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考研線性代數(shù)知識框架 向量三種運算
理解了向量和向量組的定義之后，我們考慮向量有哪些運算。
對于矩陣，我們定義了三種運算：加法、數(shù)乘、轉(zhuǎn)置和乘法。這些運算可以應用到向量上得到向量的相應運算。
向量的加法和數(shù)乘合起來稱為線性運算。通過線性運算，我們可以定義向量的兩個核心概念：線性表出和線性相關(guān)。
1. 線性表出
線性表出，顧名思義，就是用線性的方式表示出來。何為“線性的方式”，怎么表示出來的?我們看一個例子，對于向量組(1 0)，(0 1)和向量(2 3)，(2 3)如何用前兩個向量構(gòu)成的向量組表示?不難發(fā)現(xiàn)是(2 3)=2乘(1 0)+3乘(0 1)。大家看，等式的右端只有線性運算(加法和數(shù)乘)，這就是前面提到的“線性的方式”。這樣我們稱向量(2 3)可以由向量組(1 0)，(0 1)線性表出。注意到等號右面的式子是用線性的方式把向量(1 0)，(0 1)組合起來了，所以我們稱之為(1 0)，(0 1)的一個線性組合。
這樣我們就對線性組合及線性表出的概念有了個基本認識。這樣是否就夠了呢?當然不夠。我們在學馬克思主義哲學時有“由感性認識上升到理性認識”之說。理性認識更深刻，是對事物本質(zhì)的把握。盡管感性認識、理性認識用在這里未必恰當，但道理是相通的。我們通過例子對概念的理解很難說把握住了概念的本質(zhì)。要體會其本質(zhì)，還是要從嚴格的定義出發(fā)。
這里要提醒廣大考生：對于考研數(shù)學中的一些較難理解的概念，有同學覺得定義太抽象，進而放棄了對定義的理解，而試圖通過具體的例子理解概念。覺得弄懂了例子，概念就算是理解了。這是不可靠的。從學知識的角度，弄懂例子談不上理解了概念的內(nèi)涵和外延;從考試的角度，考試考查的是考生對概念的理解和運用，某個具體的例子只是一種具體的應用，所以離考試要求有距離。
下面我們看一下線性組合和線性表出的定義：
對于任意一組實數(shù)k1，k2，…，kn，稱k1乘alfa1+ k2乘alfa2+…+ kn乘alfan為向量組alfa1，alfa2，…，alfan的一個線性組合。
注意到對于同一個向量組，給定一組實數(shù)，則得到一個線性組合，可見一個向量組的線性組合有無窮多個。
若向量beta能寫成alfa1，alfa2，…，alfan的一個線性組合，則稱向量beta能由向量組alfa1，alfa2，…，alfan線性表出。
關(guān)于線性表出的定義需注意以下幾點：
(1)實數(shù)k1，k2，…，kn(或稱組合系數(shù))可以全為零，這和線性相關(guān)的定義不同。
(2)零向量可以由任何同維的向量組線性表出(把實數(shù)k1，k2，…，kn取成全為零即可)。
(3)向量組里任何一個向量可由向量組線性表出(把該向量對應的實數(shù)取成1，其余實數(shù)取成零即可)。
討論完線性表出這個核心概念后，我們來討論向量部分另一個核心概念：線性相關(guān)。
我們先看一個例子：
向量組I：(1 0)，(0 1)，(2 3);向量組II：(1 0)，(0 1).
我們觀察向量組I，不難發(fā)現(xiàn)(2 3)可由其余向量(1 0)，(0 1)線性表出：(2 3)=2乘(1 0)+3乘(0 1)。也可以不太嚴格地理解成(2 3)為“冗余”向量(它的功能能由其余向量代替)。當然，該等式也能等價變形為2乘(1 0)+3乘(0 1)+(-1)乘(2 3)=(0 0)，也就是能找到不全為零的數(shù)2,3，-1把向量組I組合成零向量。我們把這種向量組稱為線性相關(guān)的向量組。有三個理解角度：1)存在不全為零的數(shù)將其組合起來構(gòu)成零向量(即定義);2)至少存在一個向量能由其余向量線性表出(對應一個定理);3)向量組中有冗余向量(“樸素的理解方式”)。
再觀察向量組II，發(fā)現(xiàn)其情況與向量組I正好相反。我們也可以從三個角度理解它：1)不存在不全為零的數(shù)將其組合起來構(gòu)成零向量;2)不存在任何一個向量能由其余向量線性表出;3)向量組中沒有冗余向量。另外，第1)點還可以等價地描述成：若用實數(shù)將向量組合起來使其為零向量，則這組實數(shù)必全為零。我們把這種向量組II這種類型的向量組稱為線性無關(guān)的向量組。線性無關(guān)是和線性相關(guān)相對應的一個概念。
通過對上面這個小例子的分析，我們對線性相關(guān)和線性無關(guān)這兩個概念有了基本認識。要想有更深刻的認識，我們需要深入探究其定義。這時可能有同學耐不住性子了：說了半天概念，這和咱們最終要討論的向量組的秩有什么關(guān)系?印象里有個“極大線性無關(guān)組”的概念還沒說?另外，矩陣的秩和向量組的秩有什么關(guān)系?秩有哪些應用?這些東西都沒說呢!別急，羅馬不是一天建成的。指望三篇文章把線性代數(shù)最難的兩個概念徹底談清楚還是要求有點高的。
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