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對(duì)口算算理、算法教學(xué)上的認(rèn)識(shí)
12月21日"口算技能的訓(xùn)練是學(xué)好其他的基礎(chǔ)"一文已經(jīng)說(shuō)過(guò)作為口算能力來(lái)說(shuō)，它對(duì)學(xué)生基本的運(yùn)算能力、觀察力、思維能力、快速反應(yīng)能力有大意義，值得探討和研究，那么如何認(rèn)識(shí)口算的價(jià)值呢?先來(lái)看看算理與算法的認(rèn)識(shí)。什么叫算理?什么叫算法?這是進(jìn)行口算教學(xué)必須首先搞明白的問(wèn)題。算理就是計(jì)算過(guò)程中的道理，解決"為什么這樣算"的問(wèn)題。算法就是計(jì)算的方法，解決"怎樣算"的問(wèn)題。如何認(rèn)識(shí)口算中算理與算法的關(guān)系。
一、算理內(nèi)隱，算法外化
對(duì)于小學(xué)生的口算來(lái)說(shuō)，核心的內(nèi)容是基本口算。所謂基本口算主要指20以?xún)?nèi)加減法和表內(nèi)乘除法。除了這些基本口算，要求學(xué)生掌握的還有簡(jiǎn)單的兩位數(shù)加、減法及百以?xún)?nèi)的乘加、乘減、除加、除減等；在小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則計(jì)算中，也有相當(dāng)數(shù)量的口算內(nèi)容。那學(xué)生在學(xué)習(xí)這些口算時(shí)，是否都是理解算理、掌握算法，并在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法的呢?
先從最簡(jiǎn)單的加法說(shuō)起。3+2，怎樣算?為什么這樣算?就這兩個(gè)問(wèn)題許多老師沒(méi)法解釋?zhuān)踔吝B大學(xué)教授、小學(xué)數(shù)學(xué)教研員可能也沒(méi)能做出解釋。其實(shí)不難發(fā)現(xiàn)，我們往往脫口而出3加2等于5，我們的策略是"直接提取"，也就是說(shuō)，3加2等于5，我們成人已經(jīng)形成了"計(jì)算自動(dòng)化"，在我們的頭腦中已經(jīng)有了現(xiàn)成的答案.我們可以迅速地從長(zhǎng)期記憶中提取有關(guān)數(shù)學(xué)事實(shí)。
那我們?cè)谝荒昙?jí)教學(xué)時(shí)，又是如何處理3+2的呢?一種常見(jiàn)的教法是借用數(shù)的組成想得數(shù)，即想：5可以分成3和2，3加2等于5。毋庸置疑，一段時(shí)間之后，學(xué)生在算"3+2"時(shí)也都形成了"計(jì)算自動(dòng)化"，3+2等于5，都儲(chǔ)存于記憶中。這時(shí)，算法已經(jīng)脫胎于算理。學(xué)生學(xué)習(xí)基本口算就是在頭腦中構(gòu)建一個(gè)"數(shù)學(xué)事實(shí)庫(kù)"的過(guò)程，繼而完成從構(gòu)建事實(shí)到提取事實(shí)的轉(zhuǎn)化。
我們是否可以這樣理解：最初，學(xué)生在口算時(shí)，可能有算法而不知算理；后來(lái)，知算法而且知算理；再后來(lái)，又是有算法無(wú)算理。也就是說(shuō)，在學(xué)生學(xué)習(xí)口算探索與掌握算法的不同時(shí)段，他們計(jì)算時(shí)是否具有算理，經(jīng)歷了"無(wú)--有--無(wú)"這樣一個(gè)過(guò)程。
由此推想，不同的口算內(nèi)容，算法與算理是否也表現(xiàn)出像這樣脫離、融合、脫胎的不同階段之分呢?
