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任意角數(shù)學(xué)教案設(shè)計(jì)
教學(xué)目標(biāo)：
要求學(xué)生掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角的概念，理解任意角的概念，學(xué)會(huì)在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來(lái)討論角；并進(jìn)而理解“正角”“負(fù)角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。
教學(xué)重點(diǎn)：
理解“正角”“負(fù)角”“象限角”“終邊相同的角”的含義
教學(xué)難點(diǎn)：
“旋轉(zhuǎn)”定義角
課標(biāo)要求：
了解任意角的概念
教學(xué)過(guò)程：
一、引入
同學(xué)們?cè)诔踔袝r(shí)，曾初步接觸過(guò)三角函數(shù)，那時(shí)的運(yùn)用僅限于計(jì)算一些特殊的三角函數(shù)值、研究一些三角形中簡(jiǎn)單的邊角關(guān)系等。三角函數(shù)也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，在今后的學(xué)習(xí)中大家會(huì)發(fā)現(xiàn)三角學(xué)有著極其豐富的內(nèi)容，它能夠簡(jiǎn)單地解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著非常廣泛的應(yīng)用。
二、新課
1．回憶：初中是任何定義角的？
�。◤囊粋�(gè)點(diǎn)出發(fā)引出的兩條射線構(gòu)成的幾何圖形）這種概念的優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀、容易理解，但它的弊端在于“狹隘”
○○師：初中時(shí)，我們已學(xué)習(xí)了0～360角的概念，它是如何定義的呢？
生：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。
師：如圖1，一條射線由原來(lái)的位置OA，繞著它的端點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到終止位置OB，就形成角α。旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線OA叫做角的始邊，OB叫終邊，射線的端點(diǎn)O叫做叫α的頂點(diǎn)。
o師：在體操比賽中我們經(jīng)常聽(tīng)到這樣的術(shù)語(yǔ)：“轉(zhuǎn)體720”（即o轉(zhuǎn)體2周），“轉(zhuǎn)體1080”（即轉(zhuǎn)體3周）；再如時(shí)鐘快了5分鐘，現(xiàn)要校正，需將分針怎樣旋轉(zhuǎn)？如果慢了5分鐘，又該如何校正？
00生：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30；順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30.
師：（1）用扳手?jǐn)Q螺母；（2）跳水運(yùn)動(dòng)員身體旋轉(zhuǎn)．說(shuō)明旋轉(zhuǎn)第二周、第三周??，則形成了更大范圍內(nèi)的角，這些角顯然超出了我們已有的認(rèn)識(shí)范圍。本節(jié)課將在已掌握～
角的范圍基礎(chǔ)上，重新給出角的定義，并研究這些角的分類及記法．
2.角的概念的推廣：
(1)定義：一條射線OA由原來(lái)的位置OA，繞著它的端點(diǎn)O按一定方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成了角α。其中射線OA叫角α的始邊，射線OB叫角α的終邊，O叫角α的頂點(diǎn)。
3．正角、負(fù)角、零角概念
師：為了區(qū)別起見(jiàn)，我們把按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫正角，如圖2中的角為正角，它00等于30與750；我們把按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫正角，那么同學(xué)們猜猜看，負(fù)角怎么規(guī)定呢？零角呢？
生：按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角，如果一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè)零角。
00師：如圖3，以O(shè)A為始邊的角α=-150，β=-660。特別地，當(dāng)一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也認(rèn)為這是形成了一個(gè)角，并把這個(gè)角稱為零角。
師：好，角的概念經(jīng)過(guò)這樣的推廣之后，就應(yīng)該包括正角、負(fù)角、零角。這里還有一點(diǎn)要說(shuō)明：為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可簡(jiǎn)記為α.
4.象限角
師：在今后的學(xué)習(xí)中，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，為此我們必須了解象限角這個(gè)概念。同學(xué)們已經(jīng)經(jīng)過(guò)預(yù)習(xí)，請(qǐng)一位同學(xué)回答什么叫：象限角？
生：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角。
師：很好，從剛才這位同學(xué)的回答可以知道，她已經(jīng)基本理解了“象限角”的概念了。下面請(qǐng)大家將書(shū)上象限角的定義劃好，同時(shí)思考這么三個(gè)問(wèn)題：
1.定義中說(shuō)：角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，如果改為與x軸的正半軸重合行不行，為什么？
2.定義中有個(gè)小括號(hào)，內(nèi)容是：除端點(diǎn)外，請(qǐng)問(wèn)課本為什么要加這四個(gè)字？
3.是不是任意角都可以歸結(jié)為是象限角，為什么？
處理：學(xué)生思考片刻后回答，教師適時(shí)予以糾正。
答：1.不行，始邊包括端點(diǎn)（原點(diǎn)）；
2．端點(diǎn)在原點(diǎn)上；
3．不是，一些特殊角終邊可能落在坐標(biāo)軸上；如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任一象限。
師：同學(xué)們一定要學(xué)會(huì)看數(shù)學(xué)書(shū)，特別是一些重要的概念、定理、性質(zhì)要斟字酌句，每個(gè)字都要弄清楚，這樣的預(yù)習(xí)才是有效果的。
00000師生討論：好，按照象限角定義，圖中的30，390，-330角，都是第一象限角；300，-60
0角，都是第四象限角；585角是第三象限角。
師：很好，不過(guò)老師還有幾事不明，要請(qǐng)教大家：
（1）銳角是第一象限角嗎？第一象限角是銳角嗎？為什么？
生：銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角；
0師：（2）銳角就是小于90的角嗎？
0生：小于90的角可能是零角或負(fù)角，故它不一定是銳角；
00師：（3）銳角就是0～90的角嗎？
000000生：銳角：{θ|0<θ<90}；0～90的角：{θ|0≤θ<90}.
學(xué)生練習(xí)（口答）已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，始邊落在x軸的非負(fù)半軸上，作出下列各角，并指出它們是哪個(gè)象限的角？
0000（1）420；（2）-75；（3）855；（4）-510.
答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.
5.終邊相同的角的表示法
師：觀察下列角你有什么發(fā)現(xiàn)?390??330?30?1470??1770?
生:終邊重合.
0師:請(qǐng)同學(xué)們思考為什么？能否再舉三個(gè)與30角同終邊的角？
0000000000生：圖中發(fā)現(xiàn)390，-330與30相差360的整數(shù)倍，例如，390=360+30，-330=-360+30；
000與30角同終邊的角還有750，-690等。
0師：好！這位同學(xué)發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)同終邊角的特征，即：終邊相同的角相差360的整數(shù)倍。例
0000000如：750=23360+30；-690=-23360+30。那么除了這些角之外，與30角終邊相同的角還有：
000033360+30-33360+30
000043360+30-43360+30
000由此，我們可以用S={β|β=k3360+30，k∈Z}來(lái)表示所有與30角終邊相同的角的集合。
師：那好，對(duì)于任意一個(gè)角α，與它終邊相同的角的集合應(yīng)如何表示？
0生：S={β|β=α+k3360，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和。
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