數(shù)學(xué)教案－分組分解法

教學(xué)目標(biāo) 

1.使學(xué)生掌握分組后能運(yùn)用提公因式和公式法把多項(xiàng)式分解因式；

2.通過因式分解的綜合題的教學(xué)，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：在分組分解法中，提公因式法和分式法的綜合運(yùn)用.

難點(diǎn)：靈活運(yùn)用已學(xué)過的因式分解的各種方法.

教學(xué)過程 設(shè)計(jì)

一、復(fù)習(xí)

把下列各式分解因式，并說明運(yùn)用了分組分解法中的什么方法.

(1)a2－ab+3b－3a； (2)x2－6xy+9y2－1；

(3)am－an－m2+n2； (4)2ab－a2－b2+c2.

解 (1) a2－ab+3b－3a

=(a2－ab)－(3a－3b)

=a(a－b)－3(a－b)

=(a－b)(a－3);

(2)x2－6xy+9y2－1

=(x－3y) 2－1

=(x－3y+1)(x－3y－1);

(3)am－an－m2+n2

=(am－an)－(m2－n2)

=a(m－n)－(m+n)(m－n)

=(m－n)(a－m－n);

(4)2ab－a2－b2+c2

=c2－(a2+b2－2ab)

=c2－(a－b) 2

=(c+a－b)(c－a+b).

第(1)題分組后，兩組各提取公因式，兩組之間繼續(xù)提取公因式.

第(2)題把前三項(xiàng)分為一組，利用完全平方公式分解因式，再與第四項(xiàng)運(yùn)用平方差公式

繼續(xù)分解因式.

第(3)題把前兩項(xiàng)分為一組，提取公因式，后兩項(xiàng)分為一組，用平方差公式分解因式，然后兩組之間再提取公因式.

第(4)題把第一、二、三項(xiàng)分為一組，提出一個(gè)“－”號(hào)，利用完全平方公式分解因式

，第四項(xiàng)與這一組再運(yùn)用平方差公式分解因式.

把含有四項(xiàng)的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，先根據(jù)所給的多項(xiàng)式的特點(diǎn)恰當(dāng)分解，再運(yùn)

用提公因式或分式法進(jìn)行因式分解.在添括號(hào)時(shí)，要注意符號(hào)的變化.

這節(jié)課我們就來討論應(yīng)用所學(xué)過的各種因式分解的方法把一個(gè)多項(xiàng)式分解因式.

二、新課

例1 把 分解因式.

問：根據(jù)這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)怎樣分組才能達(dá)到因式分解的目的?

答：這個(gè)多項(xiàng)式共有四項(xiàng)，可以把其中的兩項(xiàng)分為一組，所以有兩種分解因式的方法.

解 方法一

方法二

；

例2 把分解因式.

問：觀察這個(gè)多項(xiàng)式有什么特點(diǎn)?是否可以直接運(yùn)用分組法進(jìn)行因式分解?

答：這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都有公式因ab，可以先提取這個(gè)公因式，再設(shè)法運(yùn)用分組法繼續(xù)分解因式.

解：

=

=

=

=

例3 把45m2－20ax2+20axy－5ay2分解因式.

分析：這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式5a，先提取公因式，再觀察余下的因式，可以按：一、三”分組原則進(jìn)行分組，然后運(yùn)用公式法分解因式.

解 45m2－20ax2+20axy－5ay2=5a(9m2－4x2+4xy－y2)

=5a[9m2－(4x2－4xy+y2)]

=5a[(3m2)－(2x－y) 2]

=5a(3m+2x－y)(3m－2x+y).

例4 把2(a2－3mn)+a(4m－3n)分解因式.

分析：如果去掉多項(xiàng)式的括號(hào)，再恰當(dāng)分組，就可用分組分解法分解因式了.

解 2(a2－3mn)+a(4m－3n)=2a2－6mn+4am－3an

=(2a2－3an)+(4am－6mn)

=a(2a－3n)+2m(2a－3n)

=(2a－3n)(a+2m).

指出：如果給出的多項(xiàng)式中有因式乘積，這時(shí)可先進(jìn)行乘法運(yùn)算，把變形后的多項(xiàng)式按照分組原則，用分組分解法分解因式.

三、課堂練習(xí)

把下列各式分解因式：

(1)a2+2ab+b2－ac－bc； (2)a2－2ab+b2－m2－2mn－n2；

(3)4a2+4a－4a2b+b+1； (4)ax2+16ay2－a－8axy；

(5)a(a2－a－1)+1； (6)ab(m2+n2)+mn(a2+b2)；

答案：

(1)(a+b)(a+b－c)； (2)(a－b+m+m)(a－b－m－n)；

(3)(2a+1)(2a+1－2ab+b)； (4)a(x－4y+1)(x－4y－1)；

(5)(a－1) 2 (a+1)；  (6)(bm+an)(am+bn).

