初中數(shù)學(xué)平方差公式教案

時間：2023-01-10 09:12:36 數(shù)學(xué)教案我要投稿

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　　作為一名教師，就不得不需要編寫教案，編寫教案有利于我們準確把握教材的重點與難點，進而選擇恰當?shù)慕虒W(xué)方法。那么寫教案需要注意哪些問題呢？以下是小編為大家收集的初中數(shù)學(xué)平方差公式教案，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

初中數(shù)學(xué)平方差公式教案

初中數(shù)學(xué)平方差公式教案1

　　15.2 乘法公式

　　15.2.1平方差公式

　　教學(xué)目標

　�、俳�(jīng)歷探索平方差公式的過程，進一步發(fā)展學(xué)生的符號感和推理能力、歸納能力．

　　②會推導(dǎo)平方差公式并掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，能運用公式進行簡單的計算．

　　③了解平方差公式的幾何背景，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法．

　　教學(xué)重點與難點

　　重點：平方差公式的推導(dǎo)及應(yīng)用．

　　難點：用公式的結(jié)構(gòu)特征判斷題目能否使用公式．

　　教學(xué)準備

　　卡片及多媒體課件

　　教學(xué)設(shè)計

　　引入

　　同學(xué)們，前面我們剛剛學(xué)習(xí)了整式的乘法，知道了一般情形下兩個多項式相乘的法則．今天我們要繼續(xù)學(xué)習(xí)某些特殊情形下的多項式相乘．下面請同學(xué)們應(yīng)用你所學(xué)的知識，自己來探究下面的問題：

　　探究：計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)它們的運算形式與結(jié)果有什么規(guī)律嗎?

　　(1)(x+1)(x-1)=

　　(2)(m+2)(m-2)=

　　(3)(2x+1)(2x-1)=

　　引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言敘述所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，允許學(xué)生之間互相補充，教師不急于概括．

　　注：平方差公式是多項式乘法運算中一個重要的公式，它的得出可以直接利用多項式與多項式相乘的運算法則，利用多項式乘法推導(dǎo)乘法公式是從一般到特殊的過程，對今后學(xué)習(xí)其他乘法公式的推導(dǎo)有一定的指導(dǎo)意義，同時也可培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括等能力，因此在教學(xué)中，首先應(yīng)讓學(xué)生思考：你能發(fā)現(xiàn)什么?讓學(xué)生經(jīng)歷觀察(每個算式和結(jié)果的特點)、比較(不同算式之間的異同)、歸納(可能具有的規(guī)律)、提出猜想的過程，學(xué)生在發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，還應(yīng)通過符號運算對規(guī)律進行證明．

　　舉例

　　再舉幾個這樣的.運算例子．

　　注：讓學(xué)生獨立思考，每人在組內(nèi)舉一個例子(可口述或書寫)，然后由其中一個小組的代表來匯報．

　　驗證

　　我們再來計算(a+b)(a-b)=

　　公式的推導(dǎo)既是對上述特例的概括，更是從特殊到一般的歸納證明，在此應(yīng)注意向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)的思想方法：特例→歸納→猜想→驗證→用數(shù)學(xué)符號表示．

　　注：這里是對前邊進行的運算的討論，目的是讓學(xué)生通過觀察、歸納，鼓勵他們發(fā)現(xiàn)這個公式的一些特點，如公式左右邊的結(jié)構(gòu)特征，為下一步運用公式進行簡單計算打下基礎(chǔ)．

　　概括

　　平方差公式及其形式特征．

　　教師可以在前面的基礎(chǔ)上繼續(xù)鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個公式的一些特點：如公式左、右邊的結(jié)構(gòu)，并嘗試說明這些特點的原因．

　　應(yīng)用

　　教科書第152頁例1運用平方差公式計算：

　　(1)(3x+2)(3x-2)

　　(2)(b+2a)(2a-b)

　　(3)(-x+2y)(-x-2y)

　　填表：

　　(a+b)(a-b) a b a2—b2 最后結(jié)果

　　(3x+2)(3x-2) 2 (3x)2-22

　　(b+2a)(2a-b)

　　(-x+2y)(-x-2y)

