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數(shù)學(xué)教案-圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖
第一課時(shí)
素質(zhì)教育目標(biāo)
(一)知識教學(xué)點(diǎn)
1.使學(xué)生了解圓柱的特征,了解圓柱的側(cè)面、底面、高、軸、母線、過軸的截面等概念,了解圓柱的側(cè)面展開圖是矩形.
2.使學(xué)生會計(jì)算圓柱的側(cè)面積或全面積.
(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)
1.通過圓柱形成過程的教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、抽象思維能力和概括能力;
2.通過圓柱側(cè)面積的計(jì)算,培養(yǎng)學(xué)生正確、迅速的運(yùn)算能力;
3.通過實(shí)際問題的教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力,從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能
力.
(三)德育滲透點(diǎn)
1.通過圓柱的實(shí)物觀察及有關(guān)概念的歸納向?qū)W生滲透“真知產(chǎn)生于實(shí)踐”的觀點(diǎn);
2.通過應(yīng)用圓柱展開圖進(jìn)行計(jì)算,解決實(shí)際問題,向?qū)W生滲透理論聯(lián)系實(shí)際的觀點(diǎn);
3.通過圓柱側(cè)面展開圖的教學(xué),向?qū)W生滲透化曲面為平面,化立體圖形為平面圖形的“轉(zhuǎn)化”的觀點(diǎn);
4.通過圓柱軸截面的教學(xué),向?qū)W生滲透“抓主要矛盾、抓本質(zhì)”的矛盾論的觀點(diǎn).
(四)美育滲透點(diǎn)
通過學(xué)習(xí)新知,使學(xué)生領(lǐng)略主體圖形美與平面圖形美的聯(lián)系,提高學(xué)生對美的認(rèn)識層次.
重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法
1.重點(diǎn):(1)圓柱的形成手段和圓柱的軸、母線、高等概念及其特征;
(2)會用展開圖的面積公式計(jì)算圓柱的側(cè)面積和全面積.
2.難點(diǎn):對側(cè)面積計(jì)算的理解.
3.疑點(diǎn)及解決方法:學(xué)生對圓柱側(cè)面展開圖的長為什么是底面圓的周長有疑慮,為此教學(xué)時(shí)用模型展開,加強(qiáng)直觀性教學(xué).
教學(xué)步驟
(一)明確目標(biāo)
在小學(xué),大家已學(xué)過圓柱,在生活中我們也常常遇到圓柱形的物體,涉及到圓柱形物體的側(cè)面積和全面積的計(jì)算問題如何計(jì)算呢?這就是今天“7.21圓柱的側(cè)面展開圖”要研究的內(nèi)容。
(二)整體感知
圓柱是生產(chǎn)、生活實(shí)際中常遇到的幾何體,它是怎樣形成的,如何計(jì)算它的表面積?為了回答上述問題,首先在小學(xué)已具有直觀感知的基礎(chǔ)上,用矩形旋轉(zhuǎn)、運(yùn)動的觀點(diǎn)給出圓柱體有關(guān)的一系列概念,然后利用圓柱的模型將它的側(cè)面展開,使學(xué)生認(rèn)識到圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形,并能將這矩形的長與寬跟圓柱的高(或母線)、底面圓半徑找到相互轉(zhuǎn)化的對應(yīng)關(guān)系.最后應(yīng)用對應(yīng)關(guān)系和面積公式進(jìn)行計(jì)算.
〔三〕教學(xué)過程
(幻燈展示生活中常遇的圓柱形物體,如:油桶、鉛筆、圓形柱子等),前面展示的物體都是圓柱.在小學(xué),大家已學(xué)過圓柱,哪位同學(xué)能說出圓柱有哪些特征?(安排舉手的學(xué)生回答:圓柱的兩個底面都是圓面,這兩個圓相等,側(cè)面是曲面.)
