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數(shù)列公式

時間:2024-03-12 19:36:39 好文 我要投稿

數(shù)列公式大全(匯總15篇)

數(shù)列公式大全1

  目的:

  要求學(xué)生理解數(shù)列的概念及其幾何表示,理解什么叫數(shù)列的通項公式,給出一些數(shù)列能夠?qū)懗銎渫椆,已知通項公式能夠求?shù)列的項。

  重點:

  1數(shù)列的概念。

  按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項,數(shù)列的第n項an叫做數(shù)列的通項(或一般項)。由數(shù)列定義知:數(shù)列中的數(shù)是有序的,數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn),這與數(shù)集中的數(shù)的無序性、互異性是不同的。

  2.?dāng)?shù)列的通項公式,如果數(shù)列{an}的通項an可以用一個關(guān)于n的公式來表示,這個公式就叫做數(shù)列的通項公式。

  從映射、函數(shù)的觀點看,數(shù)列可以看成是定義域為正整數(shù)集N*(或?qū)挼挠邢拮蛹┑暮瘮?shù)。當(dāng)自變量順次從小到大依次取值時對自學(xué)成才的一列函數(shù)值,而數(shù)列的通項公式則是相應(yīng)的解析式。由于數(shù)列的項是函數(shù)值,序號是自變量,所以以序號為橫坐標(biāo),相應(yīng)的項為縱坐標(biāo)畫出的圖像是一些孤立的點。

  難點

  根據(jù)數(shù)列前幾項的特點,以現(xiàn)規(guī)律后寫出數(shù)列的通項公式。給出數(shù)列的前若干項求數(shù)列的通項公式,一般比較困難,且有的數(shù)列不一定有通項公式,如果有通項公式也不一定唯一。給出數(shù)列的前若干項要確定其一個通項公式,解決這個問題的關(guān)鍵是找出已知的每一項與其序號之間的對應(yīng)關(guān)系,然后抽象成一般形式。

  過程:

  一、從實例引入(P110)

  1. 堆放的鋼管 4,5,6,7,8,9,102. 正整數(shù)的倒數(shù) 3. 4. -1的正整數(shù)次冪:-1,1,-1,1,…5. 無窮多個數(shù)排成一列數(shù):1,1,1,1,…

  二、提出課題:

  數(shù)列

  1.?dāng)?shù)列的定義:

  按一定次序排列的'一列數(shù)(數(shù)列的有序性)

  2. 名稱:

  項,序號,一般公式 ,表示法

  3. 通項公式:

  與 之間的函數(shù)關(guān)系式如 數(shù)列1: 數(shù)列2: 數(shù)列4:

  4. 分類:

  遞增數(shù)列、遞減數(shù)列;常數(shù)列;擺動數(shù)列; 有窮數(shù)列、無窮數(shù)列。

  5. 實質(zhì):

  從映射、函數(shù)的觀點看,數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集 N*(或它的有限子集{1,2,…,n})的函數(shù),當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值,通項公式即相應(yīng)的函數(shù)解析式。

  6. 用圖象表示:

  — 是一群孤立的點 例一 (P111 例一 略)

  三、關(guān)于數(shù)列的通項公式

  1. 不是每一個數(shù)列都能寫出其通項公式 (如數(shù)列3)

  2. 數(shù)列的通項公式不唯一 如: 數(shù)列4可寫成 和

  3. 已知通項公式可寫出數(shù)列的任一項,因此通項公式十分重要例二 (P111 例二)略

  四、補(bǔ)充例題:

  寫出下面數(shù)列的一個通項公式,使它的前 項分別是下列各數(shù):1.1,0,1,0. 2. , , , , 3.7,77,777,7777 4.-1,7,-13,19,-25,31 5. , , ,

  五、:

  1.?dāng)?shù)列的有關(guān)概念

  2.觀察法求數(shù)列的通項公式

  六、作業(yè):

  練習(xí) P112 習(xí)題 3.1(P114)1、2

  七、練習(xí):

  1.觀察下面數(shù)列的特點,用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空,關(guān)寫出每個數(shù)列的一個通項公式;(1) , , ,( ), , …(2) ,( ), , , …

  2.寫出下面數(shù)列的一個通項公式,使它的前4項分別是下列各數(shù):(1)1、 、 、 ; (2) 、 、 、 ; (3) 、 、 、 ; (4) 、 、 、

  3.求數(shù)列1,2,2,4,3,8,4,16,5,…的一個通項公式

  4.已知數(shù)列an的前4項為0, ,0, ,則下列各式 ①an= ②an= ③an= 其中可作為數(shù)列{an}通項公式的是A ① B ①② C ②③ D ①②③

  5.已知數(shù)列1, , , ,3, …, ,…,則 是這個數(shù)列的( )A. 第10項 B.第11項 C.第12項 D.第21項

  6.在數(shù)列{an}中a1=2,a17=66,通項公式或序號n的一次函數(shù),求通項公式。

  7.設(shè)函數(shù) ( ),數(shù)列{an}滿足

 。1)求數(shù)列{an}的通項公式;

  (2)判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性。

  8.在數(shù)列{an}中,an=

  (1)求證:數(shù)列{an}先遞增后遞減;

  (2)求數(shù)列{an}的最大項。

  答案:

  1.(1) ,an= (2) ,an=

  2.(1)an= (2)an= (3)an= (4)an=

  3.a(chǎn)n= 或an= 這里借助了數(shù)列1,0,1,0,1,0…的通項公式an= 。

  4.D

  5.B

  6. an=4n-2

  7.(1)an= (2)<1又an<0, ∴ 是遞增數(shù)列

數(shù)列公式大全2

  以下是高中數(shù)學(xué)《等差數(shù)列前n項和的公式》說課稿,僅供參考。

  教學(xué)目標(biāo)

  A、知識目標(biāo):

  掌握等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法;掌握公式的運用。

  B、能力目標(biāo):

  (1)通過公式的探索、發(fā)現(xiàn),在知識發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。

  (2)利用以退求進(jìn)的思維策略,遵循從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律,讓學(xué)生在實踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法導(dǎo)出等差數(shù)列的求和公式,培養(yǎng)學(xué)生類比思維能力。

  (3)通過對公式從不同角度、不同側(cè)面的剖析,培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性,提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

  C、情感目標(biāo):(數(shù)學(xué)文化價值)

  (1)公式的發(fā)現(xiàn)反映了普遍性寓于特殊性之中,從而使學(xué)生受到辯證唯物主義思想的熏陶。

  (2)通過公式的運用,樹立學(xué)生"大眾教學(xué)"的思想意識。

  (3)通過生動具體的現(xiàn)實問題,令人著迷的數(shù)學(xué)史,激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望,樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗,產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感。

