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絕對值
教學目標1.了解絕對值的概念,會求有理數(shù)的絕對值;
2.會利用絕對值比較兩個負數(shù)的大小;
3.在絕對值概念形成過程中,滲透數(shù)形結(jié)合等思想方法,并注意培養(yǎng)學生的思維能力.
教學建議
一、重點、難點分析
絕對值概念 既是本節(jié)的教學重點又是教學難點 。關(guān)于絕對值的概念,需要明確的是無論是絕對值的幾何定義,還是絕對值的代數(shù)定義,都揭示了絕對值的一個重要性質(zhì)——非負性,也就是說,任何一個有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù),即無論a取任意有理數(shù),都有 。
教材上絕對值的定義是從幾何角度給出的,也就是從數(shù)軸上表示數(shù)的點在數(shù)軸上的位置出發(fā),得到的定義。這樣,數(shù)軸的概念、畫法、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小、相反數(shù),以及絕對值,通過數(shù)軸,這些知識都聯(lián)系在一起了。此外,0的絕對值是0,從幾何定義出發(fā),就十分容易理解了。
二、知識結(jié)構(gòu)
絕對值的定義 絕對值的表示方法 用絕對值比較有理數(shù)的大小
三、教法建議
用語言敘述絕對值的定義,用解析式的形式給出絕對值的定義,或利用數(shù)軸定義絕對值,從理論上講都是可以的.初學絕對值用語言敘述的定義,好像更便于學生記憶和運用,以后逐步改用解析式表示絕對值的定義,即
在教學中,只能突出一種定義,否則容易引起混亂.可以把利用數(shù)軸給出的定義作為絕對值的一種直觀解釋.
此外,要反復(fù)提醒學生:一個有理數(shù)的絕對值不能是負數(shù),但不能說一定是正數(shù).“非負數(shù)”的概念視學生的情況,逐步滲透,逐步提出.
四、有關(guān)絕對值的一些內(nèi)容
1.絕對值的代數(shù)定義
一個正數(shù)的絕對值是它本身;一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);零的絕對值是零.
2.絕對值的幾何定義
在數(shù)軸上表示一個數(shù)的點離開原點的距離,叫做這個數(shù)的絕對值.
3.絕對值的主要性質(zhì)
(2)一個實數(shù)的絕對值是一個非負數(shù),即|a|≥0,因此,在實數(shù)范圍內(nèi),絕對值最小的數(shù)是零.
(4)兩個相反數(shù)的絕對值相等.
五、運用絕對值比較有理數(shù)的大小
1.兩個負數(shù)大小的比較,因為兩個負數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系是:絕對值較大的負數(shù)一定在絕對值較小的負數(shù)左邊,所以,兩個負數(shù),絕對值大的反而小.
比較兩個負數(shù)的方法步驟是:
(1)先分別求出兩個負數(shù)的絕對值;
(2)比較這兩個絕對值的大小;
(3)根據(jù)“兩個負數(shù),絕對值大的反而小”作出正確的判斷.
2.兩個正數(shù)大小的比較,與小學學習的方法一致,絕對值大的較大.
教學設(shè)計示例
絕對值(一)
一、素質(zhì)教育目標
(一)知識教學點
1.能根據(jù)一個數(shù)的絕對值表示“距離”,初步理解絕對值的概念.
2.給出一個數(shù),能求它的絕對值.
(二)能力訓練點
在把絕對值的代數(shù)定義轉(zhuǎn)化成數(shù)學式子的過程中,培養(yǎng)學生運用數(shù)學轉(zhuǎn)化思想指導思維活動的能力.
(三)德育滲透點
1.通過解釋絕對值的幾何意義,滲透數(shù)形結(jié)合的思想.
2.從上節(jié)課學的相反數(shù)到本節(jié)的絕對值,使學生感知數(shù)學知識具有普遍的聯(lián)系性.
