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淺說(shuō)解決問(wèn)題的策略與教學(xué)(沈重予)
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》在課程總體目標(biāo)的“解決問(wèn)題”方面指出：(學(xué)生)形成解決問(wèn)題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問(wèn)題策略的多樣性。課程標(biāo)準(zhǔn)解讀中只闡述策略的重要性，沒(méi)有說(shuō)明什么是策略。在一些數(shù)學(xué)教學(xué)專(zhuān)著里，雖然專(zhuān)家們談了解決問(wèn)題的策略，但也不是共識(shí)的界說(shuō)。這一問(wèn)題可以追溯到20世紀(jì)80年代世界性的數(shù)學(xué)課程改革，許多國(guó)家和地區(qū)紛紛把“問(wèn)題解決”作為學(xué)校數(shù)學(xué)教育的核心�！皢�(wèn)題解決”主要有二方面的含義：(1)問(wèn)題解決是重要的社會(huì)活動(dòng)。在日常生活、生產(chǎn)勞動(dòng)、科學(xué)研究等各個(gè)領(lǐng)域，人們都要解決問(wèn)題。遇到的問(wèn)題，有些是熟悉的，已經(jīng)有解決的方法；有些是新穎的，暫時(shí)沒(méi)有現(xiàn)成的方法。因此，人們一方面要積累一些模式用于前一類(lèi)問(wèn)題的解決，另一方面還要形成一些策略來(lái)解決后一類(lèi)問(wèn)題。(2)問(wèn)題解決是學(xué)校教育的一項(xiàng)任務(wù)。學(xué)校教育是為了培養(yǎng)能適應(yīng)當(dāng)今和未來(lái)社會(huì)需要的人。數(shù)學(xué)課程作為一門(mén)基礎(chǔ)課程，應(yīng)該具有前瞻性，要把善于提出問(wèn)題、樂(lè)于解決問(wèn)題列為課程目標(biāo)，大力培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的意識(shí)和能力。(3)問(wèn)題解決是數(shù)學(xué)教學(xué)的一種方式。如果數(shù)學(xué)教學(xué)把一部分內(nèi)容用問(wèn)題解決的方式進(jìn)行，學(xué)生就有機(jī)會(huì)提出問(wèn)題和解決問(wèn)題，就能經(jīng)常開(kāi)展解決問(wèn)題的活動(dòng)，久而久之，就會(huì)逐漸習(xí)慣客觀理性地面對(duì)問(wèn)題，獲得解決問(wèn)題的方法、技巧及體驗(yàn)，形成解決問(wèn)題的策略。
我國(guó)數(shù)學(xué)課程改革把解決問(wèn)題作為課程目標(biāo)的一個(gè)方面，在課程標(biāo)準(zhǔn)里提出解決問(wèn)題的策略，順應(yīng)了先進(jìn)的課程發(fā)展方向。其實(shí)，大多數(shù)教師憑自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，都能夠體會(huì)課程標(biāo)準(zhǔn)里的“策略”指的是什么，都能夠理解“策略”的教學(xué)價(jià)值，都能夠接受關(guān)于“策略”的教學(xué)內(nèi)容和任務(wù)，沒(méi)有必要糾纏于“策略”的嚴(yán)密定義。同樣，課堂教學(xué)幫助學(xué)生體驗(yàn)策略、形成策略，也不需要對(duì)“策略”是什么意思進(jìn)行過(guò)多的說(shuō)明或解釋?zhuān)瑢W(xué)生能夠在解決問(wèn)題時(shí)感受“策略”的含義。
二、教學(xué)哪些策略
人類(lèi)在大量解決問(wèn)題的實(shí)踐中，總結(jié)了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般過(guò)程，主要分“提出和理解問(wèn)題、擬訂方案、執(zhí)行計(jì)劃、評(píng)價(jià)反思”四個(gè)階段。解決問(wèn)題的一般步驟是比較概括的上位觀念，可操作性并不強(qiáng)，必須落實(shí)于具體的方法、手段上。如，理解問(wèn)題是在頭腦里構(gòu)造問(wèn)題的表征，這一構(gòu)造活動(dòng)總是圍繞已知條件與未知問(wèn)題進(jìn)行的。如果借助一些有效的形式和技術(shù)，效果會(huì)很好。