  教學(xué)重點:等差數(shù)列前n項和的公式。

  教學(xué)難點:等差數(shù)列前n項和的公式的靈活運用。

  教學(xué)方法:啟發(fā)、討論、引導(dǎo)式。

  教具:現(xiàn)代教育多媒體技術(shù)。

  教學(xué)過程

  一、創(chuàng)設(shè)情景,導(dǎo)入新課。

  師:上幾節(jié),我們已經(jīng)掌握了等差數(shù)列的概念、通項公式及其有關(guān)性質(zhì),今天要進(jìn)一步研究等差數(shù)列的前n項和公式。提起數(shù)列求和,我們自然會想到德國偉大的`數(shù)學(xué)家高斯"神速求和"的故事,小高斯上小學(xué)四年級時,一次教師布置了一道數(shù)學(xué)習(xí)題:"把從1到100的自然數(shù)加起來,和是多少?"年僅10歲的小高斯略一思索就得到答案5050,這使教師非常吃驚,那么高斯是采用了什么方法來巧妙地計算出來的呢?如果大家也懂得那樣巧妙計算,那你們就是二十世紀(jì)末的新高斯。(教師觀察學(xué)生的表情反映,然后將此問題縮小十倍)。我們來看這樣一道一例題。

  例1,計算:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.

  這道題除了累加計算以外,還有沒有其他有趣的解法呢?小組討論后,讓學(xué)生自行發(fā)言解答。

  生1:因為1+10=2+9=3+8=4+7=5+6,所以可湊成5個11,得到55。

  生2:可設(shè)S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10,根據(jù)加法交換律,又可寫成 S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

  上面兩式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110

  10個

  所以我們得到S=55,

  即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

  師:高斯神速計算出1到100所有自然數(shù)的各的方法,和上述兩位同學(xué)的方法相類似。

  理由是:1+100=2+99=3+98=......=50+51=101,有50個101,所以1+2+3+......+100=50×101=5050。請同學(xué)們想一下,上面的方法用到等差數(shù)列的哪一個性質(zhì)呢?

  生3:數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.

  二、教授新課(嘗試推導(dǎo))

  師:如果已知等差數(shù)列的首項a1,項數(shù)為n,第n項an,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),如何來導(dǎo)出它的前n項和Sn計算公式呢?根據(jù)上面的例子同學(xué)們自己完成推導(dǎo),并請一位學(xué)生板演。

  生4:Sn=a1+a2+......an-1+an也可寫成

  Sn=an+an-1+......a2+a1

  兩式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)

  n個

  =n(a1+an)

  所以Sn=

  #FormatImgID_0#

  (I)

  師:好!如果已知等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,項數(shù)為n,則an=a1+(n-1)d代入公式(1)得

  Sn=na1+

  #FormatImgID_1#

  d(II) 上面(I)、(II)兩個式子稱為等差數(shù)列的前n項和公式。公式(I)是基本的,我們可以發(fā)現(xiàn),它可與梯形面積公式(上底+下底)×高÷2相類比,這里的上底是等差數(shù)列的首項a1,下底是第n項an,高是項數(shù)n。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié):這些公式中出現(xiàn)了幾個量?(a1,d,n,an,Sn),它們由哪幾個關(guān)系聯(lián)系?[an=a1+(n-1)d,Sn=

  #FormatImgID_2#

  =na1+

  #FormatImgID_3#

  d];這些量中有幾個可自由變化?(三個)從而了解到:只要知道其中任意三個就可以求另外兩個了。下面我們舉例說明公式(I)和(II)的一些應(yīng)用。

  三、公式的應(yīng)用(通過實例演練,形成技能)。

  1、直接代公式(讓學(xué)生迅速熟悉公式,即用基本量觀點認(rèn)識公式)例2、計算:

  (1)1+2+3+......+n

  (2)1+3+5+......+(2n-1)

  (3)2+4+6+......+2n

  (4)1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

  請同學(xué)們先完成(1)-(3),并請一位同學(xué)回答。

  生5:直接利用等差數(shù)列求和公式(I),得

  (1)1+2+3+......+n=

  #FormatImgID_4#

  (2)1+3+5+......+(2n-1)=

  #FormatImgID_5#

  (3)2+4+6+......+2n=

  #FormatImgID_6#

  =n(n+1)

  師:第(4)小題數(shù)列共有幾項?是否為等差數(shù)列?能否直接運用Sn公式求解?若不能,那應(yīng)如何解答?小組討論后,讓學(xué)生發(fā)言解答。

  生6:(4)中的數(shù)列共有2n項,不是等差數(shù)列,但把正項和負(fù)項分開,可看成兩個等差數(shù)列,所以

  原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)

  =n2-n(n+1)=-n

  生7:上題雖然不是等差數(shù)列,但有一個規(guī)律,兩項結(jié)合都為-1,故可得另一解法:

  原式=-1-1-......-1=-n

  n個

  師:很好!在解題時我們應(yīng)仔細(xì)觀察,尋找規(guī)律,往往會尋找到好的方法。注意在運用Sn公式時,要看清等差數(shù)列的項數(shù),否則會引起錯解。

  例3、(1)數(shù)列{an}是公差d=-2的等差數(shù)列,如果a1+a2+a3=12,a8+a9+a10=75,求a1,d,S10。

  生8:(1)由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12,即a1+d=4

  又∵d=-2,∴a1=6

  ∴S12=12 a1+66×(-2)=-60

  生9:(2)由a1+a2+a3=12,a1+d=4

  a8+a9+a10=75,a1+8d=25

  解得a1=1,d=3 ∴S10=10a1+

  #FormatImgID_7#

  =145

  師:通過上面例題我們掌握了等差數(shù)列前n項和的公式。在Sn公式有5個變量。已知三個變量,可利用構(gòu)造方程或方程組求另外兩個變量(知三求二),請同學(xué)們根據(jù)例3自己編題,作為本節(jié)的課外練習(xí)題,以便下節(jié)課交流。

  師:(繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生,將第(2)小題改編)

 、贁(shù)列{an}等差數(shù)列,若a1+a2+a3=12,a8+a9+a10=75,且Sn=145,求a1,d,n

  ②若此題不求a1,d而只求S10時,是否一定非來求得a1,d不可呢?引導(dǎo)學(xué)生運用等差數(shù)列性質(zhì),用整體思想考慮求a1+a10的值。

  2、用整體觀點認(rèn)識Sn公式。

  例4,在等差數(shù)列{an}, (1)已知a2+a5+a12+a15=36,求S16;(2)已知a6=20,求S11。(教師啟發(fā)學(xué)生解)

  師:來看第(1)小題,寫出的計算公式S16=

  #FormatImgID_8#

  =8(a1+a6)與已知相比較,你發(fā)現(xiàn)了什么?

