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絕對值
教學目標1．了解絕對值的概念，會求有理數(shù)的絕對值；
2．會利用絕對值比較兩個負數(shù)的大小；
3．在絕對值概念形成過程中，滲透數(shù)形結(jié)合等思想方法，并注意培養(yǎng)學生的思維能力．
教學建議
一、重點、難點分析
絕對值概念 既是本節(jié)的教學重點又是教學難點 。關(guān)于絕對值的概念，需要明確的是無論是絕對值的幾何定義，還是絕對值的代數(shù)定義，都揭示了絕對值的一個重要性質(zhì)——非負性，也就是說，任何一個有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，即無論a取任意有理數(shù)，都有 。
教材上絕對值的定義是從幾何角度給出的，也就是從數(shù)軸上表示數(shù)的點在數(shù)軸上的位置出發(fā)，得到的定義。這樣，數(shù)軸的概念、畫法、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小、相反數(shù)，以及絕對值，通過數(shù)軸，這些知識都聯(lián)系在一起了。此外，0的絕對值是0，從幾何定義出發(fā)，就十分容易理解了。
二、知識結(jié)構(gòu)
絕對值的定義 絕對值的表示方法 用絕對值比較有理數(shù)的大小
三、教法建議
用語言敘述絕對值的定義，用解析式的形式給出絕對值的定義，或利用數(shù)軸定義絕對值，從理論上講都是可以的．初學絕對值用語言敘述的定義，好像更便于學生記憶和運用，以后逐步改用解析式表示絕對值的定義，即
在教學中，只能突出一種定義，否則容易引起混亂．可以把利用數(shù)軸給出的定義作為絕對值的一種直觀解釋．
此外，要反復(fù)提醒學生：一個有理數(shù)的絕對值不能是負數(shù)，但不能說一定是正數(shù)．“非負數(shù)”的概念視學生的情況，逐步滲透，逐步提出．
四、有關(guān)絕對值的一些內(nèi)容
1．絕對值的代數(shù)定義
一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零．
2．絕對值的幾何定義
在數(shù)軸上表示一個數(shù)的點離開原點的距離，叫做這個數(shù)的絕對值．
3．絕對值的主要性質(zhì)
(2)一個實數(shù)的絕對值是一個非負數(shù)，即|a|≥0，因此，在實數(shù)范圍內(nèi)，絕對值最小的數(shù)是零．
(4)兩個相反數(shù)的絕對值相等．
五、運用絕對值比較有理數(shù)的大小
1．兩個負數(shù)大小的比較,因為兩個負數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系是：絕對值較大的負數(shù)一定在絕對值較小的負數(shù)左邊，所以，兩個負數(shù)，絕對值大的反而小.
比較兩個負數(shù)的方法步驟是：
（1）先分別求出兩個負數(shù)的絕對值；
（2）比較這兩個絕對值的大小；
（3）根據(jù)“兩個負數(shù)，絕對值大的反而小”作出正確的判斷．
2．兩個正數(shù)大小的比較，與小學學習的方法一致，絕對值大的較大．
教學設(shè)計示例
絕對值（一）
一、素質(zhì)教育目標
（一）知識教學點
1．能根據(jù)一個數(shù)的絕對值表示“距離”，初步理解絕對值的概念．
2．給出一個數(shù)，能求它的絕對值．
（二）能力訓練點
在把絕對值的代數(shù)定義轉(zhuǎn)化成數(shù)學式子的過程中，培養(yǎng)學生運用數(shù)學轉(zhuǎn)化思想指導思維活動的能力．
（三）德育滲透點
1．通過解釋絕對值的幾何意義，滲透數(shù)形結(jié)合的思想．