(教師演示模型并講解):大家觀察矩形ABCD,繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形是什么?(安排中下生回答:圓柱).大家再觀察,圓柱的上、下底是由矩形的哪些線段旋轉(zhuǎn)而成的?(安排中下生回答:上底是以A為圓心,AD旋轉(zhuǎn)而成的,下底是以B為圓心,BC旋轉(zhuǎn)而成的.)上、下底面圓為什么相等?(安排中下生回答:因矩形對邊相等,所以上、下底半徑相等,所以上、下底面圓相等.)大家再觀察,圓柱的側(cè)面是矩形ABCD的哪條線段旋轉(zhuǎn)而成的?(安排中下生回答:側(cè)面由DC旋轉(zhuǎn)而成的.)
矩形ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周,直線用叫做圓柱的軸,CD叫做圓柱的母線.圓柱側(cè)面上平行于軸的線段都叫做圓柱的母線.矩形的另一組對邊AD、BC是上、下底面的半徑。
圓柱一個底面上任意一點(diǎn)到另一底面的垂線段叫做圓柱的高,哪位同學(xué)發(fā)現(xiàn)圓柱的母線與高有什么數(shù)量關(guān)系?(安排中下生回答:相等.)哪位同學(xué)發(fā)現(xiàn)圓柱上、下底面圓有什么位置關(guān)系?(安排中下生回答:平行)A、B是兩底面的圓心,直線AB是軸.哪位同學(xué)能敘述圓柱的軸的這一條性質(zhì)?(安排中等生回答:圓柱的軸通過上、下底面的圓心)哪位同學(xué)能按軸、母線、底面的順序歸納有關(guān)圓柱的性質(zhì)?(安排中上學(xué)生回答:圓柱的軸通過上、下底面的圓心,且垂直于上、下底,圓柱的母線平行于軸且長都相等,等于圓柱的高,圓柱的底面圓平行且相等.)
(教師邊演示模型,邊啟發(fā)提問):現(xiàn)在我把圓柱的側(cè)面沿它的一條母線剪開,展在一個平面上,觀察這個側(cè)面展開圖是什么圖形?(安排中下生回答,短形)這個圓柱展開圖——矩形的兩邊分別是圓柱中的什么線段?(安排中下生回答:一邊是圓柱的母線,一邊是圓柱底面圓的周長).大家想想矩形面積公式是什么?哪位同學(xué)能歸納圓柱的面積公式?(安排中下生回答:底面圓周長×圓柱母線)大家知道圓柱的母線與高相等,所以圓柱的面積公式還可怎樣表示?(安排中下生回答:)
幻燈展示[例1] 如圖,把一個圓柱形木塊沿它的軸剖開,得矩形ABCD.已知 ,求這個圓柱形木塊的表面積(精確到 ).
矩形的AD邊是圓柱底面圓的什么?(安排中下生回答:直徑.)題目中的哪句話暗示了AD是直徑?(安排中上生回答:第一句,“把一個圓柱形木塊沿它的軸剖開,得矩形ABCD”.因圓柱軸過底面圓的圓心,矩形過軸則意味AD過底面圓圓心,所以AD是圓柱底面圓直徑.) cm是告訴了圓柱的什么線段等于30cm?(安排中下生回答:圓柱的高等于30cm)什么是圓柱的表面積?哪位同學(xué)知道?(安排中上生回答:圓柱側(cè)面積與兩底面圓面積的和.)同學(xué)們請完成這道應(yīng)用題.(安排一中上生上黑板做題,其余在練習(xí)本做)
解:AD是圓柱底面的直徑,AB是圓柱母線,設(shè)圓柱的表面積為S,則
答:這個圓柱形木塊的表面積約為 .
幻燈展示[例2] 用一張面積為 的正方形硬紙片圍成一個圓柱的側(cè)面,求這個圓柱的底面直徑(精確到0.1cm).
請同學(xué)們?nèi)文靡徽叫渭埰瑖鷩矗奈煌瑢W(xué)發(fā)現(xiàn)正方形相鄰兩邊,一邊是圓柱的什么線段,另一邊是圓柱底面圓的什么?(安排中下生回答:一邊是母線,另一邊是底面圓周長.)
