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分式數(shù)學(xué)教案設(shè)計參考
教學(xué)目標(biāo)
1. 通過實際操作理解“學(xué)習(xí)三角形全等的四種判定方法”的必要性.
2. 比較熟練地掌握應(yīng)用邊角邊公理時尋找非已知條件的方法和證明的分析法,初步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.
3. 初步掌握“利用三角形全等來證明線段相等或角相等或直線的平行、垂直關(guān)系等”的方法.
4. 掌握證明三角形全等問題的規(guī)范書寫格式.
教學(xué)重點和難點
應(yīng)用三角形的邊角邊公理證明問題的分析方法和書寫格式.
教學(xué)過程()設(shè)計
一、 實例演示,發(fā)現(xiàn)公理
1. 教師出示幾對三角形模板,讓學(xué)生觀察有幾對全等三角形,并根據(jù)所學(xué)過的全等三角形的知識動手操作,加以驗證,同時寫出全等三角形的數(shù)學(xué)表達(dá)式.
2. 在此過程中應(yīng)啟發(fā)學(xué)生注意以下幾點:
。1) 可用移動三角形使其重合的方法驗證圖3-49中的三對三角形分別全等,并根據(jù)圖中已知的三對對應(yīng)元素分別相等的條件,可以證明結(jié)論成立.如圖3-49(c)中,由AB=AC=3cm,可將△ABC繞A點轉(zhuǎn)到B與C重合;由于∠BAD=∠CAE=120°,保證AD能與AE重合;由AD=AE=5cm,可得到D與E重合.因此△BAD可與△CAE重合,說明△BAD≌△CAE.
。2) 每次判斷全等,若都根據(jù)定義檢查是否重合是不便操作的,需要尋找更實用的判斷方法——用全等三角形的性質(zhì)來判定.
。3) 由以上過程可以說明,判定兩個三角形全等,不必判斷三條邊、三個角共六對對應(yīng)元素均相等,而是可以簡化到特定的三個條件,引導(dǎo)學(xué)生歸納出:有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等.
3.畫圖加以鞏固.
教師照課本上所敘述的過程帶領(lǐng)學(xué)生分析畫圖步驟并畫出圖形,理解“已知兩邊及夾角畫三角形”的方法,并加深對結(jié)論的印象.
二、 提出公理
1.板書邊角邊公理,指出它可簡記為“邊角邊”或“SAS”,說明記號“SAS’的含義.
2.強調(diào)以下兩點:
。1)使用條件:三角形的兩邊及夾角分別對應(yīng)相等.
。2)使用時記號“SAS”和條件都按邊、夾角、邊的順序排列,并將對應(yīng)頂點的字母順序?qū)懺趯?yīng)位置上.
3.板書定理證明應(yīng)使用標(biāo)準(zhǔn)圖形、文字及數(shù)學(xué)表達(dá)式,正確書寫證明過程.
如圖3-50,在△ABC與△A’B’C’中,(指明范圍)
三、應(yīng)用舉例、變式練習(xí)
1.充分發(fā)揮一道例題的作用,將條件、結(jié)論加以變化,進(jìn)行變式練習(xí),
例1已知:如圖 3-51, AB=CB,∠ABD=∠CBD.求證:△ABD≌△CBD.
分析:將已知條件與邊角邊公理對比可以發(fā)現(xiàn),只需再有一組對應(yīng)邊相等即可,這可由公共邊相等 BD=BD得到.
說明:
。1)證明全等缺條件時,從圖形本身挖掘隱含條件,如公共邊相等、公共角相等、對頂角相等,等等.
。2)學(xué)習(xí)從結(jié)論出發(fā)分析證明思路的方法(分析法).
分析:△ABD≌△CBD
因此只能在兩個等角分別所在的三角形中尋找與AB,CB夾兩已知角的公共邊BD.
。3)可將此題做條種變式練習(xí):
練習(xí)1(改變結(jié)論)如圖 3-51,已知 AB=CB,∠ABD=∠CBD.求證:AD=CD,BD平分∠ADC.
分析:在證畢全等的基礎(chǔ)上,可繼續(xù)利用全等三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等,即AD=CD;對應(yīng)角相等∠ADB=∠CDB,即BD平分∠ADC.因此,通過證明兩三角形全等可證明兩個三角形中的線段相等或和角相關(guān)的結(jié)論,如兩直線平行、垂直、角平分線等等.
練習(xí)2(改變條件)如圖 3-51,已知 BD平分∠ABC, AB= CB.求證: ∠A=∠C.
分析:能直接使用的證明三角形全等的條件只有AB=CB,所缺的其余條件分別由公共邊相等、角平分線的定義得出.這樣,在證明三角形全等之前需做一些準(zhǔn)備工作.教師板書完整證明過程如下:
以上四步是證明兩三角形全等的基本證明格式.
。4)將題目中的圖形加以有規(guī)律地圖形變換,可得到相關(guān)的一組變式練習(xí),使剛才的解題思路得以充分地實施,并加強例題、習(xí)題之間的有機聯(lián)系,熟悉常見圖形,同時讓學(xué)生總結(jié)常用的尋找所缺邊、缺角條件的方法.
練習(xí) 3如圖 3-52(c),已知 AB=AE, AD=AF,∠ 1=∠2.求證: DB=FE.
分析:關(guān)鍵由∠1=∠2,利用等量公理證出∠BAD=∠EAF.