2．從上節(jié)課學的相反數(shù)到本節(jié)的絕對值，使學生感知數(shù)學知識具有普遍的聯(lián)系性．
（四）美育滲透點
通過數(shù)形結(jié)合理解絕對值的意義和相反數(shù)與絕對值的聯(lián)系，使學生進一步領(lǐng)略數(shù)學的和諧美．
二、學法引導
1．教學方法：采用引導發(fā)現(xiàn)法，輔之以講授，學生討論，力求體現(xiàn)“教為主導，學為主體”的教學要求，注意創(chuàng)設(shè)問題情境，使學生自得知識，自覓規(guī)律．
2．學生學法：研究＋6和－6的不同點和相同點→絕對值概念→鞏固練習→歸納小結(jié)（絕對值代數(shù)意義）
三、重點、難點、疑點及解決辦法
1．重點：給出一個數(shù)會求出它的絕對值．
2．難點：絕對值的幾何意義，代數(shù)定義的導出．
3．疑點：負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)．
四、課時安排
2課時
五、教具學具準備
投影儀（電腦）、三角板、自制膠片．
六、師生互動活動設(shè)計
教師提出＋6和－6有何相同點和不同點，學生研究討論得出絕對值概念；教師出示練習題，學生討論解答歸納出絕對值代數(shù)意義．
七、教學步驟
（一）創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習導入
師：以上我們學習了數(shù)軸、相反數(shù)．在練習本上畫一個數(shù)軸，并標出表示－6，，0及它們的相反數(shù)的點．
學生活動：一個學生板演，其他學生在練習本上畫．
【教法說明】絕對值的學習是以相反數(shù)為基礎(chǔ)的，在學生動手畫數(shù)軸的同時，把相反數(shù)的知識進行復(fù)習，同時也為絕對值概念的引入奠定了基礎(chǔ)，這里老師不包辦代替，讓學生自己練習．
（二）探索新知，導入 新課
師：同學們做得非常好！－6與6是相反數(shù)，它們只有符號不同，它們什么相同呢？
學生活動：思考討論，很難得出答案．
師：在數(shù)軸上標出到原點距離是6個單位長度的點．
學生活動：一個學生板演，其他學生在練習本上做．
師：顯然A點（表示6的點）到原點的距離是6，B點（表示－6的點）到原點距離是6個單位長嗎？
學生活動：產(chǎn)生疑問，討論．
師：＋6與－6雖然符號不同，但表示這兩個數(shù)的點到原點的距離都是6，是相同的．我們把這個距離叫＋6與－6的絕對值．
［板書］2.4絕對值（1）
【教法說明】針對“互為相反數(shù)的兩數(shù)只有符號不同”提出問題：“它們什么相同呢？”在學生頭腦中產(chǎn)生疑問，激發(fā)了學生探索知識的欲望，但這時學生很難回答出此問題，這時教師注意引導再提出要求：“找到原點距離是6個單位長度的點”這時學生就有了一個攀登的臺階，自然而然地想到表示＋6，－6的點到原點的距離相同，從而引出了絕對值的概念，這樣一環(huán)緊扣一環(huán)，時而緊張時而輕松，不知不覺學生已獲得了知識．
師：－6的絕對值是表示－6的點到原點的距離，－6的絕對值是6；
6的絕對值是表示6的點到原點的距離，6的絕對值是6．
提出問題：（1）－3的絕對值表示什么？
（2）的絕對值呢？
（3）的絕對值呢？
學生活動：（1）（2）題根據(jù)教師的引導學生口答，（3）題討論后口答．
［板書］一個數(shù)a的絕對值是數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離．
數(shù)a的絕對值是|a|
【教法說明】由－6，6，－3，這些特殊的數(shù)的絕對值引出數(shù)的絕對值，逐層鋪墊，由學生得出絕對值的幾何意義，既理解了一個數(shù)的絕對值的含義也訓練了學生口頭表達能力，突破了難點．
（三）嘗試反饋，鞏固練習
師：數(shù)可以表示任意數(shù)，若把換成，9，0，－1，－0.4觀察數(shù)軸，它們的絕對值各是多少？
