圓柱和圓錐的側面展開圖

第一課時

素質(zhì)教育目標

（一）知識教學點

1．使學生了解圓柱的特征，了解圓柱的側面、底面、高、軸、母線、過軸的截面等概念，了解圓柱的側面展開圖是矩形．

2．使學生會計算圓柱的側面積或全面積．

（二）能力訓練點

1．通過圓柱形成過程的教學，培養(yǎng)學生觀察能力、抽象思維能力和概括能力；

2．通過圓柱側面積的計算，培養(yǎng)學生正確、迅速的運算能力；

3．通過實際問題的教學，培養(yǎng)學生空間想象能力，從實際問題中抽象出數(shù)學模型的能

力．

（三）德育滲透點

1．通過圓柱的實物觀察及有關概念的歸納向學生滲透“真知產(chǎn)生于實踐”的觀點；

2．通過應用圓柱展開圖進行計算，解決實際問題，向學生滲透理論聯(lián)系實際的觀點；

3．通過圓柱側面展開圖的教學，向學生滲透化曲面為平面，化立體圖形為平面圖形的“轉化”的觀點；

4．通過圓柱軸截面的教學，向學生滲透“抓主要矛盾、抓本質(zhì)”的矛盾論的觀點．

（四）美育滲透點

通過學習新知，使學生領略主體圖形美與平面圖形美的聯(lián)系，提高學生對美的認識層次．

重點·難點·疑點及解決辦法

1．重點：（1）圓柱的形成手段和圓柱的軸、母線、高等概念及其特征；

（2）會用展開圖的面積公式計算圓柱的側面積和全面積．

2．難點：對側面積計算的理解．

3．疑點及解決方法：學生對圓柱側面展開圖的長為什么是底面圓的周長有疑慮，為此教學時用模型展開，加強直觀性教學．

教學步驟 

（一）明確目標

在小學，大家已學過圓柱，在生活中我們也常常遇到圓柱形的物體，涉及到圓柱形物體的側面積和全面積的計算問題如何計算呢？這就是今天“7．21圓柱的側面展開圖”要研究的內(nèi)容。

（二）整體感知

圓柱是生產(chǎn)、生活實際中常遇到的幾何體，它是怎樣形成的，如何計算它的表面積？為了回答上述問題，首先在小學已具有直觀感知的基礎上，用矩形旋轉、運動的觀點給出圓柱體有關的一系列概念，然后利用圓柱的模型將它的側面展開，使學生認識到圓柱的側面展開圖是一個矩形，并能將這矩形的長與寬跟圓柱的高（或母線）、底面圓半徑找到相互轉化的對應關系．最后應用對應關系和面積公式進行計算．

〔三〕教學過程 

（幻燈展示生活中常遇的圓柱形物體，如：油桶、鉛筆、圓形柱子等），前面展示的物體都是圓柱．在小學，大家已學過圓柱，哪位同學能說出圓柱有哪些特征？（安排舉手的學生回答：圓柱的兩個底面都是圓面，這兩個圓相等，側面是曲面．）

（教師演示模型并講解）：大家觀察矩形ABCD，繞直線AB旋轉一周得到的圖形是什么？（安排中下生回答：圓柱）．大家再觀察，圓柱的上、下底是由矩形的哪些線段旋轉而成的？（安排中下生回答：上底是以A為圓心，AD旋轉而成的，下底是以B為圓心，BC旋轉而成的．）上、下底面圓為什么相等？（安排中下生回答：因矩形對邊相等，所以上、下底半徑相等，所以上、下底面圓相等．）大家再觀察，圓柱的側面是矩形ABCD的哪條線段旋轉而成的？（安排中下生回答：側面由DC旋轉而成的．）

矩形ABCD繞直線AB旋轉一周，直線用叫做圓柱的軸，CD叫做圓柱的母線．圓柱側面上平行于軸的線段都叫做圓柱的母線．矩形的另一組對邊AD、BC是上、下底面的半徑。

圓柱一個底面上任意一點到另一底面的垂線段叫做圓柱的高，哪位同學發(fā)現(xiàn)圓柱的母線與高有什么數(shù)量關系？（安排中下生回答：相等．）哪位同學發(fā)現(xiàn)圓柱上、下底面圓有什么位置關系？（安排中下生回答：平行）A、B是兩底面的圓心，直線AB是軸．哪位同學能敘述圓柱的軸的這一條性質(zhì)？（安排中等生回答：圓柱的軸通過上、下底面的圓心）哪位同學能按軸、母線、底面的順序歸納有關圓柱的性質(zhì)？（安排中上學生回答：圓柱的軸通過上、下底面的圓心，且垂直于上、下底，圓柱的母線平行于軸且長都相等，等于圓柱的高，圓柱的底面圓平行且相等．）