此題要求的是底面圓直徑,所以只要求出正方形的什么即可?(安排中下生回答:邊長.)邊長可求嗎:(安排中下生回答:可求,因?yàn)橐阎薪o了正方形的面積.)
請同學(xué)們完成此題.(安排一中等生上黑板完成,其余在練習(xí)本上完成)
解:設(shè)正方形邊長為x,圓柱底面直徑為d.
則 ,依題意 (cm)
答:這個圓柱的底面的直徑約為9.6cm.
(四)總結(jié)、擴(kuò)展
本節(jié)課學(xué)習(xí)了圓柱的形成、圓柱的概念、圓柱的性質(zhì)、圓柱的側(cè)面展開圖及其面積計(jì)算.
然后按總結(jié)順序;依次提問學(xué)生,此過程應(yīng)重點(diǎn)提問中下生.
布置作業(yè)
教材P.187練習(xí)1、2;P.192中2、3、4。
九、板書設(shè)計(jì)
第二課時(shí)
素質(zhì)教育目標(biāo)
(一)知識教育點(diǎn)
1.使學(xué)生了解圓錐的特征,了解圓錐的側(cè)面、底面、高、軸、母線、過軸的截面等概念,了解圓錐的側(cè)面展開圖是扇形。
2.使學(xué)生會計(jì)算圓錐的側(cè)面積或全面積。
(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)
1.通過圓錐的形成過程的教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、抽象思維能力和概括能力;
2.通過圓錐的面積計(jì)算,培養(yǎng)學(xué)生正確迅速的運(yùn)算能力;
3.通過實(shí)際問題的教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力,從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能
力.
(三)德育滲透點(diǎn)
1.通過圓錐的實(shí)物觀察及有關(guān)概念的歸納向?qū)W生滲透“實(shí)踐出真知”的觀念;
2.通過應(yīng)用圓錐展示圖的計(jì)算解決實(shí)際問題,向?qū)W生滲透理論聯(lián)系實(shí)際的觀點(diǎn);
3.通過圓錐側(cè)面展示圖的教學(xué),向?qū)W生滲透化曲面為平面,化立體圖形為平面圖形的“轉(zhuǎn)化”的觀點(diǎn);
4.通過圓錐軸截面的教學(xué),向?qū)W生滲透“抓主要矛盾,抓本質(zhì)”的矛盾論的觀點(diǎn).
(四)美育滲透點(diǎn)
通過學(xué)習(xí)新知,使學(xué)生進(jìn)一步完整對幾何美的認(rèn)識,提高美育層次.
重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法
1.重點(diǎn):(1)圓錐的形成過程和圓錐的軸、母線、高等概念及其性質(zhì);
(2)會進(jìn)行圓錐側(cè)面展開圖的計(jì)算,計(jì)算圓錐的表面積.
2.難點(diǎn):準(zhǔn)確進(jìn)行圓錐有關(guān)數(shù)據(jù)與展開圖有關(guān)數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)化.
3.疑點(diǎn)及解決方法:由于學(xué)生空間想象能力較弱,對圓錐的側(cè)面展開圖是扇形,用扇形一定可以圍成一個圓錐的側(cè)面有疑惑,為此安排學(xué)生課前或課上或課下自己動手剪剪看或圍圍看,通過實(shí)踐解決疑點(diǎn).
教學(xué)步驟
(一)明確目標(biāo)
在小學(xué),同學(xué)們除了學(xué)習(xí)圓柱之外還學(xué)習(xí)了一個幾何體——圓錐,在生活中我們也常常遇到圓錐形的物體,涉及到這些物體表面積的計(jì)算.這些圓錐形物體的表面積是怎樣計(jì)算出來的?這就是本節(jié)課“7.21圓錐的側(cè)面展開圖”所要研究的內(nèi)容.