學生活動：口答：，，，，
師：你在自己畫的數(shù)軸上標出五個數(shù)，讓同桌指出它們的絕對值．
學生活動：按教師要求自己又當“小老師”又當“學生”．
教師找一組學生回答，并及時糾正出現(xiàn)的錯誤．
（出示投影1）
例 求8，－8，，的絕對值．
師：觀察數(shù)軸做出此題．
學生活動：口答
，，，．
師：由此題目你能想到什么規(guī)律？
學生活動：討論得出—互為相反數(shù)的兩數(shù)絕對值相同．
【教法說明】這一環(huán)節(jié)是對絕對值的幾何定義的鞏固．這里對于絕對值定義的理解不能空談“5的絕對值、－7的絕對值是多少”？而是與數(shù)軸相結(jié)合，始終利用表示這數(shù)的點到原點的距離是這個數(shù)的絕對值這一概念．教師先闡明這個字母可表示任意數(shù)，再把換成一組數(shù)，學生自己又把換成了一些數(shù)，指出它們的絕對值，這樣既理解了數(shù)所表示的廣泛含義，又鞏固了絕對值的定義．然后，通過例題總結(jié)出了互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對值相等這一規(guī)律，既呼應(yīng)了前面內(nèi)容，又升華了絕對值的概念．
師：觀察數(shù)軸，在原點右邊的點表示的數(shù)（正數(shù)）的絕對值有什么特點？
在原點左邊的點表示的數(shù)（負數(shù)）的絕對值呢？
生：思考，不能輕易回答出來．
師：再看前面我們所求的，，，，．你能得出什么規(guī)律嗎？
學生活動：思考后一學生口答．
教師糾正并板書：
［板書］正數(shù)的絕對值是它本身．
負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)．
0的絕對值是0．
師：字母可表示任意的數(shù)，可以表示正數(shù)，也可以表示負數(shù)，也可以表示0．
教師引導學生用數(shù)學式子表示正數(shù)、負數(shù)、0，并再提問：這時的絕對值分別是多少？
學生活動：分組討論，教師加入討論，學生互相補充回答．
教師板書：
［板書］
若，則
若，則
若，則
師強調(diào)：這種表示方法就相當于前面三句話，比較起來后者更通俗易懂．
【教法說明】用字母表示規(guī)律是難點．這時教師放手，讓學生有目的地考慮、分析，共同得出結(jié)論．
鞏固練習：
（出示投影2）
1．化簡：，，．
，，；
2．計算：①．
②．
③．
學生活動：1題口答，2題自己演算，三個學生板演．
【教法說明】1題的前四個旨在直接運用絕對值的性質(zhì)，后兩個略有加深，需要討論后回答；2題（3）小題讓學生區(qū)別絕對值符號和括號的不同含義．
（四）歸納小結(jié)
師：這節(jié)課我們學習了絕對值．
（1）一個數(shù)的絕對值是在數(shù)軸上表示這個數(shù)的點到原點的距離；
（2）求一個數(shù)的絕對值必須先判斷是正數(shù)還是負數(shù)．
回顧反饋：
（出示投影3）
1．－3的絕對值是在_____________上表示－3的點到__________的距離，－3的絕對值是____________．
2．絕對值是3的數(shù)有____________個，各是___________；
絕對值是2.7的數(shù)有___________個，各是___________；
絕對值是0的數(shù)有____________個，是____________．
絕對值是－2的數(shù)有沒有？
（總結(jié)：）
3．（1）若，則；
（2）若，則．
【教法說明】教師在總結(jié)完本節(jié)課的知識要點后，再回頭對本節(jié)重點內(nèi)容進行反饋練習，并且注意把知識進行升華．
八、隨堂練習
1．判斷題