再如，解決以前曾經(jīng)見(jiàn)過(guò)的問(wèn)題，要選擇可以利用的模型；解決首次遇到的問(wèn)題，擬訂計(jì)劃需要數(shù)學(xué)思想統(tǒng)領(lǐng)，需要數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)支持。又如，執(zhí)行計(jì)劃是既嚴(yán)格又靈活的過(guò)程，有時(shí)會(huì)調(diào)整原來(lái)的方案，甚至推翻并重新設(shè)計(jì)方案，有時(shí)還會(huì)跳過(guò)原先方案中的某些程序，加速求解的進(jìn)程。還有反思什么、積累什么……都涉及了解決問(wèn)題的策略。
解決問(wèn)題的策略有很多，教材兼顧策略的可接受性和策略本身的實(shí)際價(jià)值，主要編排了以下策略： 第—學(xué)段 綜合與分析 四年級(jí) 整理、畫(huà)圖 五年級(jí) 枚舉、倒推 六年級(jí) 嘗試、轉(zhuǎn)化 綜合與分析是對(duì)問(wèn)題里的信息進(jìn)行加工，形成解決問(wèn)題的思路、計(jì)劃�！熬C合”著重研究已知條件之間的聯(lián)系，派生出新的數(shù)據(jù)條件，為解決問(wèn)題增添新的資源�！胺治觥敝販贤l件與問(wèn)題之間的聯(lián)系，在聯(lián)結(jié)點(diǎn)上把復(fù)雜的問(wèn)題分解成連續(xù)的簡(jiǎn)單問(wèn)題。綜合與分析是基本的思維方法，并且總是結(jié)伴而行、相輔相成的。教材在一、二年級(jí)解決一步計(jì)算的實(shí)際問(wèn)題，孕育著綜合、分析的思想。三年級(jí)通過(guò)兩步計(jì)算實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)，初步學(xué)會(huì)綜合與分析的思考方法。
整理、畫(huà)圖是加工信息的表現(xiàn)形式。小學(xué)數(shù)學(xué) 讓學(xué)生解決的問(wèn)題，大多以圖畫(huà)情境或文字講述的方式呈現(xiàn)，在頭腦里表征數(shù)學(xué)問(wèn)題，要排除(或淡化)非數(shù)學(xué)的內(nèi)容和無(wú)關(guān)的數(shù)據(jù)，保留有價(jià)值的數(shù)學(xué)信息；要把分散、零星的重要數(shù)據(jù)組織起來(lái)，暴露蘊(yùn)含的某些關(guān)系。另外，圖形直觀能把一些較難理解的問(wèn)題，一些較難發(fā)現(xiàn)的關(guān)系變得易懂明朗。所以，整理與畫(huà)圖有益于理解題意，有助于分析、綜合，是解決問(wèn)題的策略。第一學(xué)段的教材中出現(xiàn)了示意圖、線條圖、線段圖……利用圖畫(huà)表達(dá)數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系，是以后學(xué)習(xí)畫(huà)圖的基礎(chǔ)。四年級(jí)把整理、畫(huà)圖作為策略教學(xué)，讓學(xué)生體驗(yàn)整理、畫(huà)圖對(duì)解決問(wèn)題的積極意義，學(xué)會(huì)一些整理、畫(huà)圖的方法，主動(dòng)應(yīng)用到解決問(wèn)題的過(guò)程中。
化歸是解決問(wèn)題的重要策略，在解決新穎的、復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)十分有用，化歸有很多具體情況和方法，如特殊與一般的轉(zhuǎn)化、動(dòng)與靜的轉(zhuǎn)化、順與逆的轉(zhuǎn)化、正與反的轉(zhuǎn)化……教材聯(lián)系小學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，以及思維、能力的發(fā)展水平，著重教學(xué)將新知轉(zhuǎn)化為舊知，并少量安排了把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題。