  生10:根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18,所以S16=8×18=144。

  師:對!(簡單小結(jié))這個題目根據(jù)已知等式是不能直接求出a1,a16和d的,但由等差數(shù)列的性質(zhì)可求a1與an的和,于是這個問題就得到解決。這是整體思想在解數(shù)學(xué)問題的體現(xiàn)。

  師:由于時間關(guān)系,我們對等差數(shù)列前n項和公式Sn的運用一一剖析,引導(dǎo)學(xué)生觀察當(dāng)d≠0時,Sn是n的二次函數(shù),那么從二次(或一次)的函數(shù)的觀點如何來認(rèn)識Sn公式后,這留給同學(xué)們課外繼續(xù)思考。

  最后請大家課外思考Sn公式(1)的逆命題:

  已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若對于所有自然數(shù)n,都有Sn=

  #FormatImgID_9#

  。數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列,并說明理由。

  四、小結(jié)與作業(yè)。

  師:接下來請同學(xué)們一起來小結(jié)本節(jié)課所講的內(nèi)容。

  生11:1、用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式。

  2、用所推導(dǎo)的兩個公式解決有關(guān)例題,熟悉對Sn公式的運用。

  生12:1、運用Sn公式要注意此等差數(shù)列的項數(shù)n的值。

  2、具體用Sn公式時,要根據(jù)已知靈活選擇公式(I)或(II),掌握知三求二的解題通法。

  3、當(dāng)已知條件不足以求此項a1和公差d時,要認(rèn)真觀察,靈活應(yīng)用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì),看能否用整體思想的方法求a1+an的值。

  師:通過以上幾例,說明在解題中靈活應(yīng)用所學(xué)性質(zhì),要糾正那種不明理由盲目套用公式的學(xué)習(xí)方法。同時希望大家在學(xué)習(xí)中做一個有心人,去發(fā)現(xiàn)更多的性質(zhì),主動積極地去學(xué)習(xí)。

  本節(jié)所滲透的數(shù)學(xué)方法;觀察、嘗試、分析、歸納、類比、特定系數(shù)等。

  數(shù)學(xué)思想:類比思想、整體思想、方程思想、函數(shù)思想等。

數(shù)列公式大全3

  一、高考數(shù)列基本公式:

  1、一般數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系:an=

  2、等差數(shù)列的通項公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項、ak為已知的第k項) 當(dāng)d≠0時,an是關(guān)于n的一次式;當(dāng)d=0時,an是一個常數(shù)。

  3、等差數(shù)列的前n項和公式:

  當(dāng)d≠0時,Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0;當(dāng)d=0時(a1≠0),Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。

  4、等比數(shù)列的通項公式: an= a1qn-1an= akqn-k

  (其中a1為首項、ak為已知的第k項,an≠0)

  5、等比數(shù)列的前n項和公式:當(dāng)q=1時,Sn=n a1 (是關(guān)于n的正比例式);

  當(dāng)q≠1時,

  二、高考數(shù)學(xué)中有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論

  1、等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍為等差數(shù)列。

  4、等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的`數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍為等比數(shù)列。

  5、兩個等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數(shù)列。

  6、兩個等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列

  7、等差數(shù)列{an}的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。

  8、等比數(shù)列{an}的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。

  9、三個數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法:a-d,a,a+d;四個數(shù)成等差的設(shè)法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d

  10、三個數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法:a/q,a,aq;

  四個數(shù)成等比的錯誤設(shè)法:a/q3,a/q,aq,aq3 (為什么?)

  12、{bn}(bn>0)是等比數(shù)列,則{logcbn} (c>0且c≠1) 是等差數(shù)列。

數(shù)列公式大全4

  等比數(shù)列求和公式

  1.等比數(shù)列通項公式

  an=a1×q^(n-1);

  推廣式:an=am×q^(n-m);

  2.等比數(shù)列求和公式

  Sn=n×a1(q=1);

  Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)=a1(q^n-1)/(q-1)(q≠1);

  (q為公比,n為項數(shù))。

  3.等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)

  (1)Sn=a1+a2+a3+...+an(公比為q);

  (2)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+a(n+1);

  (3)Sn-q*Sn=a1-a(n+1);

  (4)(1-q)Sn=a1-a1*q^n;

  (5)Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q);

  (6)Sn=(a1-an*q)/(1-q);

  (7)Sn=a1(1-q^n)/(1-q);

  (8)Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)。

  拓展閱讀:等比數(shù)列的性質(zhì)

  (1)若m、n、p、q∈N+,且m+n=p+q,則am×an=ap×aq。

  (2)在等比數(shù)列中,依次每k項之和仍成等比數(shù)列。

  (3)若“G是a、b的等比中項”則“G2=ab(G≠0)”。

  (4)若{an}是等比數(shù)列,公比為q1,{bn}也是等比數(shù)列,公比是q2,則{a2n},{a3n}…是等比數(shù)列,公比為q1^2,q1^3…{can},c是常數(shù),{an×bn},{an/bn}是等比數(shù)列,公比為q1,q1q2,q1/q2。

  (5)若(an)為等比數(shù)列且各項為正,公比為q,則(log以a為底an的對數(shù))成等差,公差為log以a為底q的對數(shù)。

  (6)等比數(shù)列前n項之和。

  在等比數(shù)列中,首項A1與公比q都不為零。

  注意:上述公式中An表示A的n次方。

  (7)由于首項為a1,公比為q的.等比數(shù)列的通項公式可以寫成an=(a1/q)×qn,它的指數(shù)函數(shù)y=ax有著密切的聯(lián)系,從而可以利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來研究等比數(shù)列。

數(shù)列公式大全5

  嚴(yán)老師的課堂最大的亮點就是師生互動如行云流水,如春風(fēng)拂面,如魚翔淺底,輕松活潑,而又不乏智慧的光芒,學(xué)生參與熱情高,學(xué)習(xí)氛圍好。這節(jié)課的教學(xué)重點就是讓學(xué)生通過對例題及其變式的思考,體會“利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式”的`方法(如定義法、累加法、待定系數(shù)法等)和化歸思想 。其實,此類問題既是數(shù)列教學(xué)中的難點問題,也是江蘇高考的熱點問題?傮w而言,在嚴(yán)老師的引導(dǎo)下,學(xué)生基本達(dá)成了教學(xué)目標(biāo),高一學(xué)生能做到這一點已經(jīng)難能可貴了。筆者建議,是不是可以突破例題和練習(xí)的界限,進(jìn)行如下的教學(xué)設(shè)計:

  在數(shù)列中,已知,其前項和為,根據(jù)下列條件,分別求數(shù)列的通項公式。

  教師一定要敢于放開手讓學(xué)生去思考,去板演,看看他(她)有什么想法,或者有什么困惑,然后再讓學(xué)生進(jìn)行交流,教師要做的就是引導(dǎo)、點評和總結(jié)。學(xué)生有了這樣的經(jīng)歷和體驗之后,對問題的認(rèn)識和理解應(yīng)該會更深刻。另外,對累加法的應(yīng)用,筆者認(rèn)為還是化成差的形式,即“ ”操作起來更方便一些。以上只是個人的一點不成熟的想法,請大家批評指正。

數(shù)列公式大全6

  如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示。

  (1)等比數(shù)列的.通項公式是:An=A1×q^(n-1)

  若通項公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當(dāng)q>0時,則可把a(bǔ)n看作自變量n的函數(shù),點(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點。

  (2) 任意兩項am,an的關(guān)系為an=am·q^(n-m)

  (3)從等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出: a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}

  (4)等比中項:aq·ap=ar^2,ar則為ap,aq等比中項。

  (5) 等比求和:Sn=a1+a2+a3+.......+an

 、佼(dāng)q≠1時,Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)

  ②當(dāng)q=1時, Sn=n×a1(q=1)

  記πn=a1·a2…an,則有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1

  另外,一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底數(shù)數(shù)后構(gòu)成一個等差數(shù)列;反之,以任一個正數(shù)C為底,用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構(gòu)造冪Can,則是等比數(shù)列。在這個意義下,我們說:一個正項等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。

數(shù)列公式大全7

  在高一(5)班上好“等差數(shù)列求和公式”這一堂課后,通過和學(xué)生的互動,我對求和公式上課時遇到的幾點問題提出了一點思考.

  一、對內(nèi)容的理解及相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計

  1.“數(shù)列前n項的和”是針對一般數(shù)列而提出的一個概念,教材在這里提出這個概念只是因為本節(jié)內(nèi)容首次研究數(shù)列前n項和的問題.因此,教學(xué)設(shè)計時應(yīng)注意“從等差數(shù)列中跳出來”學(xué)習(xí)這個概念,以免學(xué)生誤認(rèn)為這只是等差數(shù)列的一個概念.

  2.等差數(shù)列求和公式的教學(xué)重點是公式的推導(dǎo)過程,從“掌握公式”來解釋,應(yīng)該使學(xué)生會推導(dǎo)公式、理解公式和運用公式解決問題.其實還不止這些,讓學(xué)生體驗推導(dǎo)過程中所包含的數(shù)學(xué)思想方法才是更高境界的教學(xué)追求,這一點后面再作展開.本節(jié)課在這方面有設(shè)計、有突破,但教師組織學(xué)生討論與交流的環(huán)節(jié)似乎還不夠充分,因為這個層面上的學(xué)習(xí)更側(cè)重于讓學(xué)生“悟”.

  3.用公式解決問題的內(nèi)容很豐富.本節(jié)課只考慮“已知等差數(shù)列,求前n項”的問題,使課堂不被大量的變式問題所困擾,而能專心將教學(xué)的重點放在公式的推導(dǎo)過程.這樣的處理比較恰當(dāng).

  二、求和公式中的數(shù)學(xué)思想方法

  在推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的過程中,有兩種極其重要的數(shù)學(xué)思想方法.一種是從特殊到一般的探究思想方法,另一種是從一般到特殊的化歸思想方法.

  從特殊到一般的探究思想方法大家都很熟悉,本節(jié)課基本按教材的設(shè)計,依次解決幾個問題。

  從一般到特殊的.化歸思想方法的揭示是本節(jié)課的最大成功之處.以往人們常常只注意到“倒序相加”是推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的關(guān)鍵,而忽視了對為什么要這樣做的思考.同樣是求和,與的本質(zhì)區(qū)別是什么?事實上,前者是100個不相同的數(shù)求和,后者是50個相同數(shù)的求和,求和的本質(zhì)區(qū)別并不在于是100個還是50個,而在于“相同的數(shù)”與“不相同的數(shù)”.相同的數(shù)求和是一個極其簡單并且在乘法中早已解決了的問題,將不“相同的數(shù)求和”(一般)化歸為“相同數(shù)的求和”(特殊),這就是推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的思想精髓.不僅如此,將一般的求和問題化歸為我們會求(特殊)的求和問題這種思想還將在以后的求和問題中反復(fù)體現(xiàn).

  在等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程中,其實有這樣一個問題鏈:

  為什么要對和式分組配對?(因為想轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和)

  為什么要“倒序相加”?(因為可以避免項數(shù)奇偶性討論)

  為什么“倒序相加”能轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和?(因為等差數(shù)列性質(zhì))

  由此可見,“倒序相加”只是一種手段和技巧,轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和是解決問題的思想,等差數(shù)列自身的性質(zhì)是所采取的手段能達(dá)到目的的根本原因.

  三、幾點看法

  1.注意挖掘基礎(chǔ)知識的教學(xué)內(nèi)涵

  對待概念、公式等內(nèi)容,如果只停留在知識自身層面,那么教學(xué)常常會落入死記硬背境地.其實越是基礎(chǔ)的東西其所包含的思想方法往往越深刻,值得大家?guī)ьI(lǐng)學(xué)生去認(rèn)真體驗,當(dāng)然這樣的課不好上.

  2.用好教材

  現(xiàn)在的教材有不少好的教學(xué)設(shè)計,需要教師認(rèn)真對待,反復(fù)領(lǐng)會教材的意圖.當(dāng)然,由于教材的客觀局限性,還需要教師去處理教材.譬如本節(jié)課,課堂所呈現(xiàn)的基本上是教材的內(nèi)容順序和教學(xué)設(shè)計,但面對教材所給的全部內(nèi)容時,課堂能否在某個環(huán)節(jié)上停下來,能否合理地選取教材的一部分內(nèi)容作為這一節(jié)課的內(nèi)容,而將其他的內(nèi)容留到后面的課,這就體現(xiàn)教師的認(rèn)識和處理教材的水平.