（1）數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離（ ）
（2）負數(shù)沒有絕對值（ ）
（3）絕對值最小的數(shù)是0（ ）
（4）如果甲數(shù)的絕對值比乙數(shù)的絕對值大，那么甲數(shù)一定比乙數(shù)大（ ）
（5）如果數(shù)的絕對值等于，那么一定是正數(shù)
2．填表
原數(shù)
3
相反數(shù)
絕對值
0
倒數(shù)
3．填空
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）若，則；（6）．
九、布置作業(yè)
課本第66頁2、4．
十、板書設(shè)計
隨堂練習答案
1．√ × √ × ×
2．略
3．（1），（2）7，（3）－7，（4）2，（5）3或－3，（6）
作業(yè) 答案
2．＋7，－7，－0.35，
4．＜，＞ ，＞，＝
絕 對 值（二）
一、素質(zhì)教育目標
（一）知識教學點
會利用絕對值比較兩個負數(shù)的大�。�
（二）能力訓練點
利用絕對值概念比較有理數(shù)的大小，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力．
（三）德育滲透點
不斷加深對有理數(shù)比較大小方法的認識，滲透數(shù)形結(jié)合的思想．
（四）美育滲透點
通過本節(jié)課的學習，學生會發(fā)現(xiàn)利用絕對值比較兩個負數(shù)大小與利用數(shù)軸比較任意兩個數(shù)的大小是和諧統(tǒng)一的，學生會進一步感受到數(shù)學的和諧美．
二、學法引導
1．教學方法：采用引導發(fā)現(xiàn)法總結(jié)規(guī)律，并輔之以變式訓練進行扎實鞏固，以復(fù)習提問作為鋪墊，突破難點．
2．學生學法：觀察→討論→歸納→練習
三、重點、難點、疑點及解決辦法
1．重點：利用絕對值比較兩個負數(shù)的大�。�
2．難點：利用絕對值比較兩個異分母負分數(shù)的大�。�
四、教具學具準備
投影儀（或電腦）、自制膠片．
五、師生互動活動設(shè)計
教師提出問題，學生討論歸納；教師出示練習題，學生練習鞏固．
六、教學步驟
（一）創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習提問
師：我們前面學習了絕對值，我相信大家學得都非常好．一定能做好下面這個題．
［板書］
比較大小
（1）與 與
（2）4與－5 0.9與1.1
－10與0 －9與－1
學生活動：（1）題在練習本上演算，兩個學生板演，（2）題學生搶答．
【教法說明】（1）題是為了分散利用絕對值比較兩個負分數(shù)的大小這一難點埋下了伏筆，在這個題目中用最簡單的“∵，∴”的形式訓練學生簡單的推理能力．（2）題是復(fù)習利用數(shù)軸比較兩個數(shù)的大小，讓學生體會出這四個題中覺得難度較大的題目是最后小題兩個負數(shù)比較大小，從而引出課題．
教師板書課題
［板書］ 2.4 絕對值（2）
（二）探索新知，講授新課
1．規(guī)律的發(fā)現(xiàn)
在比較－9與－1時，教師訂正的同時要求學生說出比較－9與－1的根據(jù)（數(shù)軸上的兩個數(shù)右邊的總比左邊的大），同時在黑板上（學生在練習本上）畫出數(shù)軸．
提出問題：在數(shù)軸上任意取兩個負數(shù)，比較大小，觀察較小的數(shù)有什么特點？
學生活動：嘗試舉例，討論得出結(jié)果—兩個負數(shù)，絕對值大的反而小，或兩個負數(shù)絕對值小的反而大．（師板書）
強調(diào)：今后比較兩個負數(shù)的大小又多了一種方法，即兩個負數(shù)，絕對值大的反而�。�
【教法說明】教師注意“放”時要讓學生帶著針對性的問題去思考、分析，既給學生一片自己發(fā)揮想象的天地，又使學生不至于走偏．
鞏固練習：
（出示投影1）
比較大小：