　　對本例的前面兩個小題可以采用學(xué)生獨立完成，然后搶答的形式完成；第三小題可采用小組討論的形式，要求學(xué)生在給出表格所提示的解法之后，思考別的解法：提取后一個因式里的負號，將2y看作“a”，將x看作“b”，然后運用平方差公式計算．

　　注：(1)正確理解公式中字母的廣泛含義，是正確運用這一公式的關(guān)鍵．設(shè)計本環(huán)節(jié)，旨在通過將算式中的各項與公式里的a、b進行對照，進一步體會字母a、b的含義，加深對字母含義廣泛性的理解：即它們既可以是數(shù)，也可以是含字母的整式．

　　(2)在具體計算時，當有一個二項式兩項都負時，往往不易判明a、b，如第三小題，此時可以通過小組合作交流，放手讓學(xué)生去思考、討論，有助于學(xué)生思維互補、有條理地思考和表達，更有助于學(xué)生合作精神的培養(yǎng)．

　　(3)例1第(3)小題引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問題，可以加深對公式的理解．

　　教科書第152頁例2計算：

　　(1)102×98

　　(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)

　　此處仍先讓學(xué)生獨立思考，然后自主發(fā)言，口述解題思路，允許他們算法的多樣化，然后通過比較，優(yōu)化算法，達到簡便計算的目的．

　　注：(1)運用平方差公式進行數(shù)的簡便運算的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)的形式特征，把相乘的兩數(shù)化成兩數(shù)和與兩數(shù)差的乘積形式，教學(xué)時可讓學(xué)生自己尋找相乘兩數(shù)的形式特征．

　　(2)第二小題要引導(dǎo)學(xué)生注意到一般形式的整式乘法與特殊形式的整式乘法的區(qū)別與聯(lián)系，強調(diào)：只有符合公式要求的乘法，才能運用公式簡化運算，其余的運算仍按整式乘法法則進行．

　　鞏固

　　教科書第153頁練習(xí)1、2

　　練習(xí)1口答完成；練習(xí)2采用大組競賽的形式進行，其中(1)(4)由兩個大組完成，(2)(3)由另兩個大組完成．

　　注：讓學(xué)生通過鞏固練習(xí)，達成本節(jié)課的基本學(xué)習(xí)目標，并通過豐富的活動形式，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)競爭意識和集體榮譽感．

　　解釋

　　你能根據(jù)下面的兩個圖形解釋平方差公式嗎?

　　多媒體動畫演示圖形的變換過程，體會過程中不變的量，并能用代數(shù)恒等式表示．

　　注：(1)重視公式的幾何背景，可以幫助學(xué)生運用幾何直觀理解、解決有關(guān)代數(shù)問題．

　　(2)此處將教科書的圖15.3-1分解為兩個圖形，是考慮到學(xué)生數(shù)與形結(jié)合的思想方法掌握的不夠熟練；利用兩個圖形可以清楚變化的過程，便于聯(lián)想代數(shù)的形式．

　　小結(jié)

　　談一談：你這一節(jié)課有什么收獲?

　　注：這兒采取的是先由每個學(xué)生自己小結(jié)，然后由小組代表作答，把教師做小結(jié)變成了課堂上人人做小結(jié)，有助于學(xué)生概括能力、抽象能力、表達能力的提高．同時，由于人人都要做小結(jié)，促使學(xué)生注意力集中，學(xué)習(xí)主動性加強．

　　作業(yè)

　　1．必做題：教科書第156頁習(xí)題15.2第1題

　　2．選做題：計算：

　　(1)x2+(y-x)(y+x)

　　(2)20082-20xx×20xx

　　(3)(-0.25x-2y)(-0.25x+2y)

　　(4)(a+ b)(a- b)-(3a-2b)(3a+2b)

　　教學(xué)后記

初中數(shù)學(xué)平方差公式教案2

　　一、知識結(jié)構(gòu)

　　二、 重點、難點分析

　　本節(jié)教學(xué)的重點是掌握公式的結(jié)構(gòu)特征及正確運用公式．難點是公式推導(dǎo)的理解及字母的廣泛含義．平方差公式是進一步學(xué)習(xí)完全平方公式、進行相關(guān)代數(shù)運算與變形的重要知識基礎(chǔ)．