四、小結(jié)

1.把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解時(shí)，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，就先提出公因式，把原多項(xiàng)式變?yōu)檫@個(gè)公因式與另一個(gè)因式積的形式.如果另一個(gè)因式是四項(xiàng)(或四項(xiàng)以上)的多項(xiàng)式，再考慮用分組分解法因式分解.

2.如果已知多項(xiàng)式中含有因式乘積的項(xiàng)與其他項(xiàng)之和(或差)時(shí)(如例3)，先去掉括號(hào)，把多項(xiàng)式變形后，再重新分組.

五、作業(yè) 

1.把下列各式分解因式：

(1)x3y－xy3； (2)a4b－ab4；

(3)4x2－y2+2x－y； (4)a4+a3+a+1；

(5)x4y+2x3y2－x2y-2xy2； (6)x3－8y3－x2－2xy－4y2；

(7)x2+x－(y2+y)； (8)ab(x2－y2)+xy(a2－b2).

2.已知x－2y=－2b=－4098，求2bx2－8bxy+8by2－8b的值.

答案：

1.(1)xy(x+y)(x－y)； (2)ab(a－b)(a2+ab+b2)；

  (3)(2x－y)(2x+y+1)； (4)(a+1) 2 (a2－a+1)；

(5)xy(x+2y)(x+1)(x－1)； (6)(x2+2xy+4y2)(x－2y－1)；

(7)(x－y)(x+y+1)； (8)(ax－by)(bx+ay).

2.原式=2b(x－2y+2)(x－2y－2)當(dāng)x－2y=－2，b=－4098時(shí)，原式的值=0.

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

1.突出“通法”的作用.

對于含四項(xiàng)的多項(xiàng)式，可以根據(jù)所給的多項(xiàng)式的特點(diǎn)，常采取“二、二”分組或“一、三”分組的方法進(jìn)行因式分解，這是運(yùn)用分組法把多項(xiàng)式分解因式的通法，是帶有規(guī)律性和程序性的解題思路，學(xué)生應(yīng)切實(shí)掌握.安排例1的目的是：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分組的通法把一個(gè)含有六項(xiàng)的多項(xiàng)式分解因式，促使學(xué)生能舉一反三，觸類旁通.

2.加強(qiáng)各種方法的縱橫聯(lián)系.

把分組分解法與提公因式法和公式法之間結(jié)合為一體，進(jìn)行縱橫聯(lián)系，綜合運(yùn)用，考察學(xué)生掌握因式分解的方法和技能的狀況是這節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)的目標(biāo).通過討論例3，引導(dǎo)學(xué)生綜合應(yīng)用三種方法把多項(xiàng)式分解因式，以開發(fā)學(xué)生解題思路的變通性和靈性活，對于啟迪學(xué)生的思維和開闊學(xué)生的視野起到重要作用.

3.打通相反的思維過程.

因式分解與整式乘法是相反的變形，也是相反的思維過程，學(xué)生在學(xué)習(xí)多項(xiàng)式的因式分解時(shí)，也應(yīng)當(dāng)適當(dāng)聯(lián)系整式的乘法.安排例4，目的是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，在把多項(xiàng)式因式分解時(shí)，如果給出的多項(xiàng)式出現(xiàn)了有因式乘積的項(xiàng)，但又不能提取公因式，這時(shí)就需要進(jìn)行乘法運(yùn)算，把變形后的多項(xiàng)式重新分組，再分解因式，從而啟發(fā)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，應(yīng)善于對數(shù)學(xué)知識(shí)和方法融匯貫通習(xí)慣于正向和逆向思維.

探究活動(dòng)

系數(shù)為1的 型的二次三項(xiàng)式同學(xué)們已經(jīng)會(huì)分解因式了，那么二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式 怎么分解呢？如：

1． ；2. .

有興趣的同學(xué)可以模仿 型式子的因式分解試著把上面兩式分解因式,你能總結(jié)出規(guī)律嗎?

答案:

1. ; 2. .

規(guī)律：二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式 分解因式時(shí)，若滿足下列條件，則可將其分解為 ：

可分解為 ， 即

可分解為 ， 即

， ， ， 滿足 ，即

按斜線十字交叉相乘的積之和 若與一次項(xiàng)系數(shù) 相等，則可分解因式，

第一個(gè)因式由第一行的兩個(gè)數(shù)組成

第二個(gè)因式由第二行的兩個(gè)數(shù)組成

分解結(jié)果為：

 

數(shù)學(xué)教案－分組分解法