練習(xí) 4如圖 3-52(d),已知 A為 BC中點, AE//BD, AE=BD.求證: AD//CE.
分析:由中點定義得出 AB=AC;由 AE//BD及平行線性質(zhì)得出∠ABD=∠CAE.
練習(xí) 5已知:如圖 3-52(e), AE//BD, AE=DB.求證: AB//DE.
分析:由 AE//BD及平行線性質(zhì)得出∠ADB=∠DAE;由公共邊 AD=DA及已知證明全等.
練習(xí)6已知:如圖3-52(f),AE//BD,AE=DB.求證:AB//DE,AB=DE.
分析:通過添加輔助線——連結(jié)AD,構(gòu)造兩個三角形去證明全等.
練習(xí) 7已知:如圖 3-52(g), BA=EF, DF=CA,∠EFD=∠CAB.求證:∠B=∠E.
分析:由DF=CA及等量公理得出DA=CF;由∠EFD=∠CAB及“等角的補角相等”得出∠BAD=∠EFC.
練習(xí)8已知:如圖3-52(h),BE和CD交于A,且A為BE中點,EC⊥CD于C,BD⊥CD于 D, CE=⊥BD.求證: AC=AD.
分析:由于目前只有邊角邊公理,因此,必須將角的隱含條件——對頂角相等轉(zhuǎn)化為已知兩邊的夾角∠B=∠E,這點利用“等角的余角相等”可以實現(xiàn).
練習(xí) 9已知如圖 3-52(i),點 C, F, A, D在同一直線上, AC=FD, CE=DB, EC⊥CD,BD⊥CD,垂足分別為 C和D.求證:EF//AB.
在下一課時中,可在圖中連結(jié)EA及BF,進(jìn)一步統(tǒng)習(xí)證明兩次全等.
小結(jié):在以上例1及它的九種變式練習(xí)中,可讓學(xué)生歸納概括出目前常用的證明三角形全等時尋找非已知條件的途徑.
缺邊時:①圖中隱含公共邊;②中點概念;③等量公理④其它.
缺角時:①圖中隱含公共角;②圖中隱含對頂角;③三角形內(nèi)角和及推論④角平分線定義;
、萜叫芯的性質(zhì);⑥同(等)角的補(余)角相等;⑦等量公理;⑧其它.
例2已知:如圖3-53,△ABE和△ACD均為等邊三角形.求證:BD=EC.
分析:先選擇BD和EC所在的兩個三角形△ABD與△AEC,已知沒有提供任一證兩個三角形全等所需的直接條件,均需由等邊三角形的定義提供.
四、師生共同歸納小結(jié)
1.證明兩三角形全等的條件可由定義的六條件減弱到至少幾個?邊角邊公理是哪三個條件?
2.在遇到證明兩三角形全等或用全等證明線段、角的大小關(guān)系時,最典型的分析問題的思路是怎樣的?你體會這樣做有些什么優(yōu)點?
3.遇到證明兩個三角形全等而邊、角的直接條件不夠時,可從哪些角度入手尋找非已知條件?
五、練習(xí)與作業(yè)
練習(xí):課本第28頁中第1題,第30頁中1,3題.
作業(yè):課本第32頁中第6,7,8,9,10題.
課堂教學(xué)設(shè)計說明
本教學(xué)設(shè)計需2課時完成.
1.課本第3.5節(jié)內(nèi)容安排3課時,前兩課時學(xué)習(xí)三角形全等的邊角邊公理,重點練習(xí)直接應(yīng)用公理及證明格式,初步學(xué)習(xí)尋找證明全等所需的非已知條件的方法,以及利用性質(zhì)證明邊角的數(shù)量關(guān)系及直線的位置關(guān)系,第3課時加以鞏固并學(xué)習(xí)解決應(yīng)用題和兩次全等的問題.
2.本節(jié)將“理解全等三角形的判定方法的必要性“列為教學(xué)目標(biāo)之一,目的是引起教師和學(xué)生的重視,只有學(xué)生真正認(rèn)識到了研究判定方法的必要性,才能從思想上接受判定方法,并發(fā)揮出他們的學(xué)習(xí)主動性.
3.本節(jié)課將“分析法和尋找證明全等三角形時非已知條件的方法”作為教學(xué)目標(biāo)之一,意在給學(xué)生歸納一些常用的解題思路,以便將它作為證明全等三角形的一種技能加以強化.
4.教材中將“利用證明兩個三角形全等來證明線段或角相等”的方法做為例5出現(xiàn),為時過晚,達(dá)不到訓(xùn)練的目的,因此教師應(yīng)提前到第一、二課時,就教給學(xué)生分析的方法,并從各種角度加以訓(xùn)練.
5.教師可將例題1和幾種變式練習(xí)制成投作影片(圖3-52)提高課堂教學(xué)效率.教學(xué)使用時,重點放在題目的分析上,并體現(xiàn)出題目之間圖形的變化和內(nèi)在聯(lián)系.
6.本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的兩課時既教會學(xué)生分析全等問題的思路——分析法和尋找非已知條件的方法,又要求他們落實證明的規(guī)范步驟——準(zhǔn)備條件,指明范圍,列齊條件和得出結(jié)論,使學(xué)生遇到證明三角形全等的題目既會快速分析,又會正確表達(dá).學(xué)生學(xué)生遇到證明三角形全等的題目既會快速分析,又會正確表達(dá)。
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