淺談數(shù)學(xué)中的一種常用解題策略—轉(zhuǎn)化

時間：2023-04-30 10:42:35 數(shù)學(xué)論文我要投稿

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淺談數(shù)學(xué)中的一種常用解題策略——轉(zhuǎn)化

　　 “轉(zhuǎn)化”是數(shù)學(xué)中最常用最基本的思維方式之一。轉(zhuǎn)化就是在分析解決問題時，把那些待解決或難解決的問題，通過某種轉(zhuǎn) 化過程，把復(fù)雜、隱蔽的問題轉(zhuǎn)化為簡單、明顯的問題。初中數(shù) 學(xué)的轉(zhuǎn)化方法多種多樣，常用的有下列幾種：

淺談數(shù)學(xué)中的一種常用解題策略—轉(zhuǎn)化

　　一、高次(或多元)向低次(或低元)轉(zhuǎn)化；

　　例1已知X2－2X－l＝0，則代數(shù)式X3—X2—3X十2的值是 (97年廣東省初三數(shù)學(xué)競賽第一道試題)

　　(A)O (B)1 (C)2 (D)3

　　分析：此題若通過已知X2－2X－1＝0解得

　　　X＝2土石代入原式求出答案，顯然運算量大。因此為了減少運算量，我們應(yīng)將問題轉(zhuǎn)化，經(jīng)分析可知：X2＝2X十1代人原式，從而達到降次的目的，最后得到正確答案(D)，由此可見，通過降次，可以將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單低次的問題，從而得到解決。

　　分析：解多元方程組的思想方法是將多元方程組轉(zhuǎn)化為低元方程組，最后轉(zhuǎn)化為一次方程而求得，此題的解題思想方法如下所示：三元一次方程組消元二元一次方程組消元一元一次方程

　　二、特殊與一般的互相轉(zhuǎn)化從特殊(一船)到一般(特殊)的思維方法是數(shù)學(xué)和其它科學(xué)領(lǐng)域中進行探索，發(fā)現(xiàn)真理知識的重要途徑。

　　例3圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

　　分析：考慮到圓周角與圓心角的一般關(guān)系，我們可以分為下列三種情況來證明。

　　(1)如圖1圓心在圓周角的一邊上：

　　易證得∠APB＝1／2∠AOB

　　(2)如圖2圓心在圓周角的內(nèi)部：

　　易證∠APB＝∠APS－∠BPS＝1/2∠AOS －1/2∠BOS＝1/2∠AOS

　　(3)如圖3圓心在圓周角的外部：

　　易得∠APB＝∠APS－∠BPS ＝∠AOS－1/2∠BOS 』 J ＝1/2∠AOB

　　綜上所述，不論哪種情況，圓周角都等于它所對的弧所對的圓心角的一半，從而命題得證(詳細過程參考《幾何》第三冊P91－92)這是由特殊到一般的轉(zhuǎn)化。

　　例4 如圖4，已知定圓⊙O1；與定圓⊙02外切于P點，AB 是過切點P的任一直線分別與⊙01和⊙02交于A、B 求證： AP/BP是一個定值。則應(yīng)先找出這個定值，而題中給出的條件中固定不變的只有兩圓的半徑(不防設(shè)為R．r)即要證AP/BP與R，r有關(guān)，由此啟發(fā)我們過切點P作⊙Ol與⊙02的直徑CD構(gòu)成Rt △APC～Rt△BPD，得出AP/BP＝CP/DP=r/R：參由此可見，找出定值的進程就是由一船到特殊轉(zhuǎn)化的過程。

　　三、正面向反面的轉(zhuǎn)化。

　　　很多數(shù)學(xué)的問題正面難于入手，但從問題的反面則易于解決，故此我們通常用正面向反面的轉(zhuǎn)化方法去解決一些數(shù)學(xué)問題。

　　例5若三個方程

　　至少有一個方程有實數(shù)解，試求實數(shù)a的取值范圍。

　　分析：條件“至少有一個方程有實數(shù)解”的情況十分復(fù)雜，如逐個方程討論，勢必造成運算過程繁瑣，且容易出錯。但若從這個問題的反面去思考，將問題轉(zhuǎn)化為“三個方程都沒有實數(shù)解”，則使問題變得單一、明白，由此可得

　　綜合得出－3/2＜a＜－1時，三個方程都沒有實數(shù)解，由此可知，當a≤－3/2或a≥－1時，三個方程必定有一個方程有實數(shù)根。

　　四、隱含向明朗轉(zhuǎn)化。

　　由于有些數(shù)學(xué)問題表面上沒有任何突破口、入手之處，但只要我們認真分析找出題中隱蔽原條件，就會使問題迎刃而解。

　　例6化簡：(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(264＋1)＋1

　　(摘初一級第八屆“希望杯”培訓(xùn)題)

　　分析：此題初看起來難于動筆，查只要認真分析，觀察一下題型結(jié)構(gòu)，較快發(fā)現(xiàn)一個隱蔽條件：1＝2－1，再利用平方差公式，很易使問題得到解決。

　　解：原式＝(2－1)(2－1)(22十1)…(264十1)十1