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向量積分配律的證明
向量積分配律的證明三維向量外積(即矢積、叉積)可以用幾何方法證明;也可以借用外積的反對稱性、內(nèi)積的分配律和混合積性質(zhì)，以代數(shù)方法證明。
下面把向量外積定義為：
a × b = |a|·|b|·Sin.
分配律的幾何證明方法很繁瑣，大意是用作圖的方法驗證。有興趣的話請自己參閱參考文獻中的證明。
下面給出代數(shù)方法。我們假定已經(jīng)知道了：
1)外積的反對稱性：
a × b = - b × a.
這由外積的定義是顯然的。
2)內(nèi)積(即數(shù)積、點積)的分配律：
a·(b + c) = a·b + a·c,
(a + b)·c = a·c + b·c.
這由內(nèi)積的定義a·b = |a|·|b|·Cos，用投影的方法不難得到證明。
3)混合積的性質(zhì)：
定義(a×b)·c為矢量a, b, c的混合積，容易證明：
i) (a×b)·c的絕對值正是以a, b, c為三條鄰棱的平行六面體的體積，其正負號由a, b, c的定向決定(右手系為正，左手系為負)。
從而就推出：
ii) (a×b)·c = a·(b×c)
所以我們可以記a, b, c的混合積為(a, b, c).
由i)還可以推出：
iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)
我們還有下面的一條顯然的結(jié)論：
iv) 若一個矢量a同時垂直于三個不共面矢a1, a2, a3，則a必為零矢量。
下面我們就用上面的1)2)3)來證明外積的分配律。
設r為空間任意矢量，在r·(a×(b + c))里，交替兩次利用3)的ii)、iii)和數(shù)積分配律2)，就有
r·(a×(b + c))
= (r×a)·(b + c)
= (r×a)·b + (r×a)·c
= r·(a×b) + r·(a×c)
= r·(a×b + a×c)
移項，再利用數(shù)積分配律，得
r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0
這說明矢量a×(b + c) - (a×b + a×c)垂直于任意一個矢量。按3)的iv)，這個矢量必為零矢量，即
a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0
所以有
a×(b + c) = a×b + a×c.
證畢。
三維向量外積(即矢積、叉積)可以用幾何方法證明;也可以借用外積的反對稱性、內(nèi)積的分配律和混合積性質(zhì)，以代數(shù)方法證明。
下面把向量外積定義為：
a × b = |a|·|b|·Sin.
分配律的幾何證明方法很繁瑣，大意是用作圖的方法驗證。有興趣的話請自己參閱參考文獻中的證明。
下面給出代數(shù)方法。我們假定已經(jīng)知道了：
1)外積的反對稱性：
a × b = - b × a.
這由外積的定義是顯然的。
2)內(nèi)積(即數(shù)積、點積)的分配律：
a·(b + c) = a·b + a·c,
(a + b)·c = a·c + b·c.
這由內(nèi)積的定義a·b = |a|·|b|·Cos，用投影的方法不難得到證明。
3)混合積的性質(zhì)：
定義(a×b)·c為矢量a, b, c的混合積，容易證明：
i) (a×b)·c的絕對值正是以a, b, c為三條鄰棱的平行六面體的體積，其正負號由a, b, c的定向決定(右手系為正，左手系為負)。
從而就推出：
ii) (a×b)·c = a·(b×c)
所以我們可以記a, b, c的混合積為(a, b, c).
由i)還可以推出：
iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)
我們還有下面的一條顯然的結(jié)論：
iv) 若一個矢量a同時垂直于三個不共面矢a1, a2, a3，則a必為零矢量。
下面我們就用上面的1)2)3)來證明外積的分配律。
設r為空間任意矢量，在r·(a×(b + c))里，交替兩次利用3)的ii)、iii)和數(shù)積分配律2)，就有
r·(a×(b + c))
= (r×a)·(b + c)
= (r×a)·b + (r×a)·c
= r·(a×b) + r·(a×c)
= r·(a×b + a×c)
移項，再利用數(shù)積分配律，得
r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0
這說明矢量a×(b + c) - (a×b + a×c)垂直于任意一個矢量。按3)的iv)，這個矢量必為零矢量，即
a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0
所以有
a×(b + c) = a×b + a×c.
證畢。
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