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2012年考研高等數(shù)學六大必考題型
第一:求極限。
無論數(shù)學一、數(shù)學二還是數(shù)學三,求極限是高等數(shù)學的基本要求,所以也是每年必考的內(nèi)容。區(qū)別在于有時以4分小題形式出現(xiàn),題目簡單;有時以大題出現(xiàn),需要使用的方法綜合性強。比如大題可能需要用到等價無窮小代換、泰勒展開式、洛比達法則、分離因子、重要極限等中的幾種方法,有時考生需要選擇其中簡單易行的組合完成題目。另外,分段函數(shù)個別點處的導數(shù),函數(shù)圖形的漸近線,以極限形式定義的函數(shù)的連續(xù)性、可導性的研究等也需要使用極限手段達到目的,須引起注意!
第二:利用中值定理證明等式或不等式,利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式。
證明題雖不能說每年一定考,但也基本上十年有九年都會涉及。等式的證明包括使用4個微分中值定理,1個積分中值定理;不等式的證明有時既可使用中值定理,也可使用函數(shù)單調(diào)性。這里泰勒中值定理的使用是一個難點,但考查的概率不大。
第三:一元函數(shù)求導數(shù),多元函數(shù)求偏導數(shù)。
求導數(shù)問題主要考查基本公式及運算能力,當然也包括對函數(shù)關系的處理能力。一元函數(shù)求導可能會以參數(shù)方程求導、變限積分求導或應用問題中涉及求導,甚或高階導數(shù);多元函數(shù)(主要為二元函數(shù))的偏導數(shù)基本上每年都會考查,給出的函數(shù)可能是較為復雜的顯函數(shù),也可能是隱函數(shù)(包括方程組確定的隱函數(shù))。
另外,二元函數(shù)的極值與條件極值與實際問題聯(lián)系極其緊密,是一個考查重點。極值的充分條件、必要條件均涉及二元函數(shù)的偏導數(shù)。
第四:級數(shù)問題。
常數(shù)項級數(shù)(特別是正項級數(shù)、交錯級數(shù))斂散性的判別,條件收斂與絕對收斂的本質(zhì)含義均是考查的重點,但常常以小題形式出現(xiàn)。函數(shù)項級數(shù)(冪級數(shù),對數(shù)一來說還有傅里葉級數(shù),但考查的頻率不高)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域、和函數(shù)等及函數(shù)在一點的冪級數(shù)展開在考試中常占有較高的分值。
第五:積分的計算。
積分的計算包括不定積分、定積分、反常積分的計算,以及二重積分的計算,對數(shù)學考生來說常主要是三重積分、曲線積分、曲面積分的計算。這是以考查運算能力與處理問題的技巧能力為主,以對公式的熟悉及空間想像能力的考查為輔的。需要注意在復習中對一些問題的靈活處理,例如定積分幾何意義的使用,重心、形心公式的反用,對稱性的使用等。
第六:微分方程問題。
解常微分方程方法固定,無論是一階線性方程、可分離變量方程、齊次方程還是高階常系數(shù)齊次與非齊次方程,只要記住常用形式,注意運算準確性,在考場上正確運算都沒有問題。但這里需要注意:研究生考試對微分方程的考查常有一種反向方式,即平常給出方程求通解或特解,現(xiàn)在給出通解或特解求方程。這需要考生對方程與其通解、特解之間的關系熟練掌握。
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