有猜想出來(lái)的答案歸納一下就是充分必要。

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