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二次根式的混合運(yùn)算
教學(xué)建議
知識(shí)結(jié)構(gòu)
重難點(diǎn)分析
本節(jié)課的重點(diǎn)是二次根式的加、減、乘、除、乘方、開方的混合運(yùn)算及分母有理化。它是以二次根式的概念和性質(zhì)為基礎(chǔ),同時(shí)又緊密地聯(lián)系著整式、分式的運(yùn)算,也可以說(shuō)它是運(yùn)算問(wèn)題在初中階段一次總結(jié)性,提高性綜合學(xué)習(xí);二次根式的運(yùn)算和有理化的方法與技巧,能夠進(jìn)一步開拓學(xué)生的解題思路,提高學(xué)生的解題能力。
本節(jié)課的難點(diǎn)是把分母中含有兩個(gè)二次根式的式子進(jìn)行分母有理化。分母有理化,實(shí)際上二次根式的除法與混合運(yùn)算的綜合運(yùn)用。分母有理化的過(guò)程,一般地,先確定分母的有理化因式,然后再根據(jù)分式的基本性質(zhì)把分子、分母都乘以這個(gè)有理化因式,就可使分母有理化。所以對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō),這一過(guò)程容易出現(xiàn)找錯(cuò)有理化因式和計(jì)算出錯(cuò)的問(wèn)題。
教法建議
1.在知識(shí)的引入上,可采取復(fù)習(xí)引入方式,比如復(fù)習(xí)有理數(shù)的混合運(yùn)算或整式的運(yùn)算。
2.在二次根式的加減、乘法混合運(yùn)算中,要注意由淺入深的層次安排,從單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式到乘法公式的應(yīng)用,逐漸從數(shù)過(guò)渡到帶有字母的式。
3.在有理化因式教學(xué)中,要多出幾組題目從不同角度要求學(xué)生辨別,并及時(shí)總結(jié)。
學(xué)生特點(diǎn):實(shí)驗(yàn)班的A層學(xué)生(數(shù)學(xué)實(shí)施分層教學(xué)),主動(dòng)學(xué)習(xí)積極性高,基礎(chǔ)扎實(shí),思維活躍, ,并具有一定的獨(dú)立分析問(wèn)題,探索問(wèn)題,歸納概括問(wèn)題的能力,有較好的思考、質(zhì)疑的習(xí)慣。
教材特點(diǎn):本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了二次根式的三個(gè)重要概念(最簡(jiǎn)二次根式、同類二次根式、分母有理化)和二次根式的有關(guān)運(yùn)算(二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加減法)基礎(chǔ)上,將加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算綜合在一起的混合運(yùn)算的學(xué)習(xí)。
鑒于學(xué)生的特點(diǎn)及教材的特點(diǎn),本節(jié)課主要采用“互動(dòng)式”的課堂教學(xué)模式及“談話式”的教學(xué)方法,以此實(shí)現(xiàn)生生互動(dòng)、師生互動(dòng)、學(xué)生與教材之間的互動(dòng)。具體說(shuō)明如下:
(一)在師生互動(dòng)方面,教師注重問(wèn)題設(shè)計(jì),注重引導(dǎo)、點(diǎn)撥及提高性總結(jié)。使學(xué)生學(xué)中有思、思中有獲。如本節(jié)課開始,出示書中例題1:
讓學(xué)生先進(jìn)行思考,解答。然后同學(xué)說(shuō)出怎樣進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。
強(qiáng)調(diào):運(yùn)算順序及運(yùn)算律和有理數(shù)相同。
(二)在學(xué)生與學(xué)生的互動(dòng)上,教師注重活動(dòng)設(shè)計(jì),使學(xué)生學(xué)中有樂(lè),樂(lè)中悟道。教師設(shè)計(jì)一組題目,讓學(xué)生以競(jìng)賽的形式解答,然后以記成績(jī)的方法讓其它同學(xué)說(shuō)出優(yōu)點(diǎn)(簡(jiǎn)便方法及靈活之處)與錯(cuò)誤。由于本節(jié)課主要以計(jì)算為主,對(duì)運(yùn)算法則及規(guī)律性的基礎(chǔ)知識(shí),學(xué)生很容易掌握而且從意識(shí)上認(rèn)為本節(jié)課太簡(jiǎn)單,不會(huì)很感興趣,所以為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及更好的抓好基礎(chǔ),提高學(xué)生的運(yùn)算能力,如此這般設(shè)計(jì)。
(三)在個(gè)體與群體的互動(dòng)方式上,教師注重合作設(shè)計(jì),使學(xué)生學(xué)中有辯,辯中求同。如本節(jié)課中對(duì)重點(diǎn)問(wèn)題:“分母有理化”的教學(xué),出示一個(gè)題目,讓學(xué)生思考,找個(gè)別學(xué)生說(shuō)出自己的想法,然后其它同學(xué)補(bǔ)充完成。