在口算教學(xué)時(shí)，學(xué)生不理解算理，教師需要引導(dǎo)，否則學(xué)生的計(jì)算只是停留于形式化地計(jì)算，他們只是機(jī)械地掌握計(jì)算程序，知其然，而不知所以然；但理解算理之后，教師卻不要太多地糾纏于算理。
二、算理穩(wěn)定算法多樣
在學(xué)習(xí)口算兩位數(shù)減兩位數(shù)44-25時(shí)，學(xué)生獨(dú)立思考之后交流了各自算法。
算法1：44-5=39，39-20=19--把減數(shù)分成5和20，從被減數(shù)中依次減去。
算法2：40-25=15，15+4=19--把被減數(shù)分成40和4，先從40里減去25，再把所得的差與4合并。
算法3：40-20=20，5-4=1，20-1=19--個(gè)位上4減5不夠減，還差1，就從十位上減得的差20里去掉1。
算法4：44-24=20，20-1=19--把減數(shù)分成24和1，再?gòu)谋粶p數(shù)中依次減去。
算法5：30-25=5，14+5=19--把被減數(shù)分成30和14，從30里減去25得5，再把14和5合并。
算法6：14-5=9，30-20=10，10+9=19--豎式計(jì)算
算法7：十位上，30-20=10；個(gè)位上，14-5=9；得數(shù)是19--先算十位，再算個(gè)位。算法多樣化是學(xué)生獨(dú)立思考后自然生成的。
細(xì)細(xì)分析各種算法，算法1和算法4的算理是一樣的，都是把減數(shù)分成兩部分，從被減數(shù)中分別減去；算法2和算法5的算理是一樣的，都是把被減數(shù)分成兩部分，其中一部分減去減數(shù)后再與被減數(shù)的另一部分合起來(lái)；算法6和算法7都是在頭腦中構(gòu)建豎式，算法6從個(gè)位減起，算法7從十位減起。由此可見(jiàn)，就算題本身來(lái)說(shuō)，算法是多樣的，但算理可能相同。
再說(shuō)一例。學(xué)習(xí)小數(shù)乘法，一組口算練習(xí)之后，反饋時(shí)發(fā)現(xiàn)，有幾位學(xué)生在口算20×0.4這一題時(shí)出錯(cuò)了。教師指名一位學(xué)生口述算法：先算20乘4等于80，再點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)：8.0，化簡(jiǎn)得8。學(xué)生采用的是"類(lèi)似筆算的口算"，即在頭腦中想20×0.4的豎式并算出得數(shù)。教師在學(xué)生口述算法的過(guò)程中板書(shū)(略)教師如上板書(shū)，是讓學(xué)生理解其算法的算理，即應(yīng)用了乘法中因數(shù)變化引起積變化的規(guī)律進(jìn)行口算。一位學(xué)生舉手：我是這樣算的：20×0.4=2×4=8。教師追問(wèn)：你為什么這樣算呢?學(xué)生回答：20×0.4=2×l0×0.4=2×4=8。不難發(fā)現(xiàn)，這位學(xué)生交流的是"分解因數(shù)、運(yùn)用乘法結(jié)合律"的方法進(jìn)行口算。又一位學(xué)生舉手：我也是這樣算的：20×0.4=2×4=8。我想的是，一個(gè)因數(shù)除以10，另一個(gè)因數(shù)乘10，積不變。如果完整寫(xiě)出這位學(xué)生的算法，就是：20×0.4=(20÷10)×(0.4×10)=2×4=8。
后兩種算法，如果不去追問(wèn)思維過(guò)程，我們也許會(huì)做出"算法相同、算理相同"的判斷，然而，看似相同的算法，其實(shí)算法并不同，但算理卻是相同的。當(dāng)我們看到的是"一"，也許僅僅是表面形式的相同，其內(nèi)部蘊(yùn)含的可能是"多"。學(xué)生的思維過(guò)程是豐富多彩的�？谒憬虒W(xué)中，存在著的一種現(xiàn)象是，教師重結(jié)果、輕過(guò)程，只滿足于口算正確，不愿花時(shí)間去分析學(xué)生的思維過(guò)程。我們要注意克服這種不良傾向，在口算時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生"用你的腦子去算"，而不僅僅是"在你的腦子里算"。
三、算理保證計(jì)算合理性，算法為計(jì)算提供操作方法
對(duì)于算理與算法，學(xué)生在實(shí)際口算時(shí)往往更注重算法，因?yàn)榘雌洳僮骷纯伤愠鼋Y(jié)果。教師關(guān)注的焦點(diǎn)是學(xué)生要算得對(duì)、算得快，至于"為什么這樣算"，往往不夠重視。那算理是"有用"還是"無(wú)用"呢?
口算整百數(shù)乘一位數(shù)400×2，學(xué)生一般的算法是：先算4×2=8，再在8的后面添兩個(gè)0。為什么在8后面添兩個(gè)0，學(xué)生解釋不清楚。教學(xué)時(shí)，教師要讓學(xué)生給自己的算法找一個(gè)合理的解釋?zhuān)趯W(xué)生解釋的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生理解：4個(gè)百乘2，得8個(gè)百，也就是800。由此，學(xué)生可進(jìn)一步在理解算理的基礎(chǔ)上計(jì)算像4000×2、40000×2這樣的算題，而不停留于"照葫蘆畫(huà)瓢"式的模仿計(jì)算。
可以發(fā)現(xiàn)，如果他們理解了算理，那么他們基本上就能正確算出算題。算理有助于學(xué)生探索算法。有算法時(shí)，不一定能說(shuō)清算理；但有算理，可以轉(zhuǎn)化成算法。
綜上所述，算理不是沒(méi)有用，而是教師在教學(xué)中是否發(fā)揮其作用。不要把算理、算法作為"兩張皮"。算理為計(jì)算提供了正確的思維方式，保證了計(jì)算的合理性和正確性，算法為計(jì)算提供了快捷的操作方法，提高了計(jì)算的速度。算理往往是隱性的，算法往往是顯性的，它們相輔相成，算理的探討有助于學(xué)生探索算法、掌握算法。當(dāng)然，在口算學(xué)習(xí)過(guò)程中，也要注意避免程式化地?cái)⑹鏊憷�，�?duì)算理的一味推崇容易讓學(xué)生陷入空洞抽象說(shuō)教的泥潭，不過(guò)，對(duì)算法的過(guò)度操練也容易讓學(xué)生走向機(jī)械重復(fù)練習(xí)的誤區(qū)。
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