　　1．平方差公式是由多項式乘法直接計算得出的：

　　與一般式多項式的乘法一樣，積的項數(shù)是多項式項數(shù)的積，即四項．合并同類項后僅得兩項．

　　2．這一公式的結(jié)構(gòu)特征：左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；右邊是乘式中兩項的平方差，即相同項的平方與相反項的平方差．公式中的字母可以表示具體的數(shù)（正數(shù)和負數(shù)），也可以表示單項式或多項式等代數(shù)式．

　　只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可運用這一公式．例如

　　在運用公式的過程中，有時需要變形，例如，變形為，兩個數(shù)就可以看清楚了．

　　3．關(guān)于平方差公式的特征，在學(xué)習(xí)時應(yīng)注意：

　�。�1）左邊是兩個二項式相乘，并且這兩上二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)．

　�。�2）右邊是乘式中兩項的平方差（相同項的平方減去相反項的平方）．

　　（3）公式中的和可以是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式．

　　（4）對于形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘，就可以運用上述公式來計算．

　　三、教法建議

　　1．可以將“兩個二項式相乘，積可能有幾項”的問題作為課題引入，目的是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生能在兩個二項式相乘其積可能為四項、三項、兩項中找出積為兩項的特征，上升到一定的`理論認識，加以實踐檢驗，從而培養(yǎng)學(xué)生觀察、概括的能力．

　　2．通過學(xué)生自己的試算、觀察、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納，得出為什么有的兩個二項式相乘，其積為兩項，因為其中兩項是兩個數(shù)的平方差，而另兩項恰是互為相反數(shù)，合并同類項時為零，即

　　(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2．

　　這樣得出平方差公式，并且把這類乘法的實質(zhì)講清楚了．

　　3．通過例題、練習(xí)與小結(jié)，教會學(xué)生如何正確應(yīng)用平方差公式．這里特別要求學(xué)生注意公式的結(jié)構(gòu)，教師可以用對應(yīng)思想來加強對公式結(jié)構(gòu)的理解和訓(xùn)練，如計算(1+2x)(1-2x)，

　　(1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2

　　↓ ↓ ↓ ↓　↑　↑

　　(a + b)(a - b)=a2- b2．

　　這樣，學(xué)生就能正確應(yīng)用公式進行計算，不容易出差錯．

　　另外，在計算中不一定用一種模式刻板地應(yīng)用公式，可以結(jié)合以前學(xué)過的運算法則，經(jīng)過變形后靈活應(yīng)用公式，培養(yǎng)學(xué)生解題的靈活性．

　　教學(xué)目標

　　1．使學(xué)生理解和掌握平方差公式，并會用公式進行計算；

　　2．注意培養(yǎng)學(xué)生分析、綜合和抽象、概括以及運算能力．

　　教學(xué)重點和難點

　　重點：平方差公式的應(yīng)用．

　　難點：用公式的結(jié)構(gòu)特征判斷題目能否使用公式．

　　教學(xué)過程設(shè)計

　　一、師生共同研究平方差公式

　　我們已經(jīng)學(xué)過了多項式的乘法，兩個二項式相乘，在合并同類項前應(yīng)該有幾項？合并同類項以后，積可能會是三項嗎？積可能是二項嗎？請舉出例子．

　　讓學(xué)生動腦、動筆進行探討，并發(fā)表自己的見解．教師根據(jù)學(xué)生的回答，引導(dǎo)學(xué)生進一步思考：

　　兩個二項式相乘，乘式具備什么特征時，積才會是二項式？為什么具備這些特點的兩個二項式相乘，積會是兩項呢？而它們的積又有什么特征？

　　(當乘式是兩個數(shù)之和以及這兩個數(shù)之差相乘時，積是二項式．這是因為具備這樣特點的兩個二項式相乘，積的四項中，會出現(xiàn)互為相反數(shù)的兩項，合并這兩項的結(jié)果為零，于是就剩下兩項了．而它們的積等于乘式中這兩個數(shù)的平方差)

　　繼而指出，在多項式的乘法中，對于某些特殊形式的多項式相乘，我們把它寫成公式，并加以熟記，以便遇到類似形式的多項式相乘時就可以直接運用公式進行計算．以后經(jīng)常遇到(a+b)(a-b)這種乘法，所以把(a+b)(a-b)=a2-b2作為公式，叫做乘法的平方差公式．