學(xué)生的主體意識(shí)和自主能力不是生來(lái)就有的,主要靠教師的激勵(lì)和主導(dǎo),才能達(dá)到彼此互動(dòng)。正是在這一教育思想的指導(dǎo)下,追求學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)與情感活動(dòng)的協(xié)調(diào)發(fā)展,有效地喚起學(xué)生的主體意識(shí),在和諧、愉快的情境中達(dá)到師生互動(dòng),生生互動(dòng);(dòng)式教學(xué)模式的目的是讓教師樂(lè)教、會(huì)教、善教,促使學(xué)生樂(lè)學(xué)、會(huì)學(xué)、善學(xué),從而優(yōu)化課堂教學(xué)、提高教學(xué)質(zhì)量,在和諧、愉快的情景中實(shí)現(xiàn)教與學(xué)的共振。
對(duì)二次根式混合運(yùn)算新課引入的建議
復(fù)習(xí):
1.計(jì)算:(1) ; (2) .
解:(1) (2)
= =
= ; = .
2.在整式乘法中,單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則是什么?多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則是什么?什么是完全平方式?分別用式子表示出來(lái)。
答:?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則是,用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加。用式子表示為
m(a+b+c)=ma+mb+mc
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則是,先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每項(xiàng),再把所得的積相加。用式子表示為
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,
其中a,b,m,n都是單項(xiàng)式。
完全平方式是
; 。
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),整式中的乘法法則及乘法公式仍然適用,運(yùn)用乘法法則及乘法公式可以進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。引入新課。
對(duì)二次根式混合運(yùn)算學(xué)法的建議
在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí),也有一個(gè)與分式運(yùn)算相比較的問(wèn)題,有的時(shí)候,加上團(tuán)式分解、約分等技巧,可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程,這是要靈活運(yùn)用的.因此,在本節(jié)學(xué)習(xí)時(shí),可以適當(dāng)結(jié)合11.1節(jié)的內(nèi)容,復(fù)習(xí)一下在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式的問(wèn)題,如
這里再順便提一下,如
這種變形不是原來(lái)意義上的因式分解,否則就無(wú)法進(jìn)行到底了.可以說(shuō)是借助因式分解的方法,或具體說(shuō)成提出 ,等等.
一、教學(xué)目標(biāo)
1.掌握二次根式的混合運(yùn)算.
2.掌握乘法公式在混合運(yùn)算的應(yīng)用.
3.通過(guò)二次根式的混合運(yùn)算,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力.
4.通過(guò)例題由淺入深,層層深入,激發(fā)學(xué)生求知的欲望
二、教學(xué)設(shè)計(jì)
小結(jié)、歸納、提高
三、重點(diǎn)、難點(diǎn)解決辦法
1.教學(xué)重點(diǎn):二次根式的混合運(yùn)算.
2.教學(xué)難點(diǎn) :混合運(yùn)算的應(yīng)用.
四、課時(shí)安排
1課時(shí)
五、教具學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀、膠片、多媒體
六、師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)
1.復(fù)習(xí),運(yùn)算律及乘法分式,引導(dǎo)學(xué)生口答,并強(qiáng)調(diào)數(shù)的運(yùn)算律在根式運(yùn)算中的適用,引入例題.
2.通過(guò)例題由淺入深,層層深入,既提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣又激發(fā)學(xué)生求知的欲望;從例題的講解中幫助尋找解題的方法,規(guī)律及注意點(diǎn).
3.通過(guò)大量的練習(xí),以期形成自己所掌握的知識(shí).