(二)整體感如
和圓柱一樣,圓錐也是日常生活或?qū)嵺`活動中常見物體,在學(xué)生學(xué)過圓柱的有關(guān)計(jì)算后,進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓錐的有關(guān)計(jì)算,不僅對培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念有好處,而且能使學(xué)生體會到用平面幾何知識可以解決立體圖形的計(jì)算,為學(xué)習(xí)立體幾何打基礎(chǔ).
圓錐的側(cè)面展開圖不僅用于圓錐表面積的計(jì)算,而且在生產(chǎn)中常用于畫圖下料上,因此圓錐側(cè)面展開圖是本課的重點(diǎn).
本課首先在小學(xué)已具有圓錐直觀感知的基礎(chǔ)上,用直角三角形旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的觀點(diǎn)給出圓錐的一系列概念,然后利用圓錐的模型,把其側(cè)面展開,使學(xué)生認(rèn)識到圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形,并能將圓錐的有關(guān)元素與展開圖扇形的有關(guān)元素進(jìn)行相互間的轉(zhuǎn)化,最后應(yīng)用圓錐及其側(cè)面展開圖之間對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.
(三)教學(xué)過程
[幻燈展示生活中常遇的圓錐形物體,如:鉛錘、糧堆、煙囪帽]前面屏幕上展示的物體都是什么幾何體?[安排回憶起的學(xué)生回答:圓錐]在小學(xué)我們已學(xué)過圓錐,哪位同學(xué)能說出圓錐有哪些特征?安排舉手的學(xué)生回答:圓錐是由一個底面和一個側(cè)面圍成的,圓錐的底面是一個圓,側(cè)面是一個曲面,從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓的距離是圓錐的高。
[教師邊演示模型,邊講解]:大家觀察Rt ,繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形是什么?[安排中下生回答:圓錐.]大家觀察圓錐的底面,它是Rt 的哪條邊旋轉(zhuǎn)而成的?[安排中下生回答:OA]圓錐的側(cè)面是Rt 的什么邊旋轉(zhuǎn)而得的?[安排中下生回答,斜邊],因圓錐是Rt 繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周得到的,與圓柱相類似,直線SO應(yīng)叫做圓錐的什么?[安排中下生回答:軸.]大家觀察圓錐的軸SO應(yīng)具有什么性質(zhì)?[安排學(xué)生稍加討論,舉手發(fā)言:圓錐的軸過底面圓的圓心,且與底面圓垂直,軸上連接圓錐頂點(diǎn)與底面圓心的線段就是圓錐的高.]圓錐的側(cè)面是Rt 的斜邊繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周得到的,同圓柱相類似,斜邊SA應(yīng)叫做圓錐的什么?[安排中下生回答:母線.]給一圓錐,如何找到它的母線?[安排中上生回答:連結(jié)圓錐頂點(diǎn)與底面圓任意一點(diǎn)的線段都是母線.]圓錐的母線應(yīng)具有什么性質(zhì)?[安排中下生回答:圓錐的母線長都相等.]
[教師邊演示模型,邊啟發(fā)提問]:現(xiàn)在我把這圓錐的側(cè)面沿它的一條母線剪開,展在一個平面上,哪位同學(xué)發(fā)現(xiàn)這個展開圖是什么圖形?[安排中下生回答:扇形.]請同學(xué)們仔細(xì)觀察:并回答:1.圓錐展示圖——扇形的弧長l等于圓錐底面圓的什么?扇形的半徑其實(shí)是圓錐的什么線段?[安排中下生回答:扇形的弧長是底面圓的周長,即 ,扇形的半徑。就是圓錐的母線]由于 ,圓錐半徑已知則展開圖扇形的弧長已知,圓錐母線已知則展開圖扇形的半徑已知,因此展開圖扇形的面積可求,而這個扇形的面積實(shí)質(zhì)就是圓錐的側(cè)面積,因此圓錐的側(cè)面積也就可求.當(dāng)然展開圖扇形的圓心角也可求.