(四)美育滲透點
通過數(shù)形結(jié)合理解絕對值的意義和相反數(shù)與絕對值的聯(lián)系,使學生進一步領(lǐng)略數(shù)學的和諧美.
二、學法引導
1.教學方法:采用引導發(fā)現(xiàn)法,輔之以講授,學生討論,力求體現(xiàn)“教為主導,學為主體”的教學要求,注意創(chuàng)設(shè)問題情境,使學生自得知識,自覓規(guī)律.
2.學生學法:研究+6和-6的不同點和相同點→絕對值概念→鞏固練習→歸納小結(jié)(絕對值代數(shù)意義)
三、重點、難點、疑點及解決辦法
1.重點:給出一個數(shù)會求出它的絕對值.
2.難點:絕對值的幾何意義,代數(shù)定義的導出.
3.疑點:負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).
四、課時安排
2課時
五、教具學具準備
投影儀(電腦)、三角板、自制膠片.
六、師生互動活動設(shè)計
教師提出+6和-6有何相同點和不同點,學生研究討論得出絕對值概念;教師出示練習題,學生討論解答歸納出絕對值代數(shù)意義.
七、教學步驟
(一)創(chuàng)設(shè)情境,復(fù)習導入
師:以上我們學習了數(shù)軸、相反數(shù).在練習本上畫一個數(shù)軸,并標出表示-6,,0及它們的相反數(shù)的點.
學生活動:一個學生板演,其他學生在練習本上畫.
【教法說明】絕對值的學習是以相反數(shù)為基礎(chǔ)的,在學生動手畫數(shù)軸的同時,把相反數(shù)的知識進行復(fù)習,同時也為絕對值概念的引入奠定了基礎(chǔ),這里老師不包辦代替,讓學生自己練習.
(二)探索新知,導入 新課
師:同學們做得非常好!-6與6是相反數(shù),它們只有符號不同,它們什么相同呢?
學生活動:思考討論,很難得出答案.
師:在數(shù)軸上標出到原點距離是6個單位長度的點.
學生活動:一個學生板演,其他學生在練習本上做.
師:顯然A點(表示6的點)到原點的距離是6,B點(表示-6的點)到原點距離是6個單位長嗎?
學生活動:產(chǎn)生疑問,討論.
師:+6與-6雖然符號不同,但表示這兩個數(shù)的點到原點的距離都是6,是相同的.我們把這個距離叫+6與-6的絕對值.
[板書]2.4絕對值(1)
【教法說明】針對“互為相反數(shù)的兩數(shù)只有符號不同”提出問題:“它們什么相同呢?”在學生頭腦中產(chǎn)生疑問,激發(fā)了學生探索知識的欲望,但這時學生很難回答出此問題,這時教師注意引導再提出要求:“找到原點距離是6個單位長度的點”這時學生就有了一個攀登的臺階,自然而然地想到表示+6,-6的點到原點的距離相同,從而引出了絕對值的概念,這樣一環(huán)緊扣一環(huán),時而緊張時而輕松,不知不覺學生已獲得了知識.
師:-6的絕對值是表示-6的點到原點的距離,-6的絕對值是6;
6的絕對值是表示6的點到原點的距離,6的絕對值是6.
提出問題:(1)-3的絕對值表示什么?
(2)的絕對值呢?
(3)的絕對值呢?
學生活動:(1)(2)題根據(jù)教師的引導學生口答,(3)題討論后口答.
[板書]一個數(shù)a的絕對值是數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離.
數(shù)a的絕對值是|a|
【教法說明】由-6,6,-3,這些特殊的數(shù)的絕對值引出數(shù)的絕對值,逐層鋪墊,由學生得出絕對值的幾何意義,既理解了一個數(shù)的絕對值的含義也訓練了學生口頭表達能力,突破了難點.
(三)嘗試反饋,鞏固練習
師:數(shù)可以表示任意數(shù),若把換成,9,0,-1,-0.4觀察數(shù)軸,它們的絕對值各是多少?
