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反比例函數(shù)及其圖象

時間:2023-05-02 02:29:10 初中數(shù)學(xué)教案 我要投稿
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反比例函數(shù)及其圖象

教學(xué)設(shè)計示例1

反比例函數(shù)及其圖象

教學(xué)目標 :

1、理解反比例函數(shù),并能從實際問題中抽象出反比例關(guān)系的函數(shù)解析式;

2、會畫出反比例函數(shù)的圖象,并結(jié)合圖象分析總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì);

3、滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想及普遍聯(lián)系的辨證唯物主義思想;

4、體會數(shù)學(xué)從實踐中來又到實際中去的研究、應(yīng)用過程;

5、培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力,及數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題,解決問題的能力.

教學(xué)重點:

結(jié)合圖象分析總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì);

教學(xué)難點 :描點畫出反比例函數(shù)的圖象

教學(xué)用具:直尺

教學(xué)方法:小組合作、探究式

教學(xué)過程 :

1、從實際引出反比例函數(shù)的概念

我們在小學(xué)學(xué)過反比例關(guān)系.例如:當路程S一定時,時間t與速度v成反比例

即vt=S(S是常數(shù));

當矩形面積S一定時,長a與寬b成反比例,即ab=S(S是常數(shù))

從函數(shù)的觀點看,在運動變化的過程中,有兩個變量可以分別看成自變量與函數(shù),寫成:

(S是常數(shù))

(S是常數(shù))

一般地,函數(shù) (k是常數(shù), )叫做反比例函數(shù).

如上例,當路程S是常數(shù)時,時間t就是v的反比例函數(shù).當矩形面積S是常數(shù)時,長a是寬b的反比例函數(shù).

在現(xiàn)實生活中,也有許多反比例關(guān)系的例子.可以組織學(xué)生進行討論.下面的例子僅供

2、列表、描點畫出反比例函數(shù)的圖象

例1、畫出反比例函數(shù) 與 的圖象

解:列表

x

-6

-5

-4

-3

1

2

3

4

5

6

-1

-1.2

-1.5

-2

6

3

2

1.5

1.2

1

1

1.2

1.5

2

-6

-3

-2

-1.5

-1.2

1

說明:由于學(xué)生第一次接觸反比例函數(shù),無法推測出它的大致圖象.取點的時候最好多取幾個,正負可以對稱著取分別畫點描圖

一般地反比例函數(shù) (k是常數(shù), )的圖象由兩條曲線組成,叫做雙曲線.

3、觀察圖象,歸納、總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)

前面學(xué)習(xí)了三類基本的初等函數(shù),有了一定的基礎(chǔ),這里可視學(xué)生的程度或展開全面的討論,或在老師的引導(dǎo)下完成知識的學(xué)習(xí).

顯示這兩個函數(shù)的圖象,提出問題:你能從圖象上發(fā)現(xiàn)什么有關(guān)反比例函數(shù)的性質(zhì)呢?并能從解析式或列表中得到論證.(下列答案僅供參考)

(1) 的圖象在第一、三象限.可以擴展到k >0時的情形,即k>0時,雙曲線兩支各在第一和第三象限.從解析式中,也可以得出這個結(jié)論:xy=k,即x與y同號,因此,圖象在第一、三象限.

的討論與此類似.

抓住機會,說明數(shù)與形的統(tǒng)一,也滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.體現(xiàn)了由特殊到一般的研究過程.

(2)函數(shù) 的圖象,在每一個象限內(nèi),y隨x的增大而減。

從圖象中可以看出,當x從左向右變化時,圖象呈下坡趨勢.從列表中也可以看出這樣的變化趨勢.有理數(shù)除法說明了同樣的道理,被除數(shù)一定時,若除數(shù)大于零,除數(shù)越大,商越小;若除數(shù)小于零,同樣是除數(shù)越大,商越小.由此可歸納出,當k>0時,函數(shù) 的圖象,在每一個象限內(nèi),y隨x的增大而減小.

同樣可以推出 的圖象的性質(zhì).

(3)函數(shù) 的圖象不經(jīng)過原點,且不與x軸、y軸交.從解析式中也可以看出, .如果x取值越來越大時,y的值越來越小,趨近于零;如果x取負值且越來越小時,y的值也越來越趨近于零.因此,呈現(xiàn)的是雙曲線的樣子.同理,抽象出 圖象的性質(zhì).

函數(shù) 的圖象性質(zhì)的討論與次類似.

4、小結(jié):

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的概念及其圖象的性質(zhì).大家展開了充分的討論,對函數(shù)的概念,函數(shù)的圖象的性質(zhì)有了進一步的認識.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求我們要深刻地理解,找出事物間的普遍聯(lián)系和發(fā)展規(guī)律,能數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題,并能運用已有的數(shù)學(xué)知識,給以一定的解釋.即數(shù)學(xué)是世界的一個部分,同時又隱藏在世界中.