（1）－3與－8； （2）－0.1與－0.2；
（3）與； （4）與．
學生活動：討論后搶答．
【教法說明】（1）題讓學生討論時注意寫好比較大小的格式，運用“∵”、“∴”的格式初步訓練學生邏輯推理能力．（2）（3）（4）題通過數(shù)的變化，鞏固對規(guī)律的認識．
［板書］
解：
∴ ∴
2．出示例題（出示投影2）
比較大小
（1）與．
提出問題：對于異分母的兩個負分數(shù)怎樣利用絕對值比較大��？
學生活動：討論后自己嘗試寫．
師：我們在復(fù)習時已比較出了與的絕對值，可以在此基礎(chǔ)上直接得出結(jié)論．
［板書］
解：
∴ ∴
【教法說明】由于復(fù)習時學生對與已進行了比較，會非常輕松的完成此題目．教師設(shè)置了一級一級的臺階，讓學生自己攀登，既發(fā)揮了學生的主體作用，又從題目的解決過程中訓練了學生的推理能力．
鞏固練習：（出示投影3）
比較大�。�
（1）與，（2）與．
學生活動：兩個學生板演，其他學生自己練習．
【教法說明】比較兩個負分數(shù)的大小是這節(jié)的重點也是難點，利用這兩個小題讓學生從整體上把握一下方法，達到熟練掌握的程度．
（三）歸納小結(jié)
師：我們今天主要學習的是兩個負數(shù)比較大小．
（1）兩個負數(shù)，絕對值大的反而�。�
（2）利用數(shù)軸可以比較任意兩個數(shù)的大小，包括兩個負數(shù)．
【教法說明】教師的小結(jié)必須把今天的所學納入知識系統(tǒng)，明確說明利用數(shù)軸可以比較任意兩數(shù)的大小，而利用絕對值比較大小只適用于兩個負數(shù)．
七、隨堂練習
1．判斷題
（1）兩個有理數(shù)比較大小，絕對值大的反而小
（2）
（3）有理數(shù)中沒有最小的數(shù)
（4）若，則
（5）若，則
2．比較大小
（1）－2__________5，，－0.01__________－1
（2）和（要有過程）
3．寫出絕對值不大于4的所有整數(shù)，并把它們表示在數(shù)軸上．
八、布置作業(yè)
（一）必做題：課本第67頁A組7．
（二）選做題：課本第68頁B組3．
九、板書設(shè)計
隨堂練習答案
1．× × √ × √
2．（1）＜，＜ ＞；（2）＞．
3．±1，±2，±3，±4，0．
作業(yè) 答案
（一）必做題：7．（1） （2）
（3） （4）
（二）選做
探究活動
填空：
(1)若|a|＝6，則a＝______；
(2)若|-b|＝0.87，則b＝______；
(4)若x+|x|＝0，則x是______數(shù)．
分析：已知一個數(shù)的絕對值求這個數(shù)，則這個數(shù)有兩個, 它們是互為相反數(shù)．由
解： (1)∵|a|＝6，∴a＝±6；
(2)∵|-b|＝0.87，∴b＝±0.87；
(4)∵x+|x|＝0，∴|x|＝-x．
∵|x|≥0，∴-x≥0
∴x≤0，x是非正數(shù)．
點評：“絕對值”是代數(shù)中最重要的概念之一，應(yīng)當從正、逆兩個方面來理解這個概念．對絕對值的代數(shù)定義，至少要認識到以下四點：
(1)任何一個數(shù)的絕對值一定是正數(shù)或0，即|a|≥0；
(2)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等，|a|=|-a|；
(3)如果一個數(shù)的絕對值是它本身，那么這個數(shù)一定是正數(shù)或0；如果一個數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，那么這個數(shù)一定是負數(shù)或0；
(4)求一個含有字母的代數(shù)式的值，一定要根據(jù)字母的取值范圍分情況進行討論．
題：3．第2
絕對值
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