考研數(shù)學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

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2013考研數(shù)學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步主要考查考生對(duì)研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的基本概念、基本理論和基本方法的理解，以及運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)方法分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)教研室總結(jié)各個(gè)部分考察的主要內(nèi)容及對(duì)考生的要求，最后總結(jié)此門(mén)科目經(jīng)常考的題型及容易犯的錯(cuò)誤，供大家參考。

2013考研數(shù)學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

隨機(jī)事件和概率考查的主要內(nèi)容有：

(1)事件之間的關(guān)系與運(yùn)算，以及利用它們進(jìn)行概率計(jì)算；

(2)概率的定義及性質(zhì)，利用概率的性質(zhì)計(jì)算一些事件的概率；

(3)古典概型與幾何概型；

(4)利用加法公式、條件概率公式、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式計(jì)算概率；

(5)事件獨(dú)立性的概念，利用獨(dú)立性計(jì)算事件的概率；

(6)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，伯努利概型及有關(guān)事件概率的計(jì)算。

要求：考生理解基本概念，會(huì)分析事件的結(jié)構(gòu)，正確運(yùn)用公式，掌握一些技巧，熟練地計(jì)算概率。

隨機(jī)變量及概率分布考查的主要內(nèi)容有：

(1)利用分布函數(shù)、概率分布或概率密度的定義和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；

(2)掌握一些重要的隨機(jī)變量的分布及性質(zhì)，主要的有：（0-1）分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布、超幾何分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布，會(huì)進(jìn)行有關(guān)事件概率的計(jì)算；

(3)會(huì)求隨機(jī)變量的函數(shù)的分布。

(4)求兩個(gè)隨機(jī)變量的簡(jiǎn)單函數(shù)的分布，特別是兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的和的分布。要求：考生熟練掌握有關(guān)分布函數(shù)、邊緣分布和條件分布的計(jì)算，掌握有關(guān)判斷獨(dú)立性的方法并進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算，會(huì)求兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布。

隨機(jī)變量的數(shù)字特征考查的主要內(nèi)容有：

(1)數(shù)學(xué)期望、方差的定義、性質(zhì)和計(jì)算；

(2)常用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差；

(3)計(jì)算一些隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差；

(4)協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)和矩的定義、性質(zhì)和計(jì)算；

要求：考生熟練掌握數(shù)學(xué)期望、方差的定義、性質(zhì)和計(jì)算，掌握由給出的試驗(yàn)確定隨機(jī)變量的分布，再計(jì)算有關(guān)的數(shù)字的特征的方法，會(huì)計(jì)算協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)和矩，掌握判斷兩個(gè)隨機(jī)變量不相關(guān)的方法。

大數(shù)定律和中心限定理考查的主要內(nèi)容有：

(1)切比雪夫不等式；

(2)大數(shù)定律；

(3)中心極限定理。

要求：考生會(huì)用切比雪夫不等式證明有關(guān)不等式，會(huì)利用中心極限理進(jìn)行有關(guān)事件概率的近似計(jì)算。

數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念考查的主要內(nèi)容有：

(1)樣本均值、樣本方差和樣本矩的概念、性質(zhì)及計(jì)算；

(2)χ2分布、t分布和F分布的定義、性質(zhì)及分位數(shù)；

(3)推導(dǎo)某些統(tǒng)計(jì)量的（特別是正態(tài)總體的某些統(tǒng)計(jì)量）的分布及計(jì)算有關(guān)的概率。

要求：考生熟練掌握樣本均值、樣本方差的性質(zhì)和計(jì)算，會(huì)根據(jù)χ2分布、 t分布和F分布的定義和性質(zhì)推導(dǎo)有關(guān)正態(tài)總體某些統(tǒng)計(jì)的計(jì)量的分布。

參數(shù)估計(jì)考查的主要內(nèi)容有：

(1)求參數(shù)的矩估計(jì)、極大似然估計(jì)；

(2)判斷估計(jì)量的無(wú)偏性、有效性、一致性；

(3)求正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間。

要求：考生熟練地求得參數(shù)的矩估計(jì)、極大似然估計(jì)并判斷無(wú)偏性，會(huì)求正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間。

