巧設(shè)單位“１”解答行程難題 論文

    （吳乃華 湖北仙桃市通�？谛�學(xué)）

    解答行程問題，一般都要有路程、速度、時間三種量中的任意兩個量。但是，在一類競賽題中，往往只有 時間這一種量，根本不明示兩個運動體的相向相遇，或者同向追及是在多少路程中發(fā)生的，因此，給解題增加 了一定的難度。

    如果在解答的過程中，能根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)卦O(shè)某段路程為單位“１”，以此為尺子，來度量兩個或幾個運動 體在不同的時間內(nèi)，所行駛的路程的長短，這樣，就能使數(shù)量關(guān)系明朗化，就能駕輕就熟，將問題化難為易。

    例１ 甲、乙、丙三人各以一定的速度，從Ａ地到Ｂ地，丙出發(fā)５分鐘后乙才出發(fā)，乙用２５分鐘追上丙 ；甲又比乙晚出發(fā)５分鐘，經(jīng)過４０分鐘才追上丙。甲出發(fā)后，需用多少分鐘才能追上乙？

    解 設(shè)乙追上丙所走的這段路程為單位“１”，則 乙每分鐘能行這段路程的１／２５；丙每分鐘能行這 段路程的１／（２５＋５）＝１／３０；

    根據(jù)“丙出發(fā)５分鐘后乙才出發(fā)”、“甲又比乙晚出發(fā)５分鐘”，則甲比丙晚出發(fā)１０分鐘。因此，當(dāng)甲 出發(fā)時，丙已行駛了這段路程的１／３０×１０＝１／３。甲追上丙，比丙多行了這段路程的１／３，花了４ ０分鐘。根據(jù)追及問題的關(guān)系式，可知甲比丙每分鐘多行這段路程的１／３÷４０＝１／１２０。因此，

    甲每分鐘能行這段路程的１／３０×（５＋５）÷４０＋１／３０＝１／２４。

    通過所設(shè)的乙追上丙所走的這段路程為單位“１”，已推出了甲和乙速度之間的關(guān)系，因而甲追上乙所需 的時間就可知是

    （１／２５）×５÷（１／２４－１／２５）＝１２０（分）

    例２ 某人沿公路騎自行車勻速前進(jìn)。他發(fā)現(xiàn)這一公路上的公共汽車，每隔２０分鐘就有一輛車超過他， 每隔１２分鐘就有一輛車和他迎面相遇。如果這路車的兩個車站，都以間隔相同的時間發(fā)一輛車，那么，每隔 多少分鐘發(fā)一輛車？

    解 由于兩個車站都是以間隔相同的時間發(fā)車，所以在這兩個車站間的這段公路上，不論是什么時刻，同 向行駛的所有車輛，兩車間的距離都是相等的。如果把這兩車間的間距設(shè)為單位“１”。題中“每隔２０分鐘 就有一輛車超過他”，即自行車和汽車同向前進(jìn)，汽車比自行車多行一個“間距”，需２０分鐘，也就是每分 鐘汽車比自行車多行“間距”的１／２０（速度差）；“每隔１２分鐘就有一輛車和他迎面相遇”，同樣可知 ，自行車和汽車在一分鐘內(nèi)，能共行“間距”的１／１２（速度和）。

    已知自行車和汽車在１分鐘內(nèi)的速度的“和”與“差”，由和差問題的關(guān)系式，可知汽車每分鐘能行“間 距”的（１／２０＋１／１２）÷２＝１／１５。

    因此，這路車發(fā)車的間隔時間為

    １÷〔（１／２０＋１／１５）÷２〕＝１５（分）

    例３ 甲騎自行車到城里去辦事，走后，乙發(fā)現(xiàn)他忘了一物，立即騎摩托車去追，乙追了１５分鐘還沒追 上，連忙問路旁的人，路旁的人回答說：“甲在２０分鐘前經(jīng)過這里�！币铱纯词直�，這時離甲出發(fā)時間一小 時。乙需再行幾分鐘就能追上甲？

    解 “乙追了１５分鐘還沒追上”，如果把乙追甲這１５分鐘所行的這段路程看作單位“１”，那么乙每 分鐘可行這段路程的１／１５。由題中條件可知，甲已出發(fā)一小時，并在２０分鐘前經(jīng)過這里，說明甲走這段 路程花了６０－２０＝４０（分）鐘，可知，甲每分鐘能行這段路程的１／４０，并且還可以推知，當(dāng)乙詢問 路旁人時，乙還距甲的路程是這段路程（單位“１”）的１／４０×２０＝１／２，根據(jù)追及問題的關(guān)系式， 可以求得乙還需多少分鐘才能追上甲，因此，本題的綜合算式是：

    １／（６０－２０）×２０÷〔１／１５－１／（６０－２０）〕＝１２（分）

    這類題，單位“１

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