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考研數(shù)學(xué)沖刺 矩陣對(duì)角化講解

時(shí)間:2023-05-06 14:40:19 考研數(shù)學(xué) 我要投稿
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考研數(shù)學(xué)沖刺 矩陣對(duì)角化講解

2013考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)已進(jìn)入沖刺階段,考研數(shù)學(xué)專家針對(duì)有些同學(xué)在矩陣對(duì)角化這塊內(nèi)容上仍存在一些困惑,特撰此文講解矩陣對(duì)角化相關(guān)的知識(shí)、注意要點(diǎn)及解題技巧,助力2013考研數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)(考|研教育網(wǎng)整理)。

考研數(shù)學(xué)沖刺 矩陣對(duì)角化講解

  首先是矩陣對(duì)角化的概念:對(duì)于n階矩陣A,若存在一個(gè)n階可逆矩陣P,使P-1AP=Λ(Λ為對(duì)角矩陣)成立,則稱A可相似對(duì)角化,否則就稱A不可對(duì)角化。概念是要牢記于心的。

  重要定理:若n階矩陣A可以對(duì)角化,則對(duì)角矩陣Λ的n個(gè)主對(duì)角線元素必是A的n個(gè)特征值λ1,λ2,…,λn(包括重根),其相似變換矩陣P的n個(gè)列向量X1,X2,…,Xn是A的分別屬于λ1,λ2,…,λn的特征向量,且X1,X2,…,Xn線性無(wú)關(guān),即有:P-1AP=Λ,其中Λ=diag(λ1,λ2,…,λn),P=(X1,X2,…,Xn)為可逆陣,且AXj=λXj(j=1,2,…,n).

  并非所有的n階矩陣都可對(duì)角化,只有滿足一定條件的矩陣才可對(duì)角化,下面是幾個(gè)相關(guān)結(jié)論:

  結(jié)論1:n階矩陣A可以對(duì)角化的充分必要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。

  結(jié)論2:若n階矩陣A有n個(gè)兩兩不同的特征值,則A必可對(duì)角化。

  結(jié)論3:設(shè)λi是矩陣A的任一個(gè)特征值,其代數(shù)重?cái)?shù)為ni(即λi是ni重特征值),其幾何重?cái)?shù)為mi(即屬于λi的線性無(wú)關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù),也是齊次線性方程組(λiE-A)X=0的基礎(chǔ)解系中的向量個(gè)數(shù),mi=n-r(λiE-A)),則恒有mi≤ni。

  結(jié)論4:設(shè)n階矩陣A的兩兩不等的特征值為λ1,λ2,…,λs(1≤s≤n),則矩陣A可對(duì)角化的充分必要條件是,對(duì)A的每一個(gè)特征值λi,都有mi=ni(i=1,2,…,s)。

  將n階矩陣A通過(guò)相似變換化成對(duì)角陣的計(jì)算步驟也是需要牢牢掌握的,由于此部分內(nèi)容較簡(jiǎn)單,各位考生可自行翻閱《湯家鳳考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全》這部分內(nèi)容來(lái)學(xué)習(xí)掌握,并結(jié)合書內(nèi)典型例題加強(qiáng)理解。

(中國(guó)大學(xué)網(wǎng)考研 www.ishadingyu.com)

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