學生活動:口答:,,,,
師:你在自己畫的數(shù)軸上標出五個數(shù),讓同桌指出它們的絕對值.
學生活動:按教師要求自己又當“小老師”又當“學生”.
教師找一組學生回答,并及時糾正出現(xiàn)的錯誤.
(出示投影1)
例 求8,-8,,的絕對值.
師:觀察數(shù)軸做出此題.
學生活動:口答
,,,.
師:由此題目你能想到什么規(guī)律?
學生活動:討論得出—互為相反數(shù)的兩數(shù)絕對值相同.
【教法說明】這一環(huán)節(jié)是對絕對值的幾何定義的鞏固.這里對于絕對值定義的理解不能空談“5的絕對值、-7的絕對值是多少”?而是與數(shù)軸相結(jié)合,始終利用表示這數(shù)的點到原點的距離是這個數(shù)的絕對值這一概念.教師先闡明這個字母可表示任意數(shù),再把換成一組數(shù),學生自己又把換成了一些數(shù),指出它們的絕對值,這樣既理解了數(shù)所表示的廣泛含義,又鞏固了絕對值的定義.然后,通過例題總結(jié)出了互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對值相等這一規(guī)律,既呼應(yīng)了前面內(nèi)容,又升華了絕對值的概念.
師:觀察數(shù)軸,在原點右邊的點表示的數(shù)(正數(shù))的絕對值有什么特點?
在原點左邊的點表示的數(shù)(負數(shù))的絕對值呢?
生:思考,不能輕易回答出來.
師:再看前面我們所求的,,,,.你能得出什么規(guī)律嗎?
學生活動:思考后一學生口答.
教師糾正并板書:
[板書]正數(shù)的絕對值是它本身.
負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).
0的絕對值是0.
師:字母可表示任意的數(shù),可以表示正數(shù),也可以表示負數(shù),也可以表示0.
教師引導學生用數(shù)學式子表示正數(shù)、負數(shù)、0,并再提問:這時的絕對值分別是多少?
學生活動:分組討論,教師加入討論,學生互相補充回答.
教師板書:
[板書]
若,則
若,則
若,則
師強調(diào):這種表示方法就相當于前面三句話,比較起來后者更通俗易懂.
【教法說明】用字母表示規(guī)律是難點.這時教師放手,讓學生有目的地考慮、分析,共同得出結(jié)論.
鞏固練習:
(出示投影2)
1.化簡:,,.
,,;
2.計算:①.
②.
③.
學生活動:1題口答,2題自己演算,三個學生板演.
【教法說明】1題的前四個旨在直接運用絕對值的性質(zhì),后兩個略有加深,需要討論后回答;2題(3)小題讓學生區(qū)別絕對值符號和括號的不同含義.
(四)歸納小結(jié)
師:這節(jié)課我們學習了絕對值.
(1)一個數(shù)的絕對值是在數(shù)軸上表示這個數(shù)的點到原點的距離;
(2)求一個數(shù)的絕對值必須先判斷是正數(shù)還是負數(shù).
回顧反饋:
(出示投影3)
1.-3的絕對值是在_____________上表示-3的點到__________的距離,-3的絕對值是____________.
2.絕對值是3的數(shù)有____________個,各是___________;
絕對值是2.7的數(shù)有___________個,各是___________;
絕對值是0的數(shù)有____________個,是____________.
絕對值是-2的數(shù)有沒有?
(總結(jié):)
3.(1)若,則;
(2)若,則.
【教法說明】教師在總結(jié)完本節(jié)課的知識要點后,再回頭對本節(jié)重點內(nèi)容進行反饋練習,并且注意把知識進行升華.
