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不等式及其解集的教案設(shè)計

時間:2023-01-07 06:25:22 其它教案 我要投稿
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不等式及其解集的教案設(shè)計(精選10篇)

  作為一名教職工,編寫教案是必不可少的,編寫教案有利于我們準(zhǔn)確把握教材的重點與難點,進而選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法。那么應(yīng)當(dāng)如何寫教案呢?下面是小編為大家整理的不等式及其解集的教案設(shè)計,供大家參考借鑒,希望可以幫助到有需要的朋友。

不等式及其解集的教案設(shè)計(精選10篇)

  不等式及其解集的教案設(shè)計 篇1

  一、創(chuàng)設(shè)情景,導(dǎo)入新課

  1、很多人在自己的童年生活中,都做過蹺蹺板的游戲,當(dāng)一個大人和一個小孩同時坐上等臂長的蹺蹺板的兩邊時會發(fā)生什么現(xiàn)象呢?這是什么原因呢?

  2、一輛勻速行駛的汽車在11:20時距離A地50千米,要在12:00到達(dá)A地,車速應(yīng)該具備什么條件?如果要在12:00之前駛過A車速又應(yīng)該滿足什么條件?

  問題一:汽車能在12:00準(zhǔn)時到達(dá)A地

  問題二:汽車能在12:00之前到達(dá)A地

 。ㄒ鈭D:從實際問題引入不等式,同時從等式自然的過度到不等式)

  二、探究新知

  (一)不等式的概念

  上面的兩組式子有什么不同點.

  在學(xué)生對比的基礎(chǔ),師生共同歸納得出,用不等符號連接表示不等關(guān)系的式子叫不等式

  練習(xí)1:下列式子是否是不等式?

 。1)-2<5(2)x+3>2x(3)4x-2y<0(4)a-2b

  (5)x2-2x+1<0(6)a+b≠c(7)5m+3=8(8)x≤-4

  練習(xí)2:用不等式表示:

 。1)a與1的和是正數(shù);

  (2)a是非負(fù)數(shù);

 。3)a與b的和不小于7;

 。4)a與2的差大于-1;

 。5)a的4倍不大于8;

 。6)a的一半小于3.

  (二)不等式的解、不等式的解集

  x+37中x=5滿足不等式嗎?

  我們把x=5帶入不等式發(fā)現(xiàn),左邊=8右邊=77成立,所以5是不等式x+37的解,不等式x+37還有其它的.解嗎?

  什么是不等式的解?

  學(xué)生總結(jié):

  1、不等式的解就是能使不等式成立的未知數(shù)的值;

  2、不等式的解不止一個;

  師生歸納:

  一般的,一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解組成這個不等式的解集.求不等式的解集的過程叫解不等式

  練習(xí)

  3.下列說法正確的是()

  A.x=3是2x1的解B.x=3是2x1的唯一解

  C.x=3不是2x1的解D.x=3是2x1的解集

  4.下列數(shù)值哪些是不等式x+36的解?你能確定它的解集

  不等式及其解集的教案設(shè)計 篇2

  教學(xué)目標(biāo)

  1、能夠根據(jù)實際問題中的數(shù)量關(guān)系,列一元一次不等式(組)解決實際問題.

  2、通過例題教學(xué),學(xué)生能夠?qū)W會從數(shù)學(xué)的角度認(rèn)識問題,理解問題,提出問題,?? 學(xué)會從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型.

  3、能夠認(rèn)識數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識.

  教學(xué)重點?? 能夠根據(jù)實際問題中的數(shù)量關(guān)系,列出一元一次不等式(組)解決 實際問題

  教學(xué)難點?? 審題,根據(jù)實際問題列出不等式.

  例題?? 甲、乙兩商場以同樣的價格出售同樣的商品,并且又各自推出不同的`優(yōu)惠:在甲商場累計購物超過100元后,超出100元的部分按90%收費;在乙商場累計購物超過50元后,超出50元的部分按95%收費。顧客到哪家商場購物花費少??