  3.無止境

  一堂課所要追求的教學(xué)價值當(dāng)然是盡量能多一些更好,但應(yīng)分清主次.譬如本節(jié)課還用了幾個“實際生活問題”,意圖是明顯的,教師的提問和處理也比較恰當(dāng).課沒有最好只有更好!

數(shù)列公式大全8

  公式

  Sn=(a1+an)n/2

  Sn=na1+n(n-1)d/2; (d為公差)

  Sn=An2+Bn; A=d/2,B=a1-(d/2)

  和為 Sn

  首項 a1

  末項 an

  公差d

  項數(shù)n

  通項

  首項=2×和÷項數(shù)-末項

  末項=2×和÷項數(shù)-首項

  末項=首項+(項數(shù)-1)×公差

  項數(shù)=(末項-首項)(除以)/ 公差+1

  公差=如:1+3+5+7+……99 公差就是3-1

  d=an-a

  性質(zhì):

  若 m、n、p、q∈N

 、偃鬽+n=p+q,則am+an=ap+aq

 、谌鬽+n=2q,則am+an=2aq

  注意:上述公式中an表示等差數(shù)列的第n項。

數(shù)列公式大全9

  數(shù)列的基本概念 等差數(shù)列

  (1)數(shù)列的通項公式an=f(n)

  (2)數(shù)列的遞推公式

  (3)數(shù)列的通項公式與前n項和的關(guān)系

  an+1-an=d

  an=a1+(n-1)d

  a,A,b成等差 2A=a+b

  m+n=k+l am+an=ak+al

  等比數(shù)列 常用求和公式

  an=a1qn_1

  a,G,b成等比 G2=ab

  m+n=k+l aman=akal

  不等式

  不等式的基本性質(zhì) 重要不等式

  a>b b

  a>b,b>c a>c

  a>b a+c>b+c

  a+b>c a>c-b

  a>b,c>d a+c>b+d

  a>b,c>0 ac>bc

  a>b,c<0 ac

  a>b>0,c>d>0 ac

  a>b>0 dn>bn(n∈Z,n>1)

  a>b>0 > (n∈Z,n>1)

  (a-b)2≥0

  a,b∈R a2+b2≥2ab

  |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

  證明不等式的基本方法

  比較法

  (1)要證明不等式a>b(或a

  a-b>0(或a-b<0=即可

  (2)若b>0,要證a>b,只需證明 ,

  要證a

  綜合法 綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發(fā),根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出欲證的.不等式(由因?qū)Ч?的方法。

  分析法 分析法是從尋求結(jié)論成立的充分條件入手,逐步尋求所需條件成立的充分條件,直至所需的條件已知正確時為止,明顯地表現(xiàn)出“持果索因”

數(shù)列公式大全10

  等差數(shù)列公式an=a1+(n-1)d

  a1為首項,an為第n項的.通項公式,d為公差

  前n項和公式為:Sn=na1+n(n-1)d/2

  Sn=(a1+an)n/2

  若m+n=p+q則:存在am+an=ap+aq

  若m+n=2p則:am+an=2ap

  以上n.m.p.q均為正整數(shù)

  文字翻譯

  第n項的值an=首項+(項數(shù)-1)×公差

  前n項的和Sn=首項×n+項數(shù)(項數(shù)-1)公差/2

  公差d=(an-a1)÷(n-1)

  項數(shù)=(末項-首項)÷公差+1

  數(shù)列為奇數(shù)項時,前n項的和=中間項×項數(shù)

  數(shù)列為偶數(shù)項,求首尾項相加,用它的和除以2

  等差中項公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差數(shù)列

  通項公式

  公差×項數(shù)+首項-公差

數(shù)列公式大全11

  一、知識與技能

  1.了解公差的概念,明確一個數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件,能根據(jù)定義判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列;

  2.正確認(rèn)識使用等差數(shù)列的各種表示法,能靈活運用通項公式求等差數(shù)列的首項、公差、項數(shù)、指定的項.

  二、過程與方法

  1.通過對等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生:的觀察力及歸納推理能力;

  2.通過等差數(shù)列變形公式的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生:思維的深刻性和靈活性.

  三、情感態(tài)度與價值觀

  通過等差數(shù)列概念的歸納概括,培養(yǎng)學(xué)生:的觀察、分析資料的能力,積極思維,追求新知的創(chuàng)新意識.

  教學(xué)過程

  導(dǎo)入新課

  師:上兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義以及給出數(shù)列和表示數(shù)列的幾種方法——列舉法、通項公式、遞推公式、圖象法.這些方法從不同的角度反映數(shù)列的特點.下面我們看這樣一些數(shù)列的例子:(課本P41頁的4個例子)

  (1)0,5,10,15,20,25,…;

  (2)48,53,58,63,…;

  (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5…;

  (4)10 072,10 144,10 216,10 288,10 366,….

  請你們來寫出上述四個數(shù)列的第7項.

  生:第一個數(shù)列的第7項為30,第二個數(shù)列的第7項為78,第三個數(shù)列的第7項為3,第四個數(shù)列的第7項為10 510.

  師:我來問一下,你依據(jù)什么寫出了這四個數(shù)列的第7項呢?以第二個數(shù)列為例來說一說.

  生:這是由第二個數(shù)列的后一項總比前一項多5,依據(jù)這個規(guī)律性我得到了這個數(shù)列的第7項為78.

  師:說得很有道理!我再請同學(xué)們仔細(xì)觀察一下,看看以上四個數(shù)列有什么共同特征?我說的是共同特征.

  生:1每相鄰兩項的差相等,都等于同一個常數(shù).

  師:作差是否有順序,誰與誰相減?

  生:1作差的順序是后項減前項,不能顛倒.

  師:以上四個數(shù)列的共同特征:從第二項起,每一項與它前面一項的差等于同一個常數(shù)(即等差);我們給具有這種特征的數(shù)列起一個名字叫——等差數(shù)列.

  這就是我們這節(jié)課要研究的內(nèi)容.

  推進(jìn)新課

  等差數(shù)列的定義:一般地,如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù),這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差(常用字母“d”表示).

 。1)公差d一定是由后項減前項所得,而不能用前項減后項來求;

 。2)對于數(shù)列{an},若an-a n-1=d(與n無關(guān)的數(shù)或字母),n≥2,n∈N*,則此數(shù)列是等差數(shù)列,d叫做公差.

  師:定義中的關(guān)鍵字是什么?(學(xué)生:在學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到一些概念,能否抓住定義中的關(guān)鍵字,是能否正確地、深入的理解和掌握概念的重要條件,更是學(xué)好數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的重要一環(huán).因此教師:應(yīng)該教會學(xué)生:如何深入理解一個概念,以培養(yǎng)學(xué)生:分析問題、認(rèn)識問題的能力)

  生:從“第二項起”和“同一個常數(shù)”.

