自然數(shù)集擴(kuò)充后的基數(shù)理論

時(shí)間：2023-04-30 11:13:22 數(shù)學(xué)論文我要投稿

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摘　要:自然數(shù)集擴(kuò)充后,其基數(shù)理論起了相應(yīng)變化,定義與法則都需作調(diào)整以適應(yīng)數(shù)學(xué)教學(xué)與應(yīng)用的需要.

　　1994年11月國家技術(shù)監(jiān)督局發(fā)布的《中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn),物理科學(xué)和技術(shù)中使用的數(shù)學(xué)符號》中,將自然數(shù)集記為

自然數(shù)集擴(kuò)充后的基數(shù)理論

N={0,1,2,3,…}

而將原自然數(shù)集稱為非零自然數(shù)集

N+(或N*)={1,2,3,…}.

　　自然數(shù)集擴(kuò)充后,文[1]中的自然數(shù)的基數(shù)理論以及其他一些與自然數(shù)有關(guān)的理論問題隨之起變化,這給數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)應(yīng)用產(chǎn)生一定影響.為此,我們將自然數(shù)的基數(shù)理論討論如下.

1　對自然數(shù)的來源的認(rèn)識

　　由于自然數(shù)的概念是建立在基數(shù)理論[1]之上的,基數(shù)是由集合對等而來.最初人類對物品的計(jì)數(shù),是將物品與人的手指(腳趾)數(shù)形成映射關(guān)系,物品既然存在“多少”,也就存在“有”或“沒有”,“沒有”即可認(rèn)為是空集,其計(jì)數(shù)應(yīng)當(dāng)是零.這就是說,零與非零自然數(shù)是人類認(rèn)識同步的客觀現(xiàn)象,而并非是6世紀(jì)才有零的概念.也許這就是將零補(bǔ)充到自然數(shù)集的緣由之一.事實(shí)上,國外許多文獻(xiàn)和專家早就主張將零作為第一個(gè)自然數(shù).

2　自然數(shù)的新概念

　　自然數(shù)擴(kuò)充后,包含了空集的基數(shù),要去掉原有自然數(shù)定義中“非空”的限制條件,即定義1　有限集合的基數(shù)叫做自然數(shù).根據(jù)對等的概念,可以建立N與N+的一一映射關(guān)系f:

N↓={0,↓1,↓2,↓3,↓…}N+={1,2,3,4,…}

　　由此可見,N與N+有相同的基數(shù),即|N|=|N+|.

3　自然數(shù)的四則運(yùn)算

　　自然數(shù)加法、乘法運(yùn)算義定只要去掉原有定義中的“非空”二字即可,亦即

　　定義2　設(shè)有有限集合A和B,且A∩B=Φ(A,B分離).若記A∪B=C,集合A,B,C的基數(shù)分別是a,b和c,那么c叫做a與b的和,記作

　　a+b=c.

　　a和b叫做加數(shù).求兩個(gè)數(shù)的和的運(yùn)算叫做加法.

　　定義3　設(shè)有m(m>1)個(gè)相互對等,且兩兩分離的有限集合A1,A2,A3,…,Am,它們的基數(shù)都是n.又設(shè)A=Umi=1Ai,A的基數(shù)記作

　　a,即有a=n+n+…+nm個(gè),這個(gè)a就叫做n乘以m的積,記作a=n×m,或a=n.m,或a=nm.n稱為被乘數(shù),m稱為乘數(shù).求兩個(gè)數(shù)積的運(yùn)算叫做乘法.

　　對于數(shù)0,1,補(bǔ)充義定:n和0的積是0,n和1的積是n,即n.0=0,n.1=1.