  解:設(shè)累計購物x元,根據(jù)題意得

 。1)當(dāng)0 < x≤50時,到甲、乙兩商場購物花費一樣;

 。2)當(dāng)50< x≤100時,到乙商場購物花費少;

 。3)當(dāng)x > 100時,到甲商場的花費為100+0.9(x-100) , 到乙商場的花費為50+0.95(x-50)則

  50+0.95(x-50) > 100+0.9(x-100),解之得x >150

  50+0.95(x-50) < 100+0.9(x-100),解之得x < 150

  50+0.95(x-50) = 100+0.9(x-100),?? 解之得x = 150

  答:當(dāng)0 < x≤50時,到甲、乙兩商場購物花費一樣;

  當(dāng)50< x≤100時,到乙商場購物花費少;當(dāng)x>150時,到甲商場購物花費少;當(dāng)100 < x <150時,到乙商場購物花費少;當(dāng)x=150時,到甲、乙兩商場購物花費一樣。

  變式練習(xí)? 學(xué)校為解決部分學(xué)生的午餐問題,聯(lián)系了兩家快餐公司,兩家公司的報價、質(zhì)量和服務(wù)承諾都相同,且都表示對學(xué)生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費。問:選擇哪家公司較好?

  解:設(shè)購買午餐x份,每份報價為“1”,根據(jù)題意得

  0.9x > 100+0.8(x-100),解之得x >

  0.9x < 100+0.8(x-100),解之得x <

  0.9x = 100+0.8(x-100),解之得x =

  答:當(dāng)x>時,選乙公司較好;當(dāng)0 < x <時,選甲公司較好;當(dāng)x=時,兩公司實際收費相同。

  作業(yè)

  1、某商店5月1號舉行促銷優(yōu)惠活動,當(dāng)天到該商店購買商品有兩種,一:用168元購買會員卡成為會員后,憑會員卡購買商店內(nèi)任何商品,一律按商品價格的8折優(yōu)惠;二:若不購買會員卡,則購買商店內(nèi)任何商品,一律按商品價格的9.5折優(yōu)惠。已知小敏5月1日前不是該商店的會員。請幫小敏算一算,采用哪種更合算?

  2、某單位計劃10月份組織員工到杭州旅游,人數(shù)估計在10~25之間。甲乙兩旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同,且組織到杭州旅游的價格都是每人元。該單位聯(lián)系時,甲旅行社表示可以給予每位旅客七五折優(yōu)惠;乙旅行社表示可先免去一帶隊的旅游費用,其余游客八折優(yōu)惠。問該單位怎樣選擇,可使其支付的旅游總費用較少?

  不等式及其解集的教案設(shè)計 篇3

  【教學(xué)目標(biāo)】

  1.通過具體情境讓學(xué)生感受和體驗現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,鼓勵學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點進行觀察、歸納、抽象,使學(xué)生感受數(shù)學(xué)、走進數(shù)學(xué)、改變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度。

  2.建立不等觀念,并能用不等式或不等式組表示不等關(guān)系。

  3.了解不等式或不等式組的實際背景。

  4.能用不等式或不等式組解決簡單的實際問題。

  【重點難點】

  重點:

 。.通過具體的問題情景,讓學(xué)生體會不等量關(guān)系存在的普遍性及研究的必要性。

 。.用不等式或不等式組表示實際問題中的不等關(guān)系,并用不等式或不等式組研究含有簡單的不等關(guān)系的問題。

  3.理解不等式或不等式組對于刻畫不等關(guān)系的意義和價值。

  難點:

  1.用不等式或不等式組準(zhǔn)確地表示不等關(guān)系。

  2.用不等式或不等式組解決簡單的含有不等關(guān)系的實際問題。

  【方法手段】

  1.采用探究法,按照閱讀、思考、交流、分析,抽象歸納出數(shù)學(xué)模型,從具體到抽象再從抽象到具體的方法進行啟發(fā)式教學(xué)。

  2.教師提供問題、素材,并及時點撥,發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用。

  3.設(shè)計教典型的現(xiàn)實問題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。

  【教學(xué)過程】

  教學(xué)環(huán)節(jié)

  教師活動

  學(xué)生活動

  設(shè)計意圖

  導(dǎo)入新課

  日常生活中,同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)量關(guān)系。你能舉出一些例子嗎?