  師::很好!

  師:請同學(xué)們思考:數(shù)列(1)、(2)、(3)、(4)的通項公式存在嗎?如果存在,分別是什么?

  生:數(shù)列(1)通項公式為5n-5,數(shù)列(2)通項公式為5n+43,數(shù)列(3)通項公式為2.5n-15.5,….

  師:好,這位同學(xué)用上節(jié)課學(xué)到的知識求出了這幾個數(shù)列的通項公式,實質(zhì)上這幾個通項公式有共同的特點,無論是在求解方法上,還是在所求的結(jié)果方面都存在許多共性,下面我們來共同思考.

  [合作探究]

  等差數(shù)列的通項公式

  師:等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項之間關(guān)系而得到的,若一個等差數(shù)列{an}的首項是a1,公差是d,則據(jù)其定義可得什么?

  生:a2-a1=d,即a2=a1+d.

  師:對,繼續(xù)說下去!

  生:a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d;

  a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d;

  ……

  師:好!規(guī)律性的東西讓你找出來了,你能由此歸納出等差數(shù)列的通項公式嗎?

  生:由上述各式可以歸納出等差數(shù)列的通項公式是an=a1+(n-1)d.

  師:很好!這樣說來,若已知一數(shù)列為等差數(shù)列,則只要知其首項a1和公差d,便可求得其通項an了.需要說明的是:此公式只是等差數(shù)列通項公式的猜想,你能證明它嗎?

  生:前面已學(xué)過一種方法叫迭加法,我認(rèn)為可以用.證明過程是這樣的:

  因為a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d.將它們相加便可以得到:an=a1+(n-1)d.

  師:太好了!真是活學(xué)活用啊!這樣一來我們通過證明就可以放心使用這個通項公式了.

 。劢處煟壕v]

  由上述關(guān)系還可得:am=a1+(m-1)d,

  即a1=am-(m-1)d.

  則an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d,

  即等差數(shù)列的第二通項公式an=am+(n-m)d.(這是變通的通項公式)

  由此我們還可以得到.

  [例題剖析]

  【例1】(1)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項;

 。2)-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13…的項?如果是,是第幾項?

  師:這個等差數(shù)列的首項和公差分別是什么?你能求出它的第20項嗎?

  生:1這題太簡單了!首項和公差分別是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因為n=20,所以由等差數(shù)列的通項公式,得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.

  師:好!下面我們來看看第(2)小題怎么做.

  生:2由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得數(shù)列通項公式為an=-5-4(n-1).

  由題意可知,本題是要回答是否存在正整數(shù)n,使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100,即-401是這個數(shù)列的第100項.

  師:剛才兩個同學(xué)將問題解決得很好,我們做本例的目的'是為了熟悉公式,實質(zhì)上通項公式就是an,a1,d,n組成的方程(獨立的量有三個).

  說明:(1)強(qiáng)調(diào)當(dāng)數(shù)列{an}的項數(shù)n已知時,下標(biāo)應(yīng)是確切的數(shù)字;(2)實際上是求一個方程的正整數(shù)解的問題.這類問題學(xué)生:以前見得較少,可向?qū)W生:著重點出本問題的實質(zhì):要判斷-401是不是數(shù)列的項,關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項公式an,判斷是否存在正整數(shù)n,使得an=-401成立.

  【例2】已知數(shù)列{an}的通項公式an=pn+q,其中p、q是常數(shù),那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列?若是,首項與公差分別是什么?

  例題分析:

  師:由等差數(shù)列的定義,要判定{an}是不是等差數(shù)列,只要根據(jù)什么?

  生:只要看差an-an-1(n≥2)是不是一個與n無關(guān)的常數(shù).

  師:說得對,請你來求解.

  生:當(dāng)n≥2時,〔取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項an-1與an(n≥2)〕

  an-an-1=(pn+1)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p為常數(shù),

  所以我們說{an}是等差數(shù)列,首項a1=p+q,公差為p.

  師:這里要重點說明的是:

  (1)若p=0,則{an}是公差為0的等差數(shù)列,即為常數(shù)列q,q,q,….

  (2)若p≠0,則an是關(guān)于n的一次式,從圖象上看,表示數(shù)列的各點(n,an)均在一次函數(shù)y=px+q的圖象上,一次項的系數(shù)是公差p,直線在y軸上的截距為q.

  (3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項an=pn+q(p、q是常數(shù)),稱其為第3通項公式.課堂練習(xí)

  (1)求等差數(shù)列3,7,11,…的第4項與第10項.

  分析:根據(jù)所給數(shù)列的前3項求得首項和公差,寫出該數(shù)列的通項公式,從而求出所┣笙.

  解:根據(jù)題意可知a1=3,d=7-3=4.∴該數(shù)列的通項公式為an=3+(n-1)×4,即an=4n-1(n≥1,n∈N*).∴a4=4×4-1=15,a 10=4×10-1=39.

  評述:關(guān)鍵是求出通項公式.

  (2)求等差數(shù)列10,8,6,…的第20項.

  解:根據(jù)題意可知a1=10,d=8-10=-2.

  所以該數(shù)列的通項公式為an=10+(n-1)×(-2),即an=-2n+12,所以a20=-2×20+12=-28.

  評述:要求學(xué)生:注意解題步驟的規(guī)范性與準(zhǔn)確性.

  (3)100是不是等差數(shù)列2,9,16,…的項?如果是,是第幾項?如果不是,請說明理由.

  分析:要想判斷一個數(shù)是否為某一個數(shù)列的其中一項,其關(guān)鍵是要看是否存在一個正整數(shù)n值,使得an等于這個數(shù).

  解:根據(jù)題意可得a1=2,d=9-2=7.因而此數(shù)列通項公式為an=2+(n-1)×7=7n-5.

  令7n-5=100,解得n=15.所以100是這個數(shù)列的第15項.

  (4)-20是不是等差數(shù)列0,,-7,…的項?如果是,是第幾項?如果不是,請說明理由.

  解:由題意可知a1=0,,因而此數(shù)列的通項公式為.

  令,解得.因為沒有正整數(shù)解,所以-20不是這個數(shù)列的項.

  課堂小結(jié)

  師:(1)本節(jié)課你們學(xué)了什么?(2)要注意什么?(3)在生:活中能否運用?(讓學(xué)生:反思、歸納、總結(jié),這樣來培養(yǎng)學(xué)生:的概括能力、表達(dá)能力)

  生:通過本課時的學(xué)習(xí),首先要理解和掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學(xué)表達(dá)式a n-a n-1=d(n≥2);其次要會推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d(n≥1).