5、布置作業(yè)       習(xí)題13.8   1-4

教學(xué)設(shè)計示例2

反比例函數(shù)及其圖像

一、素質(zhì)教育目標

(一)知識教學(xué)點

1.使學(xué)生了解反比例函數(shù)的概念;

2.使學(xué)生能夠根據(jù)問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式;

3.使學(xué)生理解反比例函數(shù)的性質(zhì),會畫出它們的圖像,以及根據(jù)圖像指出函數(shù)值隨自變量的增加或減小而變化的情況;

4.會用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式.

(二)能力訓(xùn)練點

1.培養(yǎng)學(xué)生的作圖、觀察、分析、總結(jié)的能力;

2.向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想方法.

(三)德育滲透點

1.向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點;

2.使學(xué)生體會事物是有規(guī)律地變化著的觀點.

(四)美育滲透點

通過反比例函數(shù)圖像的研究,滲透反映其性質(zhì)的圖像的直觀形象美,激發(fā)學(xué)生的興趣,也培養(yǎng)學(xué)生積極探求知識的能力.

二、學(xué)法引導(dǎo)

教師采用類比法、觀察法、練習(xí)法

學(xué)生學(xué)習(xí)反比例函數(shù)要與學(xué)習(xí)其他函數(shù)一樣,要善于數(shù)形結(jié)合,由解析式聯(lián)想到圖像的位置及其性質(zhì),由圖像和性質(zhì)聯(lián)想比例系數(shù)k的符號.

三、重點·難點·疑點及解決辦法

1.教學(xué)重點:反比例的概念、圖像、性質(zhì)以及用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式.因為要研究反比例函數(shù)就必須明確反比例函數(shù)的上述問題.

2.教學(xué)難點 :畫反比例函數(shù)的圖像.因為反比例函數(shù)的圖像有兩個分支,而且這兩個分支的變化趨勢又不同,學(xué)生初次接觸,一定會感到困難.

3.教學(xué)疑點:(1)反比例函數(shù)為何與x軸,y軸無交點;(2)反比例函數(shù)的圖像只能說在第一、三象限或第二、四象限,而不能說經(jīng)過第幾象限,增減性也要說明在第幾象限(或說在它的每一個象限內(nèi)).

4.解決辦法:(1) 中隱含條件是 或 ;(2)雙曲線的兩個分支是斷開的,研究函數(shù)的增減性時,要將兩個分支分別討論,不能一概而論.

四、教學(xué)步驟 

(一)教學(xué)過程 

提問:小學(xué)是否學(xué)過反比例關(guān)系?是如何敘述的?

由學(xué)生先考慮及討論一下.

答:小學(xué)學(xué)過:兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定,這兩種量就叫做反比例的量,它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系.

看下面的實例:(出示幻燈)

1. 當路程s一定時,時間t與速度v成反比例;

2.當矩形面積S一定時,長a與寬b成反比例;

它們分別可以寫成 (s是常數(shù)), (S是常數(shù))寫在黑板上,用以得出反比例函數(shù)的概念:(板書)

一般地,函數(shù) (k是常數(shù), )叫做反比例函數(shù).

即在上面的例子中,當路程s是常數(shù)時,時間t就是速度v的反比例函數(shù),能否說:速度v是時間t的反比例函數(shù)呢?

通過這個問題,使學(xué)生進一步理解反比例函數(shù)的概念,只要滿足 (k是常數(shù), )就可以.因此可以說速度v是時間t的反比例函數(shù),因為 (s是常量).對第2個實例也一樣.

練習(xí)一:教材P129中1  口答.P130  1

根據(jù)前面學(xué)習(xí)特殊函數(shù)的經(jīng)驗,研究完函數(shù)的概念,跟著要研究的是什么?

答:圖像和性質(zhì).

通過這個問題,使學(xué)生對課本上給出的知識的發(fā)生、發(fā)展過程有一個明確的認識,以后

學(xué)生要研究其他函數(shù),也可以按照這種方式來研究.

下面,我們就來看桓隼?猓海ǔ鍪凈玫疲?/P>

例1  畫出反比例函數(shù) 與 的圖像.

提問:1.畫函數(shù)圖像的關(guān)鍵問題是什么?

答:合理、正確地選值列表.

2.在選值時,你認為要注意什么問題?

答:(1)由于函數(shù)圖像的特點還不清楚,多選幾個點較好;

(2)不能選 ,因為 時函數(shù)無意義;

(3)選整數(shù)較好計算和描點.

這個問題中最核心的一點是關(guān)于 的問題,提醒學(xué)生注意.

3.你能不能自己完成這道題呢?

學(xué)生在練習(xí)本上列表、描點、連線,教師在黑板上板演,到連線時可暫停,讓學(xué)生先連完線之后,找一名同學(xué)上黑板連線,然后就這名同學(xué)的連線加以評價、總結(jié):

注意:(1)一般地,反比例函數(shù) 的圖像由兩條曲線組成,叫做雙曲線;

(2)這兩條曲線不相交;

(3)這兩條曲線無限延伸,無限靠近x軸和y軸,但永不會與x軸和y軸相交.