  實例1.某天的天氣預(yù)報報道,最高氣溫35℃,最低氣溫29℃。

  實例2.若一個數(shù)是非負(fù)數(shù),則這個數(shù)大于或等于零。

  實例3.兩點之間線段最短。

  實例4.三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊。

  引導(dǎo)學(xué)生想生活中的例子和學(xué)過的數(shù)學(xué)中的例子。在老師的引導(dǎo)下,學(xué)生肯定會迫不及待的能說出很多個例子來。即活躍了課堂氣氛,又激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

  推進新課

  同學(xué)們所舉的這些例子聯(lián)系了現(xiàn)實生活,又考慮到數(shù)學(xué)上常見的數(shù)量關(guān)系,非常好。而且大家已經(jīng)考慮到本節(jié)課的標(biāo)題《不等關(guān)系與不等式》,所舉的實例都是反映不等量的關(guān)系。

 。ㄏ旅胬秒娔X投影展示兩個實例)

  實例5:限時40km/h的路標(biāo),指示司機在前方路段行使時,應(yīng)使汽車的速度v不超過40km/h。

  實例6:某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.

  同學(xué)們認(rèn)真觀看顯示屏幕上老師所舉的例子。

  讓學(xué)生們邊看邊思考:生活中有許多的事情的描述可以采用不等的數(shù)量關(guān)系來描述

  過程引導(dǎo)

  能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好,這說明同學(xué)們已經(jīng)走進了數(shù)學(xué)這門學(xué)科,但是我們還要能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點、進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,那么我們用什么知識來表示這些不等關(guān)系呢?

  什么是不等式呢?

  用大屏幕展示一組不等式-7<-5;3+4>1+4;2x≤6;a+2≥0;3≠4.

  能用不等式及不等式組把這些不等關(guān)系表示出來,也就是建立不等式數(shù)學(xué)模型的過程通過對不等式數(shù)學(xué)模型的研究,反過來作用于現(xiàn)實生活,這才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的。

  思考并回答老師的問題:可以用不等式或不等式組來表示不等關(guān)系。

  經(jīng)過老師的啟發(fā)和點撥,學(xué)生可以自己總結(jié)出:用不等號將兩個解析試連接起來所成的式子叫不等式。

  目的是讓學(xué)生回憶不等式的一些基本形式,并說明不等號≤,≥的含義,是或的關(guān)系。回憶了不等式的概念,不等式組學(xué)生自然而然就清楚了。

  此時學(xué)生已經(jīng)迫不及待地想說出自己的觀點了。

  合作探究

  (一)。下面我們把上述實例中的不等量的關(guān)系用不等式或不等式組一一的表示出來,那應(yīng)該怎么表示呢?

  這兩位同學(xué)的觀點是否正確?

  老師要表揚學(xué)生:“很好!這樣思考問題很嚴(yán)密!睉(yīng)該用不等式組來表示此實際問題中的不等量關(guān)系,也可以用“且”的形式來表達(dá)。

 。ǘ栴}一:設(shè)點A與平面的距離為d,B為平面上的`任意一點。

  請同學(xué)們用不等式或不等式組來表示出此問題中的不等量的關(guān)系。

  老師提示:借助于圖形,這個問題是不是可以解決?

 。ㄏ旅孀寣W(xué)生板演,結(jié)合三角形草圖來表達(dá))

  問題(二):某種雜志原以每本2。5元的價格銷售,可以售出8萬本,據(jù)市場調(diào)查,若單價每提高0。1元,銷售量就可能相應(yīng)減少2000本。若把提價后雜志的定價設(shè)為x元,怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢?

  是不是還有其他的思路?

  為什么可以這樣設(shè)?

  很好,請繼續(xù)講。

  這位學(xué)生回答的很好,表述得很準(zhǔn)確。請同學(xué)們對兩種解法作比較。

  問題(三):某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種,按照生產(chǎn)的要求,600mm鋼管的數(shù)量不超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等式關(guān)系的不等式?