七、教學(xué)步驟
(-)明確目標(biāo)
前面學(xué)過(guò)二次根式的加減法的簡(jiǎn)單運(yùn)算,但二次根式未必全是加減混合運(yùn)算,它同樣會(huì)出現(xiàn)二次根式的加、減、乘、除方等混合運(yùn)算那么二次根式的混合運(yùn)算的法則是什么?又將怎樣運(yùn)用它進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算,這就是本節(jié)課所要研究的問(wèn)題—二次根式的混合運(yùn)算.
(二)整體感知
二次根式的混合運(yùn)算中,應(yīng)注意運(yùn)算的次序.這是進(jìn)行二次根式混合運(yùn)算的前提條件;通過(guò)適當(dāng)?shù)貜?fù)習(xí)乘法分式,分母有理化知識(shí),然后再進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算的教學(xué)工作,將有助于更好地學(xué)習(xí)它;同樣為了更好地理解二次根式的混合運(yùn)算還可以將它與數(shù)的運(yùn)算律和運(yùn)算方法進(jìn)行對(duì)比,以幫助學(xué)生更好地理解并準(zhǔn)確地掌握好該知識(shí),達(dá)到事半功倍的作用.
第一課時(shí)
(-)教學(xué)過(guò)程
【復(fù)習(xí)】
運(yùn)算律在二次根式混合運(yùn)算中仍適用.
各種整式乘法的法則.
乘法公式: .
.
提問(wèn):加法的交換律、結(jié)合律各是怎樣的?乘法的交換律、結(jié)合律、分配津各是什么?
強(qiáng)調(diào)數(shù)的運(yùn)算律在根式運(yùn)算中仍適用后,可引入例題.
【例題】
例1 計(jì)算:
(1) ;
(2) .
解:略.
注:①加法與乘法的混合運(yùn)算,可分解為兩個(gè)步驟完成,一是進(jìn)行乘法運(yùn)算,二是進(jìn)行加法運(yùn)算,使難點(diǎn)分散,易于學(xué)生理解和掌握.②在運(yùn)算過(guò)程中,對(duì)于各個(gè)根式不一定要先化簡(jiǎn),而是先乘除,進(jìn)行約分,達(dá)到化簡(jiǎn)的目的,但最后結(jié)果一定要化簡(jiǎn).例如 ,沒(méi)有對(duì) 先進(jìn)行化簡(jiǎn)的必要,使計(jì)算繁瑣,而是應(yīng)先進(jìn)行乘法運(yùn)算 ,通過(guò)約分達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.
例2 計(jì)算:
(1) ;
(2) ;
(3) .
解:略.
注:①由學(xué)生觀察算式,找出特征:兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積;兩個(gè)數(shù)的和或差的平方,聯(lián)想乘法公式,與多項(xiàng)式的乘法相類似,二次根式的和相乘,適用乘法公式時(shí),運(yùn)用乘法公式.
②復(fù)習(xí)乘法公式,可選做幾個(gè)小題.如 , 等.
例3 計(jì)算:
(1) ;
(2) .
解:略.
③引入有理化因式的概念
例如, 與 , 與 .
注:互為有理化因式是指兩個(gè)代數(shù)式,其乘積不再含有二次根式.
可適當(dāng)再舉例說(shuō)明,如 與 , 與 、 與 ,但 與 就不是互為有理化因式.
(二)隨堂練習(xí)
計(jì)算:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
(5) ; (6) ;
(7) ; (8) ;
(9) .
解:(1) .
(2)
.
(3)
.
(4)
.
(5)
.
(6)
.
(7) .
(8)
.
(9)
.
(三)總結(jié)、擴(kuò)展
對(duì)二次根式的混合運(yùn)算與整式的混合運(yùn)算及數(shù)的混合運(yùn)算比較,要注意運(yùn)算的順序及運(yùn)算律在計(jì)算過(guò)程中的作用.
有理化因式的概念需強(qiáng)調(diào)乘積的結(jié)果不再含有二次根式.
練習(xí):教材P198中1、2;教材P199中3.
(四)布置作業(yè)
教材P204中1、2、3.
(五)板書設(shè)計(jì)
標(biāo) 題
1.復(fù)習(xí)內(nèi)容 例3……
2.例題 3.有理化因式
例1…… 4.練習(xí)題
例2……
二次根式的混合運(yùn)算
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