數(shù)列公式大全12

  一、高中數(shù)列基本公式:

  1、一般數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系:an=

  2、等差數(shù)列的通項公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項、ak為已知的第k項) 當(dāng)d≠0時,an是關(guān)于n的一次式;當(dāng)d=0時,an是一個常數(shù)。

  3、等差數(shù)列的前n項和公式:Sn= Sn= Sn=

  當(dāng)d≠0時,Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0;當(dāng)d=0時(a1≠0),Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。

  4、等比數(shù)列的通項公式: an= a1 qn-1an= ak qn-k

  (其中a1為首項、ak為已知的第k項,an≠0)

  5、等比數(shù)列的前n項和公式:當(dāng)q=1時,Sn=n a1 (是關(guān)于n的正比例式);

  當(dāng)q≠1時,Sn= Sn=

  二、高中數(shù)學(xué)中有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論

  1、等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍為等差數(shù)列。

  2、等差數(shù)列{an}中,若m+n=p+q,則

  3、等比數(shù)列{an}中,若m+n=p+q,則

  4、等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍為等比數(shù)列。

  5、兩個等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數(shù)列。

  6、兩個等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)組成的.數(shù)列

  {an bn}、、仍為等比數(shù)列。

  7、等差數(shù)列{an}的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。

  8、等比數(shù)列{an}的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。

  9、三個數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法:a-d,a,a+d;四個數(shù)成等差的設(shè)法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d

  10、三個數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法:a/q,a,aq;

  三、個數(shù)成等比的錯誤設(shè)法:a/q3,a/q,aq,aq3 (為什么?)

  11、{an}為等差數(shù)列,則 (c>;0)是等比數(shù)列。

  12、{bn}(bn>;0)是等比數(shù)列,則{logcbn} (c>;0且c1) 是等差數(shù)列。

  13. 在等差數(shù)列中:

  (1)若項數(shù)為,則

  (2)若數(shù)為則,,

  14. 在等比數(shù)列中:

  (1) 若項數(shù)為,則

  (2)若數(shù)為則,

數(shù)列公式大全13

  在高一(5)班上好“等差數(shù)列求和公式”這一堂課后,通過和學(xué)生的互動,我對求和公式上課時遇到的幾點問題提出了一點思考:

  一、對內(nèi)容的理解及相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計

  1、“數(shù)列前n項的和”是針對一般數(shù)列而提出的一個概念,教材在這里提出這個概念只是因為本節(jié)內(nèi)容首次研究數(shù)列前n項和的問題。因此,教學(xué)設(shè)計時應(yīng)注意“從等差數(shù)列中跳出來”學(xué)習(xí)這個概念,以免學(xué)生誤認(rèn)為這只是等差數(shù)列的一個概念。

  2、等差數(shù)列求和公式的教學(xué)重點是公式的推導(dǎo)過程,從“掌握公式”來解釋,應(yīng)該使學(xué)生會推導(dǎo)公式、理解公式和運用公式解決問題。其實還不止這些,讓學(xué)生體驗推導(dǎo)過程中所包含的數(shù)學(xué)思想方法才是更高境界的教學(xué)追求,這一點后面再作展開。本節(jié)課在這方面有設(shè)計、有突破,但教師組織學(xué)生討論與交流的環(huán)節(jié)似乎還不夠充分,因為這個層面上的學(xué)習(xí)更側(cè)重于讓學(xué)生“悟”。

  3、用公式解決問題的內(nèi)容很豐富。本節(jié)課只考慮“已知等差數(shù)列,求前n項”的問題,使課堂不被大量的變式問題所困擾,而能專心將教學(xué)的重點放在公式的推導(dǎo)過程。這樣的處理比較恰當(dāng)。

  二、求和公式中的數(shù)學(xué)思想方法

  在推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的過程中,有兩種極其重要的數(shù)學(xué)思想方法。一種是從特殊到一般的探究思想方法,另一種是從一般到特殊的化歸思想方法。

  從特殊到一般的探究思想方法大家都很熟悉,本節(jié)課基本按教材的設(shè)計,依次解決幾個問題。

  從一般到特殊的化歸思想方法的揭示是本節(jié)課的最大成功之處。以往人們常常只注意到“倒序相加”是推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的關(guān)鍵,而忽視了對為什么要這樣做的思考。同樣是求和,與的本質(zhì)區(qū)別是什么?事實上,前者是100個不相同的數(shù)求和,后者是50個相同數(shù)的求和,求和的本質(zhì)區(qū)別并不在于是100個還是50個,而在于“相同的數(shù)”與“不相同的數(shù)”。相同的數(shù)求和是一個極其簡單并且在乘法中早已解決了的問題,將不“相同的數(shù)求和”(一般)化歸為“相同數(shù)的求和”(特殊),這就是推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的思想精髓。不僅如此,將一般的求和問題化歸為我們會求(特殊)的求和問題這種思想還將在以后的求和問題中反復(fù)體現(xiàn)。

  在等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程中,其實有這樣一個問題鏈:

  為什么要對和式分組配對?(因為想轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和)

  為什么要“倒序相加”?(因為可以避免項數(shù)奇偶性討論)

  為什么“倒序相加”能轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和?(因為等差數(shù)列性質(zhì))

  由此可見,“倒序相加”只是一種手段和技巧,轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和是解決問題的思想,等差數(shù)列自身的性質(zhì)是所采取的手段能達(dá)到目的的`根本原因。

  三、幾點看法

  1、注意挖掘基礎(chǔ)知識的教學(xué)內(nèi)涵

  對待概念、公式等內(nèi)容,如果只停留在知識自身層面,那么教學(xué)常常會落入死記硬背境地。其實越是基礎(chǔ)的東西其所包含的思想方法往往越深刻,值得大家?guī)ьI(lǐng)學(xué)生去認(rèn)真體驗,當(dāng)然這樣的課不好上。

  2、用好教材

  現(xiàn)在的教材有不少好的教學(xué)設(shè)計,需要教師認(rèn)真對待,反復(fù)領(lǐng)會教材的意圖。當(dāng)然,由于教材的客觀局限性,還需要教師去處理教材。譬如本節(jié)課,課堂所呈現(xiàn)的基本上是教材的內(nèi)容順序和教學(xué)設(shè)計,但面對教材所給的全部內(nèi)容時,課堂能否在某個環(huán)節(jié)上停下來,能否合理地選取教材的一部分內(nèi)容作為這一節(jié)課的內(nèi)容,而將其他的內(nèi)容留到后面的課,這就體現(xiàn)教師的認(rèn)識和處理教材的水平。

  3、學(xué)無止境

  一堂課所要追求的教學(xué)價值當(dāng)然是盡量能多一些更好,但應(yīng)分清主次。譬如本節(jié)課還用了幾個“實際生活問題”,意圖是明顯的,教師的提問和處理也比較恰當(dāng)。課沒有最好只有更好!