  假設(shè)截得500mm的鋼管x根,截得600mm的鋼管y根。根據(jù)題意,應(yīng)當(dāng)有什么樣的不等量關(guān)系呢?

  右邊的三個不等關(guān)系是“或”還是“且”的關(guān)系呢?

  這位學(xué)生回答得很好,思維很嚴(yán)密,那么該用怎樣的不等式組來表示此問題中的不等關(guān)系呢?

  通過上述三個問題的探究,同學(xué)們對如何用不等式或不等式組把實際問題中隱藏的不等量關(guān)系表示出來,這一點掌握得很好。請同學(xué)們完成書本練習(xí)第74頁1,2。

  課堂小結(jié):

  1.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以幫助我們解決實際生活中的問題。

  2.數(shù)學(xué)和我們的生活聯(lián)系非常密切。

  3.本節(jié)課鞏固了二元一次不等式及二元一次不等式組,并且能用它來解決現(xiàn)實生活中存在的大量不等量關(guān)系的實際問題。還要注意思維要嚴(yán)密,規(guī)范,并且要注意數(shù)形結(jié)合等思想方法的綜合應(yīng)用。

  布置作業(yè):

  第75頁習(xí)題3.1 A組4,5。

  29℃≤t≤35℃

  x≥0

  |AC|+|BC|>|AB|

  |AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

  |AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、

  |AB|-|AC|<|BC|.交被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以。

  如果用表示速度,則v≤40km/h.

  f≥2.5%或p≥2.3%

  學(xué)生自己糾正了錯誤:這種表達(dá)是錯誤的,因為兩個不等量關(guān)系要同時滿足,所以應(yīng)該用不等式組來表示次實際問題中的不等量關(guān)系,即可以表示為也可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.

  過點A作AC⊥平面于點C,則d=|AC|≤|AB|

  可設(shè)雜志的定價為x元,則銷售量就減少萬本。銷售量變?yōu)?8-)萬本,則總收入為(8-)x萬元。即銷售的總收入為不低于20萬元的不等式表示為(8-)x≥20.

  解法二:可設(shè)雜志的單價提高了0.1n元,(n)

  我只考慮單價的增量。

  那么銷售量減少了0.2n萬本,單價為(2.5+0.1n)元,則也可得銷售的總收入為不低于20萬元的不等式,表示為(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.

  截得兩種鋼管的總長度不能超過4000mm。

  截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍。

  截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負(fù)數(shù)。

  它們是同時滿足條件,應(yīng)該是且的關(guān)系。由實際問題的意義,還應(yīng)有x,y要同時滿足上述三個不等關(guān)系,可以用下面的不等式組來表示:

  如果學(xué)生沒有想到的話,老師可以在黑板上板演示意圖,啟發(fā)學(xué)生考慮三邊的大小關(guān)系。

  此時啟發(fā)學(xué)生“或”字可以嗎?學(xué)生沒有了聲音,他們在思考著。到底行不行呢?有的回答“行”,有的回答“不行”。

  此時學(xué)生們在思考,時間長的話,老師要及時點撥。

  讓學(xué)生知道,在解決問題時應(yīng)該貫穿數(shù)形結(jié)合的思想,以形助數(shù),下面有學(xué)生的聲音,有學(xué)生在討論,有的學(xué)生還有疑問。老師注意關(guān)注學(xué)生的思維狀況,并且及時的加以指導(dǎo)。

  此時學(xué)生已經(jīng)真正進入本節(jié)課的學(xué)習(xí)狀態(tài),老師再給出問題(三)使學(xué)生一直處于跟隨老師積極思考和解決問題的狀態(tài)。問題是教學(xué)研究的核心,以問題展示的形式來培養(yǎng)學(xué)生的問題意識與探究意識。

  【教學(xué)反思】(【設(shè)計說明】)

  本節(jié)課內(nèi)容很多,都是不等式和不等式組的有關(guān)問題,還有很多是生活中的實例,學(xué)生學(xué)習(xí)起來很感興趣,課堂的氣氛也很好,大多數(shù)學(xué)生都能很積極地回答問題,使課堂的學(xué)習(xí)氣氛很濃,確實也做到了愉快教學(xué)。設(shè)計是按照老師引導(dǎo)式教學(xué),邊講授邊引導(dǎo),啟發(fā)學(xué)習(xí)思考問題及能自己解決問題,鍛煉學(xué)習(xí)能自主的學(xué)習(xí)能力。

