考研數(shù)學沖刺復習 矩陣對角化講解

2013考研數(shù)學復習已進入沖刺階段，考研數(shù)學專家針對有些同學在矩陣對角化這塊內(nèi)容上仍存在一些困惑，特撰此文講解矩陣對角化相關(guān)的知識、注意要點及解題技巧，助力2013考研數(shù)學沖刺復習。

　　首先是矩陣對角化的概念：對于n階矩陣A，若存在一個n階可逆矩陣P，使P-1AP=Λ(Λ為對角矩陣)成立，則稱A可相似對角化，否則就稱A不可對角化。概念是要牢記于心的。

　　重要定理：若n階矩陣A可以對角化，則對角矩陣Λ的n個主對角線元素必是A的n個特征值λ1，λ2，…，λn(包括重根)，其相似變換矩陣P的n個列向量X1，X2，…，Xn是A的分別屬于λ1，λ2，…，λn的特征向量，且X1，X2，…，Xn線性無關(guān)，即有：P-1AP=Λ，其中Λ=diag(λ1，λ2，…，λn)，P=(X1，X2，…，Xn)為可逆陣，且AXj=λXj(j=1，2，…，n).

　　并非所有的n階矩陣都可對角化，只有滿足一定條件的矩陣才可對角化，下面是幾個相關(guān)結(jié)論：

　　結(jié)論1：n階矩陣A可以對角化的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。

　　結(jié)論2：若n階矩陣A有n個兩兩不同的特征值，則A必可對角化。

　　結(jié)論3：設λi是矩陣A的任一個特征值，其代數(shù)重數(shù)為ni(即λi是ni重特征值)，其幾何重數(shù)為mi(即屬于λi的'線性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)，也是齊次線性方程組(λiE-A)X=0的基礎(chǔ)解系中的向量個數(shù)，mi=n-r(λiE-A))，則恒有mi≤ni。

　　結(jié)論4：設n階矩陣A的兩兩不等的特征值為λ1，λ2，…，λs(1≤s≤n)，則矩陣A可對角化的充分必要條件是，對A的每一個特征值λi，都有mi=ni(i=1，2，…，s)。

　　將n階矩陣A通過相似變換化成對角陣的計算步驟也是需要牢牢掌握的，由于此部分內(nèi)容較簡單，各位考生可自行翻閱《湯家鳳考研數(shù)學復習大全》這部分內(nèi)容來學習掌握，并結(jié)合書內(nèi)典型例題加強理解。

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