嘗試是解決問(wèn)題時(shí)經(jīng)常考慮采用的一種方法。解決一個(gè)從未見(jiàn)過(guò)的問(wèn)題，經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)里沒(méi)有現(xiàn)成的模式可直接利用。這時(shí)，猜一猜、估一估往往是解決問(wèn)題的突破口，猜與估把新的問(wèn)題情境與一些已有的圖式聯(lián)系起來(lái)了。當(dāng)然，猜想與估計(jì)不一定就是問(wèn)題的答案，有可能是，也可能不是，這就需要通過(guò)驗(yàn)證來(lái)確認(rèn)或排除。當(dāng)今和未來(lái)社會(huì)里，人們解決新穎問(wèn)題的幾率越來(lái)越高，嘗試作為一種方法，驗(yàn)證作為一種科學(xué)態(tài)度，兩者有機(jī)配合，是非常有效的策略。教材編排嘗試策略，也符合課程標(biāo)準(zhǔn)“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展合情推理和初步演繹推理能力”的精神。
三、怎樣教學(xué)“策略”
“策略”作為解決問(wèn)題的計(jì)策、謀略，與“方法”有區(qū)別，也有聯(lián)系�！胺椒ā币话憔哂行袨樘卣�，有操作的成分，而“策略”比方法上位，是組織和開(kāi)展行動(dòng)的方針，能指導(dǎo)有效地使用方法�！胺椒ā笨梢詮耐獠枯斎耄安呗浴敝荒茉趦�(nèi)部滋生，我們可以通過(guò)講解、示范、模仿，把方法教給學(xué)生，但無(wú)法代替他們形成策略。正如下棋、打牌，要學(xué)會(huì)走棋、出牌，可以拜會(huì)下棋、會(huì)打牌的人為師，從他那里學(xué)到方法。如果希望走出妙棋、打出好牌，則必須經(jīng)常下棋、打牌，積累經(jīng)驗(yàn)，形成策略，即使有高手指點(diǎn)，也要自己領(lǐng)悟。
在教學(xué)解決問(wèn)題的策略之前，學(xué)生已經(jīng)解決過(guò)許多問(wèn)題，初步積累了一些解決問(wèn)題的知識(shí)和方法，但都是就事論事的，對(duì)生活經(jīng)驗(yàn)的依賴比較明顯。解決問(wèn)題的教學(xué)，其目的不僅僅滿足于找到問(wèn)題的答案，而在于形成解決問(wèn)題的策略與能力。過(guò)去的解題經(jīng)歷，是形成策略的寶貴資源，形成策略需要自主“體驗(yàn)”。首先要體驗(yàn)方法的具體內(nèi)容和使用要領(lǐng)，學(xué)會(huì)方法；然后在廣泛、靈活地應(yīng)用方法解決問(wèn)題的過(guò)程中，體驗(yàn)方法的價(jià)值。所以說(shuō)，教學(xué)策略既不能離開(kāi)方法說(shuō)空話，也不能拘泥于方法犯教條主義。
教學(xué)策略，要在問(wèn)題情境里激活相關(guān)的方法。三年級(jí)(上冊(cè))第四單元“加和減”里的兩步汁算應(yīng)用題，要初步形成分析法思路。例題用一條線段表示褲子的價(jià)錢(qián)，讓學(xué)生畫(huà)出表示上衣價(jià)錢(qián)的線段，計(jì)算買(mǎi)1套衣服要用的錢(qián)。畫(huà)表示上衣價(jià)錢(qián)的線段，能感受已知條件“褲子單價(jià)28元”與“上衣價(jià)錢(qián)是褲子的3倍”的聯(lián)系，感受所求問(wèn)題“一套衣服的價(jià)錢(qián)”與已知條件“褲子的價(jià)錢(qián)”的關(guān)系，產(chǎn)生解決問(wèn)題的思路。“試一試”繼續(xù)求上衣比褲子貴多少元，“想想做做”里解決“已知兩個(gè)數(shù)相差幾，求這兩個(gè)數(shù)的和”的問(wèn)題，把解答例題的經(jīng)驗(yàn)向新的問(wèn)題情境擴(kuò)展�？v觀例題、“試一試”“想想做做”里的實(shí)際問(wèn)題，反思“求總和”與“求相差數(shù)”的方法，就能初步形成從問(wèn)題出發(fā)，向條件推理的分析法思路。前幾年有些課上，教師沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解決問(wèn)題的過(guò)程與方法再認(rèn)反思，甚至沒(méi)有意識(shí)到解題思路，影響了學(xué)生解題策略的形成。
教學(xué)策略時(shí)，如果相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)不夠豐富，那就需要講一些方法，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)方法的同時(shí)體驗(yàn)方法，形成解決問(wèn)題的策略。四年級(jí)(上冊(cè))的“整理”策略，就是這樣教學(xué)的。例1利用歸一問(wèn)題講整理，先把小明和小華買(mǎi)練習(xí)本的本數(shù)與用去的錢(qián)數(shù)填在表格里，示范了整理?xiàng)l件、問(wèn)題的方法，以及通過(guò)整理形成的解題思路。