證明面面垂直

以二面交線(xiàn)上任意一點(diǎn)為垂足向二面各引一條與交線(xiàn)垂直的直線(xiàn),如果兩直垂直則二面也垂直

1.建立坐標(biāo)系，最實(shí)用，但是麻煩，計(jì)算量大

2.先證一個(gè)平面里的一條直線(xiàn)與另一個(gè)面垂直，那么這兩個(gè)平面垂直

2

證明一個(gè)面上的一條線(xiàn)垂直另一個(gè)面;首先可以轉(zhuǎn)化成

一個(gè)平面的垂線(xiàn)在另一個(gè)平面內(nèi),即一條直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面

然后轉(zhuǎn)化成

一條直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)

也可以運(yùn)用兩個(gè)面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

2

一、初中部分

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個(gè)銳角和等于90° ，即直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角，一個(gè)三角形的一邊中線(xiàn)等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。

二、高中部分

線(xiàn)線(xiàn)垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線(xiàn)經(jīng)過(guò)平移后相交成直角，則稱(chēng)兩條直線(xiàn)互相垂直。

1向量法 兩條直線(xiàn)的方向向量數(shù)量積為0

2斜率 兩條直線(xiàn)斜率積為-1

3線(xiàn)面垂直，則這條直線(xiàn)垂直于該平面內(nèi)的所有直線(xiàn)

一條直線(xiàn)垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線(xiàn)定理 在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線(xiàn)垂直。

5三垂線(xiàn)定理逆定理 如果平面內(nèi)一條直線(xiàn)和平面的一條斜線(xiàn)垂直，那么這條直線(xiàn)也垂直于這條斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：

Ⅰ.平行關(guān)系：

線(xiàn)線(xiàn)平行：1.在同一平面內(nèi)無(wú)公共點(diǎn)的兩條直線(xiàn)平行。2.公理4(平行公理)。3.線(xiàn)面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線(xiàn)平行。

線(xiàn)面平行：1.直線(xiàn)與平面無(wú)公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線(xiàn)與平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行。3.兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任一直線(xiàn)與另一平面平行。

面面平行：1.兩個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)。2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關(guān)系：

線(xiàn)線(xiàn)垂直：1.直線(xiàn)所成角為90°。2.一條直線(xiàn)與一個(gè)平面垂直，那么這條直線(xiàn)與平面內(nèi)的任一直線(xiàn)垂直。

線(xiàn)面垂直：1.一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線(xiàn)垂直。2.一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線(xiàn)中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一直線(xiàn)也與此平面垂直。5.一條直線(xiàn)垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線(xiàn)也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個(gè)平面過(guò)另一平面的垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面垂直。

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