（教師邊演示模型，邊啟發(fā)提問）：現(xiàn)在我把圓柱的側面沿它的一條母線剪開，展在一個平面上，觀察這個側面展開圖是什么圖形？（安排中下生回答，短形）這個圓柱展開圖——矩形的兩邊分別是圓柱中的什么線段？（安排中下生回答：一邊是圓柱的母線，一邊是圓柱底面圓的周長）．大家想想矩形面積公式是什么？哪位同學能歸納圓柱的面積公式？（安排中下生回答：底面圓周長×圓柱母線）大家知道圓柱的母線與高相等，所以圓柱的面積公式還可怎樣表示？（安排中下生回答：）

幻燈展示［例1］  如圖，把一個圓柱形木塊沿它的軸剖開，得矩形ABCD．已知 ，求這個圓柱形木塊的表面積（精確到 ）．

矩形的AD邊是圓柱底面圓的什么？（安排中下生回答：直徑．）題目中的哪句話暗示了AD是直徑？（安排中上生回答：第一句，“把一個圓柱形木塊沿它的軸剖開，得矩形ABCD”．因圓柱軸過底面圓的圓心，矩形過軸則意味AD過底面圓圓心，所以AD是圓柱底面圓直徑．） cm是告訴了圓柱的什么線段等于30cm？（安排中下生回答：圓柱的高等于30cm）什么是圓柱的表面積？哪位同學知道？（安排中上生回答：圓柱側面積與兩底面圓面積的和．）同學們請完成這道應用題．（安排一中上生上黑板做題，其余在練習本做）

解：AD是圓柱底面的直徑，AB是圓柱母線，設圓柱的表面積為S，則

答：這個圓柱形木塊的表面積約為 ．

幻燈展示［例2］ 用一張面積為 的正方形硬紙片圍成一個圓柱的側面，求這個圓柱的底面直徑（精確到0.1cm）．

請同學們?nèi)文靡徽�方形紙片圍圍看．哪位同學發(fā)現(xiàn)正方形相鄰兩邊，一邊是圓柱的什么線段，另一邊是圓柱底面圓的什么？（安排中下生回答：一邊是母線，另一邊是底面圓周長．）

此題要求的是底面圓直徑，所以只要求出正方形的什么即可？（安排中下生回答：邊長．）邊長可求嗎：（安排中下生回答：可求，因為已知中給了正方形的面積．）

請同學們完成此題．（安排一中等生上黑板完成，其余在練習本上完成）

解：設正方形邊長為x，圓柱底面直徑為d．

則 ，依題意 （cm）

答：這個圓柱的底面的直徑約為9.6cm．

（四）總結、擴展

本節(jié)課學習了圓柱的形成、圓柱的概念、圓柱的性質(zhì)、圓柱的側面展開圖及其面積計算．

然后按總結順序；依次提問學生，此過程應重點提問中下生．

布置作業(yè) 