數(shù)列公式大全14

  1、愛因斯坦說過:“興趣是最好的老師。”新課程的教材比以前有了更多的背景足以說明。本節(jié)也以國際象棋的故事為引例來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,然而卻在求和公式的證明中以“我們發(fā)現(xiàn),如果用公比乘…”一筆帶過,這個“發(fā)現(xiàn)”卻不是普通學(xué)生能做到的,他們只能驚嘆于解法的神奇,而求知欲卻會因其“技巧性太大”而逐步消退。因此如何在有趣的數(shù)學(xué)文化背景下進(jìn)一步拓展學(xué)生的視野,使數(shù)學(xué)知識的發(fā)生及形成更為自然,更能貼近學(xué)生的認(rèn)知特征,是每一位教師研討新教材的重要切入點。

  2、“課程內(nèi)容的呈現(xiàn),應(yīng)注意反映數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律,以及人們的認(rèn)識規(guī)律,體現(xiàn)從具體到抽象、特殊到一般的原則!薄敖滩膽(yīng)注意創(chuàng)設(shè)情境,從具體實例出發(fā),展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程,使學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程,了解知識的來龍去脈。”這些都是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對教材編寫的建議,更是對課堂教學(xué)實踐的要求。然而,在新課程的教學(xué)中,“穿新鞋走老路”仍是常見的現(xiàn)狀,“重結(jié)果的應(yīng)用,輕過程的探究”或者是應(yīng)試教育遺留的禍根,卻更與教材的編寫,教師對《課程標(biāo)準(zhǔn)》、教材研究的深淺有關(guān),更與課堂教學(xué)實踐密切相關(guān)。我們也曾留足時間讓學(xué)生思考,卻沒有人能“發(fā)現(xiàn)”用“公比乘以①的兩邊”,設(shè)計“從特殊到一般”即由2,3,4,…到q,再到 ,也是對教學(xué)的不斷實踐與探索的成果。因此,新課程教材留給教師更多發(fā)展的空間,每位教師有責(zé)任也應(yīng)當(dāng)深刻理會《標(biāo)準(zhǔn)》的理念,認(rèn)真鉆研教材,促進(jìn)《標(biāo)準(zhǔn)》及教材更加符合學(xué)生的'實際。

  3、先看文[1]由學(xué)生自主探究而獲得的兩種方法:

  且不說初中教材已經(jīng)把等比定理刪去,學(xué)生能獲得以上兩種方法并不比發(fā)現(xiàn)乘以來得容易,無奈之下,有的教師便用“欣賞”來走馬觀花地讓學(xué)生感受一下,這當(dāng)然更不可取。

  回到乘比錯位相減法,其實要獲得方法1并不難:可以用q乘以 ,那么是否可以在 的右邊提出一個q呢?請看:

  與 比較,右邊括號中比少了一項: ,則有

  以上方法僅須教師稍作暗示,學(xué)生都可完成。

  對于方法2,若去掉分母有 ,與方法1是一致的。

  4、在導(dǎo)出公式及證明中值得花這么多時間嗎?或者直接給出公式,介紹證明,可留有更多的時間供學(xué)生練習(xí),以上過程,教師講的是不是偏多了?

  如果僅僅是為了讓學(xué)生學(xué)會如何應(yīng)試,誠然以上的過程將不為人所喜歡,因為按此過程,一節(jié)課也就差不多把公式給證明完,又哪來例題與練習(xí)的時間呢?

  但是我們要追問:課堂應(yīng)教給學(xué)生什么呢?課堂教學(xué)應(yīng)從龐雜的知識中引導(dǎo)學(xué)生去尋找關(guān)系,挖掘書本背后的數(shù)學(xué)思想,挖掘出基于學(xué)生發(fā)展的知識體系,教學(xué)生學(xué)會思考,讓教學(xué)真正成為發(fā)展學(xué)生能力的課堂活動。因此,本課例在公式的推導(dǎo)及證明中舍得花大量時間,便是為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會探究與學(xué)習(xí),其價值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了公式的應(yīng)用。

數(shù)列公式大全15

  等差數(shù)列

  對于一個數(shù)列{a n },如果任意相鄰兩項之差為一個常數(shù),那么該數(shù)列為等差數(shù)列,且稱這一定值差為公差,記為 d ;從第一項 a 1 到第n項 a n 的總和,記為 S n 。

  那么 , 通項公式為,其求法很重要,利用了“疊加原理”的思想:

  將以上 n-1 個式子相加, 便會接連消去很多相關(guān)的項 ,最終等式左邊余下a n ,而右邊則余下 a1和 n-1 個d,如此便得到上述通項公式。

  此外, 數(shù)列前 n 項的和,其具體推導(dǎo)方式較簡單,可用以上類似的疊加的方法,也可以采取迭代的方法,在此,不再復(fù)述。

  值得說明的是,,也即,前n項的和Sn 除以 n 后,便得到一個以a 1 為首項,以 d /2 為公差的.新數(shù)列,利用這一特點可以使很多涉及Sn 的數(shù)列問題迎刃而解。

  等比數(shù)列

  對于一個數(shù)列 {a n },如果任意相鄰兩項之商(即二者的比)為一個常數(shù),那么該數(shù)列為等比數(shù)列,且稱這一定值商為公比 q ;從第一項 a 1 到第n項 a n 的總和,記為 T n 。

  那么, 通項公式為(即a1 乘以q 的 (n-1)次方,其推導(dǎo)為“連乘原理”的思想:

  a 2 = a 1 *q,

  a 3 = a 2 *q,

  a 4 = a 3 *q,

  ````````

  a n = a n-1 *q,

  將以上(n-1)項相乘,左右消去相應(yīng)項后,左邊余下a n , 右邊余下 a1 和(n-1)個q的乘積,也即得到了所述通項公式。

  此外, 當(dāng)q=1時 該數(shù)列的前n項和 Tn=a1*n

  當(dāng)q≠1時 該數(shù)列前n 項的和 T n = a1 * ( 1- q^(n)) / (1-q).

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