　　在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生用語言敘述公式．

　　二、運用舉例?變式練習(xí)

　　例1?計算(1+2x)(1-2x)．

　　解：(1+2x)(1-2x)

　　=12-(2x)2

　　=1-4x2．

　　教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目條件是否符合平方差公式特征，并讓學(xué)生說出本題中a，b分別表示什么．

　　例2?計算(b2+2a3)(2a3-b2)．

　　解：(b2+2a3)(2a3-b2)

　�。�(2a3+b2)(2a3-b2)

　　＝(2a3)2-(b2)2

　�。�4a6-b4．

　　教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只需將(b2+2a3)中的兩項交換位置，就可用平方差公式進行計算．

　　課堂練習(xí)

　　運用平方差公式計算：

　　(l)(x+a)(x-a)；(2)(m+n)(m-n)；

　　(3)(a+3b)(a-3b)；(4)(1-5y)(l+5y)．

　　例3?計算(-4a-1)(-4a+1)．

　　讓學(xué)生在練習(xí)本上計算，教師巡視學(xué)生解題情況，讓采用不同解法的兩個學(xué)生進行板演．

　　解法1：(-4a-1)(-4a+1)

　　=[-(4a+l)][-(4a-l)]

　　=(4a+1)(4a-l)

　　=(4a)2-l2

　　=16a2-1．

　　解法2：(-4a-l)(-4a+l)

　　=(-4a)2-l

　　=16a2-1．

　　根據(jù)學(xué)生板演，教師指出兩種解法都很正確，解法1先用了提出負號的辦法，使兩乘式首項都變成正的，而后看出兩數(shù)的和與這兩數(shù)的差相乘的形式，應(yīng)用平方差公式，寫出結(jié)果．解法2把-4a看成一個數(shù)，把1看成另一個數(shù)，直接寫出(-4a)2-l2后得出結(jié)果．采用解法2的同學(xué)比較注意平方差公式的特征，能看到問題的本質(zhì)，運算簡捷．因此，我們在計算中，先要分析題目的數(shù)字特征，然后正確應(yīng)用平方差公式，就能比較簡捷地得到答案．

　　課堂練習(xí)

　　1．口答下列各題：

　　(l)(-a+b)(a+b)；(2)(a-b)(b+a)；

　　(3)(-a-b)(-a+b)；(4)(a-b)(-a-b)．

　　2．計算下列各題：

　　(1)(4x-5y)(4x+5y)；(2)(-2x2+5)(-2x2-5)；

　　教師巡視學(xué)生練習(xí)情況，請不同解法的學(xué)生，或發(fā)生錯誤的學(xué)生板演，教師和學(xué)生一起分析解法．

　　三、小結(jié)

　　1．什么是平方差公式？

　　2．運用公式要注意什么？

　　(1)要符合公式特征才能運用平方差公式；

　　(2)有些式子表面不能應(yīng)用公式，但實質(zhì)能應(yīng)用公式，要注意變形．

　　四、作業(yè)

　　1．運用平方差公式計算：

　　(l)(x+2y)(x-2y)；(2)(2a-3b)(3b+2a)；

　　(3)(-1+3x)(-1-3x)；(4)(-2b-5)(2b-5)；

　　(5)(2x 3 +15)(2x3-15)；(6)(0.3x-0.l)(0.3x+l)；

　　2．計算：

　　(1)(x+y)(x-y)+(2x+y)(2x+y)；

　　(2)(2a-b)(2a+b)-(2b-3a)(3a+2b)；

　　(3)x(x-3)-(x+7)(x-7)；

　　(4)(2x-5)(x-2)+(3x-4)(3x+4)．

初中數(shù)學(xué)平方差公式教案3

　　教學(xué)目標

　　1、使學(xué)生理解和掌握平方差公式，并會用公式進行計算；

　　2、注意培養(yǎng)學(xué)生分析、綜合和抽象、概括以及運算能力。

　　教學(xué)重點和難點

　　重點：平方差公式的應(yīng)用。

　　難點：用公式的結(jié)構(gòu)特征判斷題目能否使用公式。

　　教學(xué)過程設(shè)計

　　一、師生共同研究平方差公式

　　我們已經(jīng)學(xué)過了多項式的乘法，兩個二項式相乘，在合并同類項前應(yīng)該有幾項？合并同類項以后，積可能會是三項嗎？積可能是二項嗎？請舉出例子。