教材P．187練習1、2；P．192中2、3、4。

九、板書設計 

第二課時

素質(zhì)教育目標

（一）知識教育點

1．使學生了解圓錐的特征，了解圓錐的側面、底面、高、軸、母線、過軸的截面等概念，了解圓錐的側面展開圖是扇形。

2．使學生會計算圓錐的側面積或全面積。

（二）能力訓練點

1．通過圓錐的形成過程的教學，培養(yǎng)學生觀察能力、抽象思維能力和概括能力；

2．通過圓錐的面積計算，培養(yǎng)學生正確迅速的運算能力；

3．通過實際問題的教學，培養(yǎng)學生空間想象能力，從實際問題中抽象出數(shù)學模型的能

力．

（三）德育滲透點

1．通過圓錐的實物觀察及有關概念的歸納向學生滲透“實踐出真知”的觀念；

2．通過應用圓錐展示圖的計算解決實際問題，向學生滲透理論聯(lián)系實際的觀點；

3．通過圓錐側面展示圖的教學，向學生滲透化曲面為平面，化立體圖形為平面圖形的“轉化”的觀點；

4．通過圓錐軸截面的教學，向學生滲透“抓主要矛盾，抓本質(zhì)”的矛盾論的觀點．

（四）美育滲透點

通過學習新知，使學生進一步完整對幾何美的認識，提高美育層次．

重點·難點·疑點及解決辦法

1．重點：（1）圓錐的形成過程和圓錐的軸、母線、高等概念及其性質(zhì)；

（2）會進行圓錐側面展開圖的計算，計算圓錐的表面積．

2．難點：準確進行圓錐有關數(shù)據(jù)與展開圖有關數(shù)據(jù)的轉化．

3．疑點及解決方法：由于學生空間想象能力較弱，對圓錐的側面展開圖是扇形，用扇形一定可以圍成一個圓錐的側面有疑惑，為此安排學生課前或課上或課下自己動手剪剪看或圍圍看，通過實踐解決疑點．

教學步驟 

（一）明確目標

在小學，同學們除了學習圓柱之外還學習了一個幾何體——圓錐，在生活中我們也常常遇到圓錐形的物體，涉及到這些物體表面積的計算．這些圓錐形物體的表面積是怎樣計算出來的？這就是本節(jié)課“7．21圓錐的側面展開圖”所要研究的內(nèi)容．

（二）整體感如

和圓柱一樣，圓錐也是日常生活或實踐活動中常見物體，在學生學過圓柱的有關計算后，進一步學習圓錐的有關計算，不僅對培養(yǎng)學生的空間觀念有好處，而且能使學生體會到用平面幾何知識可以解決立體圖形的計算，為學習立體幾何打基礎．

圓錐的側面展開圖不僅用于圓錐表面積的計算，而且在生產(chǎn)中常用于畫圖下料上，因此圓錐側面展開圖是本課的重點．

本課首先在小學已具有圓錐直觀感知的基礎上，用直角三角形旋轉運動的觀點給出圓錐的一系列概念，然后利用圓錐的模型，把其側面展開，使學生認識到圓錐的側面展開圖是一個扇形，并能將圓錐的有關元素與展開圖扇形的有關元素進行相互間的轉化，最后應用圓錐及其側面展開圖之間對應關系進行計算．

（三）教學過程 

［幻燈展示生活中常遇的圓錐形物體，如：鉛錘、糧堆、煙囪帽］前面屏幕上展示的物體都是什么幾何體？［安排回憶起的學生回答：圓錐］在小學我們已學過圓錐，哪位同學能說出圓錐有哪些特征？安排舉手的學生回答：圓錐是由一個底面和一個側面圍成的，圓錐的底面是一個圓，側面是一個曲面，從圓錐的頂點到底面圓的距離是圓錐的高。

［教師邊演示模型，邊講解］：大家觀察Rt ，繞直線SO旋轉一周得到的圖形是什么？［安排中下生回答：圓錐．］大家觀察圓錐的底面，它是Rt 的哪條邊旋轉而成的？［安排中下生回答：OA］圓錐的側面是Rt 的什么邊旋轉而得的？［安排中下生回答，斜邊］，因圓錐是Rt 繞直線SO旋轉一周得到的，與圓柱相類似，直線SO應叫做圓錐的什么？［安排中下生回答：軸．］大家觀察圓錐的軸SO應具有什么性質(zhì)？［安排學生稍加討論，舉手發(fā)言：圓錐的軸過底面圓的圓心，且與底面圓垂直，軸上連接圓錐頂點與底面圓心的線段就是圓錐的高．］圓錐的側面是Rt 的斜邊繞直線SO旋轉一周得到的，同圓柱相類似，斜邊SA應叫做圓錐的什么？［安排中下生回答：母線．］給一圓錐，如何找到它的母線？［安排中上生回答：連結圓錐頂點與底面圓任意一點的線段都是母線．］圓錐的母線應具有什么性質(zhì)？［安排中下生回答：圓錐的母線長都相等．］