八、隨堂練習
1.判斷題
(1)數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離( )
(2)負數(shù)沒有絕對值( )
(3)絕對值最小的數(shù)是0( )
(4)如果甲數(shù)的絕對值比乙數(shù)的絕對值大,那么甲數(shù)一定比乙數(shù)大( )
(5)如果數(shù)的絕對值等于,那么一定是正數(shù)
2.填表
原數(shù)
3
相反數(shù)
絕對值
0
倒數(shù)
3.填空
(1);(2);(3);
(4);(5)若,則;(6).
九、布置作業(yè)
課本第66頁2、4.
十、板書設(shè)計
隨堂練習答案
1.√ × √ × ×
2.略
3.(1),(2)7,(3)-7,(4)2,(5)3或-3,(6)
作業(yè) 答案
2.+7,-7,-0.35,
4.<,> ,>,=
絕 對 值(二)
一、素質(zhì)教育目標
(一)知識教學點
會利用絕對值比較兩個負數(shù)的大。
(二)能力訓練點
利用絕對值概念比較有理數(shù)的大小,培養(yǎng)學生的邏輯思維能力.
(三)德育滲透點
不斷加深對有理數(shù)比較大小方法的認識,滲透數(shù)形結(jié)合的思想.
(四)美育滲透點
通過本節(jié)課的學習,學生會發(fā)現(xiàn)利用絕對值比較兩個負數(shù)大小與利用數(shù)軸比較任意兩個數(shù)的大小是和諧統(tǒng)一的,學生會進一步感受到數(shù)學的和諧美.
二、學法引導
1.教學方法:采用引導發(fā)現(xiàn)法總結(jié)規(guī)律,并輔之以變式訓練進行扎實鞏固,以復(fù)習提問作為鋪墊,突破難點.
2.學生學法:觀察→討論→歸納→練習
三、重點、難點、疑點及解決辦法
1.重點:利用絕對值比較兩個負數(shù)的大。
2.難點:利用絕對值比較兩個異分母負分數(shù)的大。
四、教具學具準備
投影儀(或電腦)、自制膠片.
五、師生互動活動設(shè)計
教師提出問題,學生討論歸納;教師出示練習題,學生練習鞏固.
六、教學步驟
(一)創(chuàng)設(shè)情境,復(fù)習提問
師:我們前面學習了絕對值,我相信大家學得都非常好.一定能做好下面這個題.
[板書]
比較大小
(1)與 與
(2)4與-5 0.9與1.1
-10與0 -9與-1
學生活動:(1)題在練習本上演算,兩個學生板演,(2)題學生搶答.
【教法說明】(1)題是為了分散利用絕對值比較兩個負分數(shù)的大小這一難點埋下了伏筆,在這個題目中用最簡單的“∵,∴”的形式訓練學生簡單的推理能力.(2)題是復(fù)習利用數(shù)軸比較兩個數(shù)的大小,讓學生體會出這四個題中覺得難度較大的題目是最后小題兩個負數(shù)比較大小,從而引出課題.
教師板書課題
[板書] 2.4 絕對值(2)
(二)探索新知,講授新課
1.規(guī)律的發(fā)現(xiàn)
在比較-9與-1時,教師訂正的同時要求學生說出比較-9與-1的根據(jù)(數(shù)軸上的兩個數(shù)右邊的總比左邊的大),同時在黑板上(學生在練習本上)畫出數(shù)軸.
提出問題:在數(shù)軸上任意取兩個負數(shù),比較大小,觀察較小的數(shù)有什么特點?
學生活動:嘗試舉例,討論得出結(jié)果—兩個負數(shù),絕對值大的反而小,或兩個負數(shù)絕對值小的反而大.(師板書)
強調(diào):今后比較兩個負數(shù)的大小又多了一種方法,即兩個負數(shù),絕對值大的反而。
【教法說明】教師注意“放”時要讓學生帶著針對性的問題去思考、分析,既給學生一片自己發(fā)揮想象的天地,又使學生不至于走偏.