　　讓學(xué)生動腦、動筆進行探討，并發(fā)表自己的見解。教師根據(jù)學(xué)生的回答，引導(dǎo)學(xué)生進一步思考：

　　兩個二項式相乘，乘式具備什么特征時，積才會是二項式？為什么具備這些特點的兩個二項式相乘，積會是兩項呢？而它們的積又有什么特征？

　　（當乘式是兩個數(shù)之和以及這兩個數(shù)之差相乘時，積是二項式。這是因為具備這樣特點的兩個二項式相乘，積的四項中，會出現(xiàn)互為相反數(shù)的兩項，合并這兩項的'結(jié)果為零，于是就剩下兩項了。而它們的積等于乘式中這兩個數(shù)的平方差）

　　繼而指出，在多項式的乘法中，對于某些特殊形式的多項式相乘，我們把它寫成公式，并加以熟記，以便遇到類似形式的多項式相乘時就可以直接運用公式進行計算。以后經(jīng)常遇到(a+b)(a-b)這種乘法，所以把(a+b)(a-b)=a2-b2作為公式，叫做乘法的平方差公式。

　　在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生用語言敘述公式。

　　二、運用舉例變式練習(xí)

　　例1計算(1+2x)(1-2x)。

　　解：(1+2x)(1-2x)

　　=12-(2x)2

　　=1-4x2.

　　教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目條件是否符合平方差公式特征，并讓學(xué)生說出本題中a，b分別表示什么。

　　例2計算(b2+2a3)(2a3-b2)。

　　解：(b2+2a3)(2a3-b2)

　　=(2a3+b2)(2a3-b2)

　　=(2a3)2-(b2)2

　　=4a6-b4.

　　教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只需將(b2+2a3)中的兩項交換位置，就可用平方差公式進行計算。

　　課堂練習(xí)

　　運用平方差公式計算：

　　(1)(x+a)(x-a)；

　　(2)(m+n)(m-n)；

　　(3)(a+3b)(a-3b)；

　　(4)(1-5y)(l+5y)。

　　例3計算(-4a-1)(-4a+1)。

　　讓學(xué)生在練習(xí)本上計算，教師巡視學(xué)生解題情況，讓采用不同解法的兩個學(xué)生進行板演。

　　解法1：(-4a-1)(-4a+1)

　　=[-(4a+l)][-(4a-l)]

　　=(4a+1)(4a-l)

　　=(4a)2-l2

　　=16a2-1.

　　解法2：(-4a-l)(-4a+l)

　　=(-4a)2-l

　　=16a2-1.

　　根據(jù)學(xué)生板演，教師指出兩種解法都很正確，解法1先用了提出負號的辦法，使兩乘式首項都變成正的，而后看出兩數(shù)的和與這兩數(shù)的差相乘的形式，應(yīng)用平方差公式，寫出結(jié)果。解法2把-4a看成一個數(shù)，把1看成另一個數(shù)，直接寫出(-4a)2-l2后得出結(jié)果。采用解法2的同學(xué)比較注意平方差公式的特征，能看到問題的本質(zhì)，運算簡捷。因此，我們在計算中，先要分析題目的數(shù)字特征，然后正確應(yīng)用平方差公式，就能比較簡捷地得到答案。

　　課堂練習(xí)

　　1、口答下列各題：

　　(l)(-a+b)(a+b)；(2)(a-b)(b+a)；

　　（3）(-a-b)(-a+b)；(4)(a-b)(-a-b)。

　　2、計算下列各題：

　　（1）(4x-5y)(4x+5y)；(2)(-2x2+5)(-2x2-5)；

　　教師巡視學(xué)生練習(xí)情況，請不同解法的學(xué)生，或發(fā)生錯誤的學(xué)生板演，教師和學(xué)生一起分析解法。

　　三、小結(jié)

　　1、什么是平方差公式？

　　2、運用公式要注意什么？

　　（1）要符合公式特征才能運用平方差公式；

　　（2）有些式子表面不能應(yīng)用公式，但實質(zhì)能應(yīng)用公式，要注意變形。