  【交流評析】

  一是課堂容量適中,二是實例很好,接近生活,學(xué)生感興趣。三是學(xué)生回答問題積極踴躍,和老師配合很好。四是多媒體應(yīng)用的恰到好處,教學(xué)設(shè)備很完善,老師也能很熟練的應(yīng)用。

  不等式及其解集的教案設(shè)計 篇4

  目的:以不等式的等價命題為依據(jù),揭示不等式的常用證明方法之一——比較法,要求學(xué)生能教熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。

  過程:

  一、復(fù)習(xí):

  1.不等式的一個等價命題

  2.比較法之一(作差法)步驟:作差——變形——判斷——結(jié)論

  二、作差法:(P13—14)

  1. 求證:x2 + 3 > 3x

  證:∵(x2 + 3) - 3x =

  ∴x2 + 3 > 3x

  2. 已知a, b, m都是正數(shù),并且a < b,求證:

  證:

  ∵a,b,m都是正數(shù),并且a 0 , b - a > 0

  ∴ 即:

  變式:若a > b,結(jié)果會怎樣?若沒有“a < b”這個條件,應(yīng)如何判斷?

  3. 已知a, b都是正數(shù),并且a b,求證:a5 + b5 > a2b3 + a3b2

  證:(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 )

  = a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)

  = (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)

  ∵a, b都是正數(shù),∴a + b, a2 + ab + b2 > 0

  又∵a b,∴(a - b)2 > 0 ∴(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0

  即:a5 + b5 > a2b3 + a3b2

  4. 甲乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點,甲有一半時間以速度m行走,另一半時間以速度n行走;有一半路程乙以速度m行走,另一半路程以速度n行走,如果m n,問:甲乙兩人誰先到達(dá)指定地點?

  解:設(shè)從出發(fā)地到指定地點的`路程為S,

  甲乙兩人走完全程所需時間分別是t1, t2,

  則: 可得:

  ∴

  ∵S, m, n都是正數(shù),且m n,∴t1 - t2 < 0 即:t1 < t2

  從而:甲先到到達(dá)指定地點。

  變式:若m = n,結(jié)果會怎樣?

  三、作商法

  5. 設(shè)a, b R+,求證:

  證:作商:

  當(dāng)a = b時,

  當(dāng)a > b > 0時,

  當(dāng)b > a > 0時,

  ∴ (其余部分布置作業(yè))

  作商法步驟與作差法同,不過最后是與1比較。

  四、小結(jié):作差、作商。

  五、作業(yè): P15 練習(xí)。

  P18 習(xí)題6.3 1—4。

  不等式及其解集的教案設(shè)計 篇5

  教材分析

  本節(jié)課是在系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì),掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的,作為重要的基本不等式之一,為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。要進一步了解不等式的性質(zhì)及運用,研究最值問題,此時基本不等式是必不可缺的;静坏仁皆谥R體系中起了承上啟下的作用,同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應(yīng)用,因此它也是對學(xué)生進行情感價值觀教育的好素材,所以基本不等式應(yīng)重點研究。

  教學(xué)中注意用新課程理念處理教材,學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不僅要接受、記憶、模仿和練習(xí),而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué),師生互動,教師發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用,引導(dǎo)學(xué)生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程。通過本節(jié)學(xué)習(xí)體會數(shù)學(xué)來源于生活,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。

  課程目標(biāo)分析

  依據(jù)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》對《不等式》學(xué)段的目標(biāo)要求和學(xué)生的實際情況,特確定如下目標(biāo):

  1、知識與能力目標(biāo):理解掌握基本不等式,并能運用基本不等式解決一些簡單的求最值問題;理解算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的.概念,學(xué)會構(gòu)造條件使用基本不等式;培養(yǎng)學(xué)生探究能力以及分析問題解決問題的能力。