假設(shè)檢驗(yàn)考查的顯著的主要內(nèi)容有：

(1)正態(tài)總體參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)；

(2)總體分布假設(shè)的χ2檢驗(yàn)。

要求：考生會(huì)進(jìn)行正態(tài)總體參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)和總體分布假設(shè)的χ2檢驗(yàn)。

常有的題型有：填空題、選擇題、計(jì)算題和證明題，試題的主要類(lèi)型有：

(1)確定事件間的關(guān)系，進(jìn)行事件的運(yùn)算；(2)利用事件的關(guān)系進(jìn)行概率計(jì)算；(3)利用概率的性質(zhì)證明概率等式或計(jì)算概率；(4)有關(guān)古典概型、幾何概型的概率計(jì)算；(5)利用加法公式、條件概率公式、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式計(jì)算概率；(8)利用隨機(jī)變量的分布函數(shù)、概率分布和概率密度的定義、性質(zhì)確定其中的未知常數(shù)或計(jì)算概率；(9)由給定的試驗(yàn)求隨機(jī)變量的分布；(10)利用常見(jiàn)的概率分布（例如（0-1）分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布、均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等）計(jì)算概率；(11)求隨機(jī)變量函數(shù)的分布(12)確定二維隨機(jī)變量的分布；(13)利用二維均勻分布和正態(tài)分布計(jì)算概率；(14)求二維隨機(jī)變量的邊緣分布、條件分布；(15)判斷隨機(jī)變量的獨(dú)立性和計(jì)算概率；(16)求兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量函數(shù)的分布；(17)利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差的定義、性質(zhì)、公式，或利用常見(jiàn)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差；(18)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；(19)求兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)并判斷相關(guān)性；(20)求隨機(jī)變量的矩和協(xié)方差矩陣；(21)利用切比雪夫不等式推證概率不等式；(22)利用中心極限定理進(jìn)行概率的近似計(jì)算；(23)利用t分布、χ2分布、F分布的定義、性質(zhì)推證統(tǒng)計(jì)量的分布、性質(zhì)；(24)推證某些統(tǒng)計(jì)量（特別是正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量）的分布；(25)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的概率；(26)求總體分布中未知參數(shù)的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量；(27)判斷估計(jì)量的無(wú)偏性、有效性和一致性；(28)求單個(gè)或兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間；(29)對(duì)單個(gè)或兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)假設(shè)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)；(30)利用χ2檢驗(yàn)法對(duì)總體分布假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。

這一部分主要考查概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、基本性質(zhì)和基本理論，考查基本方法的應(yīng)用。對(duì)歷年的考題進(jìn)行分析，可以看出概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的試題，即使是填空題和選擇題，只考單一知識(shí)點(diǎn)的試題很少，大多數(shù)試題是考查考生的理解能力和綜合應(yīng)用能力。要求考生能靈活地運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，建立起正確的概率模型，綜合運(yùn)用極限、連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、極值、積分、廣義積分以及級(jí)數(shù)等知識(shí)去解決問(wèn)題。

在解答這部分考題時(shí)，考生易犯的錯(cuò)誤有：

（1）概念不清，弄不清事件之間的關(guān)系和事件的結(jié)構(gòu)；

（2）對(duì)試驗(yàn)分析錯(cuò)誤，概率模型搞錯(cuò)；

（3）計(jì)算概率的公式運(yùn)用不當(dāng)；

（4）不能熟練地運(yùn)用獨(dú)立性去證明和計(jì)算；

（5）不能熟練掌握和運(yùn)用常用的概率分布及其數(shù)字特征；

（6）不能正確應(yīng)用有關(guān)的定義、公式和性質(zhì)進(jìn)行綜合分析、運(yùn)算和證明。

綜合歷年考生的答題情況，得知概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題的得分率在0.3左右，區(qū)分度一般在0.40以上。這表明試題既有一定的難度，又有較高的區(qū)分度。

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