［教師邊演示模型，邊啟發(fā)提問］：現(xiàn)在我把這圓錐的側面沿它的一條母線剪開，展在一個平面上，哪位同學發(fā)現(xiàn)這個展開圖是什么圖形？［安排中下生回答：扇形．］請同學們仔細觀察：并回答：1．圓錐展示圖——扇形的弧長l等于圓錐底面圓的什么？扇形的半徑其實是圓錐的什么線段？［安排中下生回答：扇形的弧長是底面圓的周長，即 ，扇形的半徑。就是圓錐的母線］由于 ，圓錐半徑已知則展開圖扇形的弧長已知，圓錐母線已知則展開圖扇形的半徑已知，因此展開圖扇形的面積可求，而這個扇形的面積實質(zhì)就是圓錐的側面積，因此圓錐的側面積也就可求．當然展開圖扇形的圓心角也可求．

［教師邊演示模型，邊啟發(fā)提問］：如圖，現(xiàn)在將圓錐沿著它的軸剖開，哪位同學回答，經(jīng)過軸的剖面是一個什么圖形？［安排中下生回答：等腰三角形．］這個等腰三角形的腰與底分別是圓錐的什么？［安排中下生回答：腰是圓錐的母線，底是圓錐的直徑．這個等腰三角形的高也就是圓錐的什么？［安排中下生回答：高］．這個經(jīng)過軸的剖面，我們稱之謂“軸截面”，在軸截面里包含了有關圓錐的所有元素：軸、高、母線，底面圓半徑．這個等腰三角形的頂角，我們稱之謂“錐角”，大家不難發(fā)現(xiàn)圓錐的母線、高、底面圓半徑及 錐角構成了一個直角三角形，它給定旋轉一周得圓錐的那個直角三角形，當然給定半徑、母線；圓錐側面展開圖——扇形的面積、圓心角可求、因此可以說有關圓錐的計算問題，其實質(zhì)就是解這個直角三角形的問題．

幻燈展示例題：如圖，圓錐形的煙囪帽的底面直徑是80cm，母線長50cm，（1）計算這個展開圖的圓心角及面積；（2）畫出它的展開圖．

要計算展開圖的面積，哪位同學知道展開圖扇形的弧長是圓錐底面圓的什么？［安排中下生回答：周長．［展開圖形的半徑是圓錐的什么？［安排中下生回答：母線．］

請同學們計算這個展開圖的面積．［安排一中等生上黑板完成，其余學生在練習本上做．］

解：圓錐底面圓直徑80cm，∴底面圓周長 cm，又母線長50cm  ∴展開圖扇形的半徑50cm，弧長 cm。∴ 

哪位同學到前面計算一下這個扇形的圓心角？［安排一名中下生上前，其余在練習本上做］

解： 且 ， ，∴  （度）。

同學討論一下這個扇形怎樣畫？［安排一中上學生回答：首先畫一個半徑為50cm的圓⊙S．然后用量角器作出72°的圓心角，則 為弧的扇形，r就是所要畫的展開圖．］

幻燈展開例題：圖中所示是一圓錐形的零件經(jīng)過軸的剖面，它的腰長等于圓錐的母線長，底邊長等于圓錐底面的直徑，按圖中標明的尺寸（單位mm），求：

（1）圓錐形零件的母線長l；

（2）錐角（即等腰三角形的頂角） ；

（3）零件的表面積．

圖中給出等腰三角形的哪些尺寸？［安排中下生回答：高40，底邊長34］哪位同學會計算圓錐形零件的母線長l？［安排一中等生上黑板，其余同學練習本上做］［答案： mm］錐角 打算如何求？［安排一中等生回答：解Rt 求出 ， 的對邊DB，鄰邊SD已知∴選 的正切．］請同學們求出 ．［安排一中等生上黑板，其余在練習本上做］，［答案： ］

零件的表面積等于什么？［安排中下生回答：圓錐的側面積加上底面圓面積．］計算圓錐側面積所需條件已具備了嗎？計算底面圓面積所需條件呢？［安排中下生回答， ］

請同學們把表面積求出來．［ ］

（四）總結、擴展

請同學們回顧一下，本堂課我們學了些什么知識？［可安排中下生相互補充完整：1．圓錐的特征；2．圓錐的形成及有關概念；3．圓錐的展示圖；4．圓錐的軸截面。］

布置作業(yè) 

教材P．191：練習1、2；P．193中5、6、7、8。

板書設計 

圓柱和圓錐的側面展開圖