[教師邊演示模型,邊啟發(fā)提問]:如圖,現(xiàn)在將圓錐沿著它的軸剖開,哪位同學(xué)回答,經(jīng)過軸的剖面是一個什么圖形?[安排中下生回答:等腰三角形.]這個等腰三角形的腰與底分別是圓錐的什么?[安排中下生回答:腰是圓錐的母線,底是圓錐的直徑.這個等腰三角形的高也就是圓錐的什么?[安排中下生回答:高].這個經(jīng)過軸的剖面,我們稱之謂“軸截面”,在軸截面里包含了有關(guān)圓錐的所有元素:軸、高、母線,底面圓半徑.這個等腰三角形的頂角,我們稱之謂“錐角”,大家不難發(fā)現(xiàn)圓錐的母線、高、底面圓半徑及 錐角構(gòu)成了一個直角三角形,它給定旋轉(zhuǎn)一周得圓錐的那個直角三角形,當(dāng)然給定半徑、母線;圓錐側(cè)面展開圖——扇形的面積、圓心角可求、因此可以說有關(guān)圓錐的計(jì)算問題,其實(shí)質(zhì)就是解這個直角三角形的問題.
幻燈展示例題:如圖,圓錐形的煙囪帽的底面直徑是80cm,母線長50cm,(1)計(jì)算這個展開圖的圓心角及面積;(2)畫出它的展開圖.
要計(jì)算展開圖的面積,哪位同學(xué)知道展開圖扇形的弧長是圓錐底面圓的什么?[安排中下生回答:周長.[展開圖形的半徑是圓錐的什么?[安排中下生回答:母線.]
請同學(xué)們計(jì)算這個展開圖的面積.[安排一中等生上黑板完成,其余學(xué)生在練習(xí)本上做.]
解:圓錐底面圓直徑80cm,∴底面圓周長 cm,又母線長50cm ∴展開圖扇形的半徑50cm,弧長 cm!
哪位同學(xué)到前面計(jì)算一下這個扇形的圓心角?[安排一名中下生上前,其余在練習(xí)本上做]
解: 且 , ,∴ (度)。
同學(xué)討論一下這個扇形怎樣畫?[安排一中上學(xué)生回答:首先畫一個半徑為50cm的圓⊙S.然后用量角器作出72°的圓心角,則 為弧的扇形,r就是所要畫的展開圖.]
幻燈展開例題:圖中所示是一圓錐形的零件經(jīng)過軸的剖面,它的腰長等于圓錐的母線長,底邊長等于圓錐底面的直徑,按圖中標(biāo)明的尺寸(單位mm),求:
(1)圓錐形零件的母線長l;
(2)錐角(即等腰三角形的頂角) ;
(3)零件的表面積.
圖中給出等腰三角形的哪些尺寸?[安排中下生回答:高40,底邊長34]哪位同學(xué)會計(jì)算圓錐形零件的母線長l?[安排一中等生上黑板,其余同學(xué)練習(xí)本上做][答案: mm]錐角 打算如何求?[安排一中等生回答:解Rt 求出 , 的對邊DB,鄰邊SD已知∴選 的正切.]請同學(xué)們求出 .[安排一中等生上黑板,其余在練習(xí)本上做],[答案: ]
零件的表面積等于什么?[安排中下生回答:圓錐的側(cè)面積加上底面圓面積.]計(jì)算圓錐側(cè)面積所需條件已具備了嗎?計(jì)算底面圓面積所需條件呢?[安排中下生回答, ]
請同學(xué)們把表面積求出來.[ ]
(四)總結(jié)、擴(kuò)展
請同學(xué)們回顧一下,本堂課我們學(xué)了些什么知識?[可安排中下生相互補(bǔ)充完整:1.圓錐的特征;2.圓錐的形成及有關(guān)概念;3.圓錐的展示圖;4.圓錐的軸截面。]
布置作業(yè)
教材P.191:練習(xí)1、2;P.193中5、6、7、8。
板書設(shè)計(jì)
數(shù)學(xué)教案-圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖
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