距離空間的概率列緊性論文

時間：2023-05-02 22:29:24 論文范文我要投稿

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距離空間的概率列緊性論文

　　【摘要】 討論了距離空間中集合的概率列緊性，在一定的條件下證明了距離空間中的概率列緊性是可分的。

距離空間的概率列緊性論文

　　【關(guān)鍵詞】 距離空間；三角范數(shù)；列緊性

　　1 基本概念

　　定義1.1［1］（X，F(xiàn)）稱為距離空間，X為抽象集，映射F ：X×X×X→0 （簡記 F(a,b,c)=Fabc, Fabc(t)表示Fabc 在實數(shù)t 的值）滿足下列條件： ⑴ Fabc(0)=0； ⑵ 衋,b∈X, a≠b 鯿∈X,t0>0，使得Fabc(t0)<1>0,當a,b,c 中至少有二元相等； ⑷ Fabc=Facb=Fbca； ⑸ Fabc(t1)=Facb(t2)=Fbca(t3)=1軫abc(t1+t2+t3)=1 。

　　定義1.2 T 稱為三角范數(shù)，且T 滿足［0,1］×［0,1］×［0,1］→［0,1］映射，T 還滿足下列條件： ⑴ T(a,1,1)=a, T(0,0,0)=0； ⑵ T(a1，b1,c1)≤T(a2,b2,c2), 當a1≤a2≤,b1≤b2,c1≤c2 ； ⑶ T(a,b,c)=T(a,c,b)=T(b,c,a)； ⑷ T［T(a,b,c),d,e］=T［a,T(b,c,d),e］=T［a,b,T(c,d,e)］。

　　定義1.3 (X,F,T)稱為Menger空間，滿足下列條件： ⑴ (X,F)為距離空間； ⑵ T為三角范數(shù)； ⑶不等式Fabc(t1+t2+t3)≥T(Fabc(t1),Facb(t2),Fbca(t3)) 成立。

　　定義1.4 設(shè)(X,F) 為距離空間，若

　　⑴ x1,x2,…,xn∈X,{xn} 收斂于X 充要條件為笑>0,λ>0,a∈X,鯪(ε,λ,α) 使得當n≥N(ε,λ,α) 時，有Fxxna(ε)>1-λ；

　�、� A糥，a 為A 的聚點充要條件為：對X 中的任意有限個點b1,b2,…,bn ，A中存在不同于a 的點列 {an}，使得limn→∞Faanbj(t)=H(t)(j=1,2,…,n) ；

　�、� 稱=A∪{A的聚點} 為A 的閉包。

　　定義1.5 設(shè)(X,F) 為距離空間， X中的無窮集A 稱為概率列緊集充要條件為A 的任一無窮子集A1 必然含有一個收斂的點列，即存在{an}糀1,a∈X ,使得an→a ,若X 是概率列緊集,則稱(X,F) 為概率列緊空間。

　　定義1.6 設(shè)(X,F) 為距離空間，ε>0,λ>0,A糥,B糥，若存在A 的有限子集A′={a1,a2,…,an} ，使得對任意的ai∈A′ ，有Faaib(ε)>1-λ(衎∈B) ，則稱 A′是關(guān)于B 的一個(ε,λ) 網(wǎng)。

　　定義1.7 距離空間（X，F(xiàn)）具有性質(zhì)K 充要條件為對任意的使F(abc(t)≠H(t) ，而 limn→∞Faban(t)=H(t)，limn→∞Facan(t)=H(t) 成立的X 中的點列{an} 的limn→∞Faa′nn(t)=H(t),衋′∈X ．

　　定義1.8 (X,F)為距離空間，A糥稱為概率可分的充要條件為存在X 的可數(shù)子集B ，使得A ．

　　若X 為概率可分的抽象集，稱(X,F) 為概率可分距離空間。

　　2 主要結(jié)論

　　定理2.1 設(shè)（X，F(xiàn)，T）為Menger空間，T 連續(xù)函數(shù)，A糥是概率列緊的充分條件為笑>0,λ>0 及X 的任意有限子集B ，存在A 關(guān)于B 的(ω,λ) 網(wǎng)。

　　證明：設(shè)B=b{b1,b2,…,bn} 是X 中的任一有限子集，笑>0,λ>0 ，取a1∈A ，若{a1} 不是A 關(guān)于B 的（ε,λ)網(wǎng)，則必存在一點a2∈A,b12∈B ，使得Fa1a2b12 (ε)≤1-λ，若{a1,a2} 仍不構(gòu)成A 點關(guān)于B 的(ε，λ) 網(wǎng)，則必存在a3∈A,b13,b23∈B ，使得Fa1a3b13(ε)≤1-λ ，F(xiàn)a2a3b23(ε)≤1-λ。如此繼續(xù)下去，我們便得到A 的有限子集 A′={a1,a2,…,an}為A關(guān)于B 的(ε,λ) 網(wǎng)。

　　若不然，依上法便得到A 中的點列{an} 及B 中的點列b12，b13,b23,…,b1m…,bb-1m,… 使得：

　　Faiajbij(ε)≤1-λ i≠j(1)

　　因A糥是概率列緊集，且{an}∈A ，ai≠aj(i≠j) ，故存在{an} 的子列{ank} 及a∈X ，使得ank →a 。

　　因為T 連續(xù)函數(shù)，則對上述的λ>0 ，存在λ′>0 ，使得T(1-λ′,1-λ′,1-λ′)>1-λ 。

　　又因B 為有限集及ank→a ，故對上述ε>0,λ′>0 存在自然數(shù)1，當k≥1 時，對衎∈B ，有：

　　Faankb(ε3)>1-λ′(2)

　　特別的，有 Faan1b(ε3)>1-λ′

　　又對笑>0 ，λ′>0 及an1 ，存在自然數(shù)S ，當k≥s 時，有

　　Faanka(ε3)>1-λ′(3)

　　取k=max{1,s} ，當k≥K 時，⑵、⑶式都成立，故對衎∈B ，有：

　　Fan1ankb(ε)≥T(Faankb(ε3),Faan1b(ε3),Faan1ank(ε3))≥T(1-λ′,1-λ′,1-λ′)>1-λ

　　這與⑴式矛盾，故A′ 為A 關(guān)于B 的(ε,λ) 網(wǎng)。