鞏固練習:
(出示投影1)
比較大小:
(1)-3與-8; (2)-0.1與-0.2;
(3)與; (4)與.
學生活動:討論后搶答.
【教法說明】(1)題讓學生討論時注意寫好比較大小的格式,運用“∵”、“∴”的格式初步訓練學生邏輯推理能力.(2)(3)(4)題通過數(shù)的變化,鞏固對規(guī)律的認識.
[板書]
解:
∴ ∴
2.出示例題(出示投影2)
比較大小
(1)與.
提出問題:對于異分母的兩個負分數(shù)怎樣利用絕對值比較大?
學生活動:討論后自己嘗試寫.
師:我們在復(fù)習時已比較出了與的絕對值,可以在此基礎(chǔ)上直接得出結(jié)論.
[板書]
解:
∴ ∴
【教法說明】由于復(fù)習時學生對與已進行了比較,會非常輕松的完成此題目.教師設(shè)置了一級一級的臺階,讓學生自己攀登,既發(fā)揮了學生的主體作用,又從題目的解決過程中訓練了學生的推理能力.
鞏固練習:(出示投影3)
比較大。
(1)與,(2)與.
學生活動:兩個學生板演,其他學生自己練習.
【教法說明】比較兩個負分數(shù)的大小是這節(jié)的重點也是難點,利用這兩個小題讓學生從整體上把握一下方法,達到熟練掌握的程度.
(三)歸納小結(jié)
師:我們今天主要學習的是兩個負數(shù)比較大小.
(1)兩個負數(shù),絕對值大的反而。
(2)利用數(shù)軸可以比較任意兩個數(shù)的大小,包括兩個負數(shù).
【教法說明】教師的小結(jié)必須把今天的所學納入知識系統(tǒng),明確說明利用數(shù)軸可以比較任意兩數(shù)的大小,而利用絕對值比較大小只適用于兩個負數(shù).
七、隨堂練習
1.判斷題
(1)兩個有理數(shù)比較大小,絕對值大的反而小
(2)
(3)有理數(shù)中沒有最小的數(shù)
(4)若,則
(5)若,則
2.比較大小
(1)-2__________5,,-0.01__________-1
(2)和(要有過程)
3.寫出絕對值不大于4的所有整數(shù),并把它們表示在數(shù)軸上.
八、布置作業(yè)
(一)必做題:課本第67頁A組7.
(二)選做題:課本第68頁B組3.
九、板書設(shè)計
隨堂練習答案
1.× × √ × √
2.(1)<,< >;(2)>.
3.±1,±2,±3,±4,0.
作業(yè) 答案
(一)必做題:7.(1) (2)
(3) (4)
(二)選做
探究活動
填空:
(1)若|a|=6,則a=______;
(2)若|-b|=0.87,則b=______;
(4)若x+|x|=0,則x是______數(shù).
分析:已知一個數(shù)的絕對值求這個數(shù),則這個數(shù)有兩個, 它們是互為相反數(shù).由
解: (1)∵|a|=6,∴a=±6;
(2)∵|-b|=0.87,∴b=±0.87;
(4)∵x+|x|=0,∴|x|=-x.
∵|x|≥0,∴-x≥0
∴x≤0,x是非正數(shù).
點評:“絕對值”是代數(shù)中最重要的概念之一,應(yīng)當從正、逆兩個方面來理解這個概念.對絕對值的代數(shù)定義,至少要認識到以下四點:
(1)任何一個數(shù)的絕對值一定是正數(shù)或0,即|a|≥0;
(2)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等,|a|=|-a|;
(3)如果一個數(shù)的絕對值是它本身,那么這個數(shù)一定是正數(shù)或0;如果一個數(shù)的絕對值是它的相反數(shù),那么這個數(shù)一定是負數(shù)或0;
(4)求一個含有字母的代數(shù)式的值,一定要根據(jù)字母的取值范圍分情況進行討論.
題:3.第2
絕對值
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