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數(shù)學(xué)推理與證明、復(fù)數(shù)復(fù)習(xí)要點論文
一、重點、要點回顧
1.歸納推理
近幾年高考特別注重對歸納猜想的考查，主要形式是根據(jù)已知條件歸納出一個結(jié)論，若是解答題，再用演繹推理對結(jié)論進(jìn)行證明。歸納推理的注意點：①歸納推理是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象，由歸納推理得到的結(jié)論超越了前提所包容的范圍，因而必須立足于觀察、檢驗、實驗的基礎(chǔ)上；②用歸納推理歸納結(jié)論時，切記不要以偏概全，不能根據(jù)幾個特殊情況就得到一般性結(jié)論，需再用所學(xué)知識去證明結(jié)論是否正確，所以要慎重。
2.類比推理
類比推理在近幾年的高考中屢有出現(xiàn)，且不斷翻新，不但考查考生對聯(lián)想、類比等方法的掌握情況，還考查考生的演繹（邏輯）推理能力。類比推理的注意點：①類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性，推測正在研究的事物的屬性，是以舊有的認(rèn)知為基礎(chǔ)，類比出新的結(jié)果；②類比推理是從一種事物的特殊屬性推測到另一種事物的特殊屬性，是由特殊與特殊的推理；③在幾何問題的推理中，通常情況下，平面圖形中的點、線、面可類比為空間圖形中的線、面、體，平面圖形中的面的面積可類比為空間圖形中的幾何體體積。
3.演繹推理
演繹推理的一般步驟：可根據(jù)具體問題靈活選擇推理步驟，但幾種推理規(guī)則基本都遵循“條件——推理——結(jié)論”這樣的三步式。演繹推理的注意點：①在數(shù)學(xué)中，證明命題的正確性都是用演繹推理，而合情推理不能當(dāng)作證明；②演繹推理中的三段論推理中的大前提在具體問題的推理過程中有時可以省略，但是必須明確大前提是什么。
4.直接證明
綜合法與分析法是兩種思路截然相反的證明方法。綜合法的特點是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，實際上是要尋找上一步的必要條件。而分析法的特點是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，實際上是要尋找使上一步成立的充分條件。分析法和綜合法各有其優(yōu)缺點：①從尋求解題思路來看，分析法有利于思考，方向明確，思路自然；綜合法往往枝節(jié)橫生，不容易達(dá)到所要證明的結(jié)論。②從表達(dá)過程而論，分析法敘述繁瑣，文辭冗長；綜合法形式簡捷，條理清晰。也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于書寫。因此，在實際解題時，常常把這兩種方法結(jié)合起來使用，即先用分析法探索證題的途徑，然后用綜合法寫出證明過程，這是解決數(shù)學(xué)問題常用的一種重要方法。
5.間接證明
使用反證法證明數(shù)學(xué)命題的一般步驟為：（1）分清命題的條件與結(jié)論；（2）做出與命題相矛盾的假設(shè)；（3）由假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確推理的方法，推出矛盾；（4）斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開始所做的假設(shè)不真，于是原結(jié)論成立，從而間接證明原命題成立。 6.數(shù)學(xué)歸納法
用數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵在于兩個步驟要做到“遞推基礎(chǔ)不能少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉”。因此必須注意以下幾點：（1）驗證是基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)歸納法的原理表明：第一個步驟是要找到一個數(shù)，這個數(shù)就是我們要證明命題對象的最小自然數(shù)，這個自然數(shù)并不一定都是“1”，因此“找準(zhǔn)起點，奠基要穩(wěn)”是我們正確運用數(shù)學(xué)歸納法第一個要注意的問題。（2）遞推乃關(guān)鍵。數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)在于遞推，所以從“k”到“k+1”的過程，必須把假設(shè)“n=k”作為條件來導(dǎo)出“n=k+1”時的命題，在推導(dǎo)過程中，要把歸納假設(shè)用上一次或幾次。（3）正確尋求遞推關(guān)系。我們已經(jīng)知道數(shù)學(xué)歸納法的第二步遞推是至關(guān)重要的，如何尋求遞推公式呢？①在第一步驗證時，不妨多計算幾項，并爭取正確寫出來，這樣對發(fā)現(xiàn)遞推公式是有幫助的。②探求數(shù)列通項公式要善于觀察式子或命題的變化規(guī)律，觀察n處在哪個位置。③在書寫f(k+1)時，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項，除此之外，多了哪些項、少了哪些項都要分析清楚。
二、常見方法、技巧及注意點
1.使用反證法證明問題時，準(zhǔn)確地做出反設(shè)（即否定結(jié)論）是正確運用反證法的前提，常用的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”列表如下：
2.反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾。常見矛盾有三類：
�。�1）與假設(shè)矛盾；（2）與數(shù)學(xué)公理、公式、定義或已被證明了的結(jié)論矛盾；（3）與公認(rèn)的簡單事實矛盾。
3.在進(jìn)行類比推理時要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象所迷惑，如果只抓住一點表面的相似甚至假象就去類比，就會犯機械類比的錯誤。
4.運用數(shù)學(xué)歸納法常見的錯誤：
�、贈]有驗證第一步；②第一步驗證多了，不但驗證了，不放心，又驗證了等，其實這是多余的，追其原因還是對第一步、第二步不理解；③沒有寫第二步中的歸納假設(shè)；④雖寫出了第二步中的歸納假設(shè)，但在證明中沒有用上；⑤證明過程中雖用上了歸納假設(shè)，但沒有進(jìn)行實質(zhì)的恒等變形，只是形式上寫出結(jié)果；⑥雖有中間變形，或中間變形有錯，或中間變形變不到應(yīng)有的結(jié)果，或只是形式的寫上結(jié)果。
5.復(fù)數(shù)的有關(guān)問題，一可以轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題，二可以轉(zhuǎn)化為平面幾何問題。在學(xué)習(xí)過程中，要充分利用相關(guān)知識，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化。
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