接著讓學(xué)生解答小軍42元買(mǎi)了多少本，模仿著在表格里整理信息，體會(huì)整理對(duì)解決問(wèn)題的積極作用。然后用連線形式表現(xiàn)小明、小華，小軍各人買(mǎi)的本數(shù)與用去錢(qián)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，凸現(xiàn)了整理是溝通數(shù)量之間的聯(lián)系，使學(xué)生深刻地感受整理的方法和意義�！跋胂胱鲎觥钡�2題用整理策略解決歸總問(wèn)題，學(xué)生首次解決歸總問(wèn)題，沒(méi)有現(xiàn)成方法可以使用，甚至理解題意都會(huì)有閑難。教材指點(diǎn)學(xué)生把條件與問(wèn)題表示在表格中，弄明白這個(gè)實(shí)際問(wèn)題里有三種球 的價(jià)錢(qián)與買(mǎi)的個(gè)數(shù)，通過(guò)整理弄懂題意，形成解法，充分體現(xiàn)整理是一種有效的策略，尤其是面臨新穎的問(wèn)題，或在不理解問(wèn)題、想不到解法時(shí)，整理對(duì)解決問(wèn)題是十分必要的。整理信息的形式是多樣的，畫(huà)表格整理雖然中規(guī)中矩，卻有點(diǎn)麻煩，麻煩往往降低可行性。摘錄相關(guān)信息，或者用線連一連，比較寬松、靈活，可行性強(qiáng)得多。另外，整理既可以借助外顯的形式進(jìn)行，還可以在頭腦里進(jìn)行，具有在頭腦里整理的習(xí)慣與能力，是策略教學(xué)的目標(biāo)追求。教材充分體現(xiàn)了這樣的意圖，“想想做做”的前兩題給出了表格，要求填表整理。后兩題沒(méi)有給出表格，讓學(xué)生用自己喜歡的形式進(jìn)行整理，適當(dāng)作些摘錄或者在題目上勾勾畫(huà)畫(huà)都可以，體現(xiàn)了具體運(yùn)用策略的形式是多樣的。
五年級(jí)(上冊(cè))編排枚舉策略主要有兩點(diǎn)原因：一是有些實(shí)際問(wèn)題里，條件與問(wèn)題的關(guān)系不能歸結(jié)為常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系，因而很難列式計(jì)算出答案。正如例1圍羊圈，幾乎每個(gè)學(xué)生都能說(shuō)出一兩種圍法，但不容易說(shuō)出一共有幾種圍法，更列不出算式。如果從能夠說(shuō)出的圍法切入，依次把其他各種圍法都排列出來(lái)，問(wèn)題自然就解決了。二是不重復(fù)、不遺漏地枚舉，需要有條理的細(xì)致思考，對(duì)思維品質(zhì)有很好的作用，是數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)。如例2里訂雜志，先考慮訂l本，再考慮訂2本，最后考慮訂3本，這已經(jīng)是有序思考。在只訂l本和訂2本里，還要列舉出各種可能，又有助于培養(yǎng)思維的條理性。教學(xué)枚舉策略和教學(xué)其他策略一樣，仍然要注重學(xué)會(huì)方法、體驗(yàn)方法，讓枚舉的形式靈活多樣，富有個(gè)性。例3的教學(xué)，首先要理解問(wèn)題情境，營(yíng)造枚舉氛圍，找到枚舉的切入口。23人到旅館住宿，住的房間有3人間和2人間，3人間的間數(shù)沒(méi)有規(guī)定，可能是1間、2間……住的2人間也可能是1間、2間……由此，解決這個(gè)問(wèn)題可以用一一列舉的方法，從3人間住1間開(kāi)始列舉，或者從2人間住1間開(kāi)始列舉。其次要隨時(shí)檢驗(yàn)每次列舉的情況，判斷是否符合題意。問(wèn)題情境規(guī)定每個(gè)房間不能有空床位，這就是說(shuō)，3人間按1間、2間……依次列舉，必須相應(yīng)的2人間沒(méi)有空床位，才是合適的安排，可以保留。同樣，2人間按1間、2間……列舉，相應(yīng)的3人間有空床位，屬不合適的安排，必須放棄。然后要體會(huì)這個(gè)問(wèn)題用枚舉方法解答的好處，體會(huì)枚舉的起點(diǎn)和有序枚舉的過(guò)程，比較從3人間開(kāi)始枚舉和從2人間開(kāi)始枚舉哪一種優(yōu)點(diǎn)明顯。最后還要體會(huì)檢驗(yàn)的重要性，這在前面的問(wèn)題中是沒(méi)有的，在六年級(jí)運(yùn)用嘗試的策略解決問(wèn)題時(shí)，也需要類(lèi)似的經(jīng)驗(yàn)。
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