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有 趣 的 悖 論
有 趣 的 悖 論孫宏濤 10月16日
一、羅素悖論
一天，薩維爾村理發(fā)師掛出了一塊招牌：村里所有不自己理發(fā)的男人都由我給他們理發(fā)。于是有人問他：“您的頭發(fā)誰給理呢？”理發(fā)師頓時啞口無言。
1874年，德國數(shù)學家康托爾創(chuàng)立了集合論，很快滲透到大部分數(shù)學分支，成為它們的基礎。到十九世紀末，全部數(shù)學幾乎都建立在集合論的基礎上了。就在這時，集合論接連出現(xiàn)了一系列自相矛盾的結果。特別是1902年羅素提出理發(fā)師故事反映的悖論，它極為簡單、明確、通俗。于是，數(shù)學的基礎被動搖了，這就是所謂的第三次“數(shù)學危機”。此后，為了克服這些悖論，數(shù)學家們做了大量研究工作，由此產(chǎn)生了大批新成果，也帶來了數(shù)學觀念的革命。
二、說謊者悖論：
“我正在說的這句話是慌話。”公元前四世紀的希臘數(shù)學家歐幾里德提出的這個悖論，至今還在困擾著數(shù)學家和邏輯學家。這就是著名的說慌者悖論。類似的悖論最早是在公元前六世紀出現(xiàn)的，當時克里特島哲學家愛皮梅尼特曾說過：“所有的克里特島人都說慌。”在中國古代《墨經(jīng)》中，也有一句十分相似的話：“以言為盡悖，悖，說在其言�！币馑际牵阂詾樗械脑挾际清e的，這是錯的，因為這本身就是一句話。
說慌者悖論有多種變化形式，例如，在同一張紙上寫出下列兩句話：
下一句話是慌話。
上一句話是真話。
更有趣的是下面的對話。甲對乙說：“你下面要講的是‘不’，對不對？請用‘是’或‘不’來回答！”
還有一個例子。有個虔誠的教徒，他在演說中口口聲聲說上帝是無所不能的，什么事都做得到。一位過路人問了一句話：“上帝能創(chuàng)造一塊他自己也舉不起來的石頭嗎？”
三、芝諾悖論：
阿基里斯是希臘傳說中跑得最快的人。一天他正在散步，忽然發(fā)現(xiàn)在他前面一百米遠的地方有一只大烏龜正在緩慢地向前爬。烏龜說：“阿基里斯，誰說你跑得最快？你連我都追不上！”阿基里斯說：“胡說！我的速度比你快何止上百倍！就算剛好是你的十倍，我也馬上就可以超過你！”烏龜說：“就照你說的，咱們來試一試吧！當你跑到我現(xiàn)在這個地方，我已經(jīng)向前跑了十米。當你向前跑過十米時，我又爬到前面去了。每次你追到我剛剛爬過的地方，我都又向前爬了一段距離。你只能離我越來越近，卻永遠也追不上我！”阿基里斯說：“哎呀，我明明知道能追上你，可是你說的好像也有道理。這到底是怎么回事呢？”
這個有趣的悖論，是公元前五世紀古希臘哲學家芝諾提出來的。在兩千多年的時間里，它使數(shù)學家和哲學家傷透了腦筋。芝諾悖論關鍵是使用了兩種不同的時間測度。原來，我們用來測定時間的任何一種“鐘”，都是依靠一種周期性的過程作標準的。如太陽每天東升西落，月亮的圓缺變化，一年四季的推移，鐘擺的運動等等。人們正是利用循環(huán)或重復運動的次數(shù)作為時間的測量標準的。
芝諾悖論中除了普通的鐘以外，還有另一種很特別的“鐘”，這就是用阿基里斯每次到達上次烏龜?shù)竭_的位置作為一個循環(huán)。用這種重復性過程測得的時間稱為芝諾時。例如，當阿基里斯第N次到達烏龜在第N次的起點時，芝諾時記為N，這樣，在芝諾時為有限的時刻，阿基里斯總是落在烏龜?shù)暮竺�。但是在我們的鐘表上，假如阿基里斯跑完一百米用了一分鐘，那么他到達第二次烏龜?shù)钠瘘c要六秒鐘，下一次要0.6秒，實際上，他只需要分鐘就可以追上烏龜了。因此，芝諾時的產(chǎn)生原因，是在于“芝諾時”不可能測量阿基里斯追上烏龜后的現(xiàn)象。在芝諾時達到無限后，正常計時仍可以進行，只不過芝諾的“鐘”已經(jīng)無法測量它們了。
這個悖論實際上是反映了時空并不是無限可分的，運動也不是連續(xù)的。即樸素的量子論。
悖論反映了嚴密的數(shù)學并不是鐵板一塊，它的數(shù)學概念，原理之中也存在許多矛盾。數(shù)學就是在解決矛盾中逐漸發(fā)展完善起來的。悖論的存在，還告訴我們，在學習與研究數(shù)學時，必須牢記古希臘數(shù)學家的名言：要懷疑一切，只有這樣才能有所發(fā)現(xiàn)。
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