關(guān)于注意(3)可問學(xué)生:為什么圖像與x和y軸不相交?

通過這個問題既可加深學(xué)生對反比例函數(shù)圖像的記憶,又可培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性.

再讓學(xué)生觀察黑板上的圖,提問:

1.當 時,雙曲線的兩個分支各在哪個象限?在每個象限內(nèi),y隨x的增大怎樣變化?

2.當 時,雙曲線的兩個分支各在哪個象限?在每個象限內(nèi),y隨x的增大怎樣變化?

這兩個問題由學(xué)生討論總結(jié)之后回答,教師板書:

對于雙曲線(1)當 :(1)當 時,雙曲線的兩分支位于一、三象限,y隨x的增大而減少;(2)當 時,雙曲線的兩分支位于二、四象限,y隨x的增大而增大.

3.反比例函數(shù)的這一性質(zhì)與正比例函數(shù)的性質(zhì)有何異同?

通過這個問題使學(xué)生能把學(xué)過的相關(guān)知識有機地串聯(lián)起來,便于記憶和應(yīng)用.

練習(xí)二:教材P129中2由學(xué)生在練習(xí)本上完成,教師巡回指導(dǎo).P130中2、3填在書上

上面,我們討論了反比例函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì),下面我們再來看一個不同類型的例題:(出示幻燈)

例2已知y與 成反比例,并且當 時, ,求 時,y的值.

用提問的方式對此題加以分析:

(1)y與 成反比例是什么含義?

由學(xué)生討論這一問題,最后歸結(jié)為根據(jù)反比例函數(shù)的概念,這句話說明了: .

(2)根據(jù)這個式子,能否求出當 時,y的值?

(3)要想求出y的值,必須先知道哪個量呢?

(4)怎樣才能確定k的值?用什么條件?

答:用待定系數(shù)法,把 時 代入 ,求出k的值.

(5)你能否自己完成這道例題:

由一名同學(xué)板演,其他同學(xué)在練習(xí)本上完成.

例3   已知: , 與x成正比例, 與x成反比例,當 時, 時, ,求y與x的解析式.

分析:一定要先寫出y與x的函數(shù)表達式 ,

要用x分別把 , 表示出來得 ,

要注意 不能寫成k,∴

解:設(shè) ,

.

由題意得

∴ .

(二)總結(jié)、擴展

教師提問,學(xué)生思考回答:

1.什么是反比例函數(shù)?

2.反比例函數(shù)的圖像是什么樣的?

3.反比例函數(shù) 的性質(zhì)是什么?

4.命題方向及題型設(shè)置,反比例函數(shù)也是中考命題的主要考點,其圖像和性質(zhì),以及其函數(shù)解析式的確定,常以填空題、選擇題出現(xiàn),在低檔題中,近兩年各省、市的中考試卷中出現(xiàn)不少將反比例函數(shù)與一次函數(shù)、幾何知識、三角知識等綜合編擬的解答題,豐富了壓軸題的形式和內(nèi)容.

五、布置作業(yè) 

1.教材P130中4,5,6

2.選做:P130中B1,2

六、板書設(shè)計 

13.8反比例函數(shù)及其圖像

引例:(1)例1: 例2: 例3:

(2)

1.反比例函數(shù):

2.反比例函數(shù)的性質(zhì) 探究活動

已知:如圖,一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限,且與反比例函數(shù)的圖像交于A、B兩點,與y軸交于點C,與x軸交于點D。 。

(1)求反比例函數(shù)的解析式;

(2)設(shè)點A的橫坐標為m, 的面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量m的取值范圍;

(3)當 的面積等于 時,試判斷過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長能否等于3。如果能,求此時拋物線的解析式;如果不能,請說明理由。

解:(1)過點B作 軸于點H。

在Rt 中,

由勾股定理,得

又 ,

∴  點B(-3,-1)。

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為

。

∵  點B在反比例函數(shù)的圖像上,

。

∴  反比例函數(shù)的解析式為 。

(2)設(shè)直線AB的解析式為 。

由點A在第一象限,得 。

又由點A在函數(shù) 的圖像上,可求得點A的縱坐標為 。

∵  點B(-3,-1),點 ,

∴    解關(guān)于 、 的方程組,得

∴  直線AB的解析式為 。

令  。

求得點D的橫坐標為 。

過點A作 軸于點G

由已知,直線經(jīng)過第一、二、三象限,

∴  ,即 。

由此得 

∴  。

即  。

(3)過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長不能等于3。

證明如下:

。

由 ,

得 

解得 。

經(jīng)檢驗, 都是這個方程的根。

∴  不合題意,舍去。

∴  點A(1,3)。

設(shè)過A(1,3)、B(-3,-1)兩點的拋物線的解析式為 。

∴    由此得

即  。

設(shè)拋物線與x軸兩交點的橫坐標為 。

則 

令 

則  。

即  。

整理,得  。

∴  方程 無實數(shù)根。

因此過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長不能等于3。

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