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第一冊已知三角函數(shù)值求角
【教學課題】: 已知三角函數(shù)值求角
【教學目標 】: 了解反三角函數(shù)的定義，掌握用反三角函數(shù)值表示給定區(qū)間上的角
【教學重點】: 掌握用反三角函數(shù)值表示給定區(qū)間上的角
【教學難點 】: 反三角函數(shù)的定義
【教學過程 】:
一． 問題的提出：
在我們的學習中常遇到知三角函數(shù)值求角的情況，如果是特殊值，我們可以立即求出所有的角，如果不是特殊值（ ），我們如何表示 呢？相當于 中如何用 來表示 ，這是一個反解 的過程，由此想到求反函數(shù)。但三角函數(shù)由于有周期性，它們不存在反函數(shù)，這就要求我們把它們的定義域縮小，并且這個區(qū)間滿足：
（1）包含銳角；（2）具有單調性；（3）能取得三角函數(shù)值域上的所有值。
顯然對 ，這樣的區(qū)間是 ；對 ，這樣的區(qū)間是 ；對 ，這樣的區(qū)間是 ；
二．新課的引入：
1．反正弦定義：
反正弦函數(shù)：函數(shù) ， 的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作： .
對于 注意：
（1） （相當于原來函數(shù)的值域）；
（2） （相當于原來函數(shù)的定義域）；
（3） ；
即： 相當于 內的一個角，這個角的正弦值為 。
反正弦：符合條件 （ ）的角 ，叫做實數(shù) 的反正弦，記作： 。其中 ， 。
例如： ， ， ，
由此可見：書上的反正弦與反正弦函數(shù)是一致的，當然理解了反正弦函數(shù)，能使大家更加系統(tǒng)地掌握這部分知識。
２．反余弦定義：
反余弦函數(shù)：函數(shù) ， 的反函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作： .
對于 注意：
（1） （相當于原來函數(shù)的值域）；
（2） （相當于原來函數(shù)的定義域）；
（3） ；
即： 相當于 內的一個角，這個角的余弦值為 。
反余弦：符合條件 （ ）的角 ，叫做實數(shù) 的反正弦，記作： 。其中 ， 。
例如： ， ，由于 ，故 為負值時， 表示的是鈍角。
３．反正切定義：
反正切函數(shù)：函數(shù) ， 的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作： .
對于 注意：
（1） （相當于原來函數(shù)的值域）；
（2） （相當于原來函數(shù)的定義域）；
（3） ；
即： 相當于 內的一個角，這個角的正切值為 。
反正切：符合條件 （ ）的角 ，叫做實數(shù) 的反正切，記作： 。其中 ， 。
例如： ， ， ，
對于反三角函數(shù)，大家切記：它們不是三角函數(shù)的反函數(shù)，需要對定義域加以改進后才能出現(xiàn)反函數(shù)。反三角函數(shù)的性質，有興趣的同學可根據(jù)互為反函數(shù)的函數(shù)的圖象關于 對稱這一特性，得到反三角函數(shù)的性質。根據(jù)新教材的要求，這里就不再講了。
練習：
三．課堂練習：
例1．請說明下列各式的含義：
(1) ； (2) ； (3） ； (4) 。
解：（1） 表示 之間的一個角，這個角的正弦值為 ，這個角是 ；
（2） 表示 之間的一個角，這個角的正弦值為 ，這個角不存在，即 的寫法沒有意義，與 ， 矛盾；
（3） 表示 之間的一個角，這個角的余弦值為 ，這個角是 ；
（4） 表示 之間的一個角，這個角的正切值為 。這個角是一個銳角。
例2.比較大小：（1） 與 ；（2） 與 。
解：（1）設： ， ； ， ，
則 ， ，
∵ 在 上是增函數(shù)， ，
∴ ，即 。
（2） 中 小于零， 表示負銳角，
中 雖然小于零，但 表示鈍角。
即： 。
例3．已知： ， ，求： 的值。
解： 正弦值為 的角只有一個，即： ，
在 中正弦值為 的角還有一個，為鈍角，即： ，
所求 的集合為： 。
注意：如果題目沒有特別說明，結果應為準確值，而不應是近似值，書上均為近似值。
例4．已知： ， ，求： 的值。
解： 余弦值為 的角只有一個，即： ，
在 中余弦值為 的角還有一個，為第三象限角，即： ，
所求 的集合為： 。
例5．求證： （ ）。
證明：∵ ，∴ ，設 ， ，
則 ，即： ，即： ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，即： 。
例6．求證： （ ）。
證明：∵ ，∴ ，設 ， ，
則 ，即： ，即： （*），
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，即： 。
注意：（*）中不能用 來替換 ，雖然符號相同，但 ，不能用反余弦表示 。
四．課后作業(yè) 。
書上：P76.練習,P77. 習題4.11。（均要準確值，劃掉書上的精確到）第一冊已知三角函數(shù)值求角
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