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垂心余弦定理證明

時(shí)間:2021-11-18 13:33:18 證明范文 我要投稿

垂心余弦定理證明

  在平時(shí)的學(xué)習(xí)、工作或生活中,大家對(duì)證明都再熟悉不過了吧,證明是以行政機(jī)關(guān)、社會(huì)團(tuán)體、企事業(yè)單位或個(gè)人的名義憑借確鑿的證據(jù)證明某人的身份、經(jīng)歷或某件事情的真實(shí)情況時(shí)所使用的一種書面材料。寫證明的注意事項(xiàng)有許多,你確定會(huì)寫嗎?下面是小編精心整理的垂心余弦定理證明,僅供參考,大家一起來看看吧。

垂心余弦定理證明

  如右圖,在ABC中,三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的`邊分別是a、b、c . 以A為原點(diǎn),AC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,于是C點(diǎn)坐標(biāo)是(b,0),由三角函數(shù)的定義得B點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosA,csinA) . ∴CB = (ccosA-b,csinA).

  現(xiàn)將CB平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)A,則AD = CB .

  而 |AD| = |CB| = a ,∠DAC = π-∠BCA = π-C ,

  根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點(diǎn)坐標(biāo)是 (acos(π-C),asin(π-C))

  即 D點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosC,asinC),

  ∴ AD = (-acosC,asinC) 而 AD = CB

  ∴ (-acosC,asinC) = (ccosA-b,csinA)

  ∴ asinC = csinA …………①

  -acosC = ccosA-b ……②

  由①得 asinA = csinC ,同理可證 asinA = bsinB ,

  ∴ asinA = bsinB = csinC .

  由②得 acosC = b-ccosA ,平方得:

  a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ,

  即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A .

  而由①可得 a2sin2C = c2sin2A

  ∴ a2 = b2 + c2-2bccosA .

  同理可證 b2 = a2 + c2-2accosB ,

  c2 = a2 + b2-2abcosC .

  到此正弦定理和余弦定理證明完畢。

  2

  正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具,關(guān)于這兩個(gè)定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數(shù)學(xué)》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的,如是在證明正弦定理時(shí)用到作輔助單位向量并對(duì)向量的等式作同一向量的數(shù)量積,這種構(gòu)思方法過于獨(dú)特,不易被初學(xué)者接受.本文試圖通過運(yùn)用多種方法證明正、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理,進(jìn)一步體會(huì)向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合.

  定理:在△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,則

  (1)(正弦定理) = = ;

  (2)(余弦定理)

  c2=a2+b2-2abcos C,

  b2=a2+c2-2accos B,

  a2=b2+c2-2bccos A.

  一、正弦定理的證明

  證法一:如圖1,設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有

  AD=bsin∠BCA,

  BE=csin∠CAB,

  CF=asin∠ABC。

  所以S△ABC=abcsin∠BCA

  =bcsin∠CAB

  =casin∠ABC.

  證法二:如圖1,設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有

  AD=bsin∠BCA=csin∠ABC,

  BE=asin∠BCA=csin∠CAB。

  證法三:如圖2,設(shè)CD=2r是△ABC的外接圓

  的直徑,則∠DAC=90°,∠ABC=∠ADC。

  證法四:如圖3,設(shè)單位向量j與向量AC垂直。

  因?yàn)锳B=AC+CB,

  所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.

  因?yàn)閖AC=0,

  jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC,

  jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA .

  二、余弦定理的證明

  法一:在△ABC中,已知 ,求c。

  過A作 ,

  在Rt 中, ,

  法二:

  ,即:

  法三:

  先證明如下等式:

 、

  證明:

  故⑴式成立,再由正弦定理變形,得

  結(jié)合⑴、 有

  即 .

  同理可證

  .

  三、正余弦定理的統(tǒng)一證明

  法一:證明:建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系,則A=(0,0)、B=(c,0),又由任意角三角函數(shù)的定義可得:C=(bcos A,bsin A),以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′,則∠BAC′=π-∠B,

  ∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).

  根據(jù)向量的運(yùn)算:

  =(-acos B,asin B),

  = - =(bcos A-c,bsin A),

  (1)由 = :得

  asin B=bsin A,即

  = .

  同理可得: = .

  ∴ = = .

  (2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A,

  又| |=a,

  ∴a2=b2+c2-2bccos A.

  同理:

  c2=a2+b2-2abcos C;

  b2=a2+c2-2accos B.

  法二:如圖5,

  ,設(shè) 軸、 軸方向上的單位向量分別為 、 ,將上式的兩邊分別與 、 作數(shù)量積,可知

  ,

  即

  將(1)式改寫為

  化簡得b2-a2-c2=-2accos B.

  即b2=a2+c2-2accos B.(4)

  這里(1)為射影定理,(2)為正弦定理,(4)為余弦定理.

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