  2、過程與方法目標(biāo):按照創(chuàng)設(shè)情景,提出問題→剖析歸納證明→幾何解釋→應(yīng)用(最值的求法、實際問題的解決)的過程呈現(xiàn)。啟動觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,體會數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法,通過運用多媒體的教學(xué)手段,引領(lǐng)學(xué)生主動探索基本不等式性質(zhì),體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法,體驗成功的樂趣。

  3、情感與態(tài)度目標(biāo):通過問題情境的設(shè)置,使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)是從實際中來,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界,通過數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界,從而培養(yǎng)學(xué)生善于思考、勤于動手的良好品質(zhì)。

  教學(xué)重、難點分析

  重點:應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式,并從不同角度探索基本不等式的證明過程及應(yīng)用。

  難點:1、基本不等式成立時的三個限制條件(簡稱一正、二定、三相等);

  2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。

  教法分析

  本節(jié)課采用觀察——感知——抽象——歸納——探究;啟發(fā)誘導(dǎo)、講練結(jié)合的教學(xué)方法,以學(xué)生為主體,以基本不等式為主線,從實際問題出發(fā),放手讓學(xué)生探究思索。以現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件作為教學(xué)輔助手段,加深學(xué)生對基本不等式的理解。

  教學(xué)準(zhǔn)備

  多媒體課件、板書

  教學(xué)過程

  教學(xué)過程設(shè)計以問題為中心,以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調(diào)過程,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,使數(shù)學(xué)教學(xué)過程成為學(xué)生對知識的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程,從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。

  具體過程安排如下:

  創(chuàng)設(shè)情景,提出問題;

  設(shè)計意圖:數(shù)學(xué)教育必須基于學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”,現(xiàn)實情境問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的平臺,數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一就是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實,并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實.基于此,設(shè)置如下情境:

  上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo),會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的,顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車,代表中國人民熱情好客。

  [問]你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?

  本背景意圖在于利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系,抽象出不等式。在此基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識基本不等式。

  二、抽象歸納:

  一般地,對于任意實數(shù)a,b,有,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立。

  [問]你能給出它的證明嗎?

  學(xué)生在黑板上板書。

  特別地,當(dāng)a>0,b>0時,在不等式中,以、分別代替a、b,得到什么?

  設(shè)計依據(jù):類比是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法,此環(huán)節(jié)不僅讓學(xué)生理解了基本不等式不等式的來源,突破了重點和難點,而且感受了其中的函數(shù)思想,為今后學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

  答案:。

  【歸納總結(jié)】

  如果a,b都是正數(shù),那么,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立。

  我們稱此不等式為基本不等式。其中稱為a,b的算術(shù)平均數(shù),稱為a,b的幾何平均數(shù)。

  三、理解升華:

  1、文字語言敘述:

  兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

  2、聯(lián)想數(shù)列的知識理解基本不等式

  已知a,b是正數(shù),A是a,b的等差中項,G是a,b的正的等比中項,A與G有無確定的大小關(guān)系?

  兩個正數(shù)的等差中項不小于它們正的等比中項。

  3、符號語言敘述:

  若,則有,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,。

  [問]怎樣理解“當(dāng)且僅當(dāng)”?(學(xué)生小組討論,交流看法,師生總結(jié))

  “當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立”的含義是:

  不等式及其解集的教案設(shè)計 篇6

  教學(xué)目標(biāo)

  1、會從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型,會用一元一次不等式解決實際問題;

  2、通過觀察、實踐、討論等活動,經(jīng)歷從實際中抽象出數(shù)學(xué)模型的過程,積累利用一元一次不等式解決實際問題的經(jīng)驗,滲透分類討論思想,感知方程與不等式的內(nèi)在聯(lián)系;

  3、在積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的過程中,初步認(rèn)識一元一次不等式的應(yīng)用價值,形成實事求是的態(tài)度和獨立思考的習(xí)慣。

  教學(xué)難點弄清列不等式解決實際問題的思想方法,用去括號法解一元一次不等式。

  知識重點尋找實際問題中的不等關(guān)系,建立數(shù)學(xué)模型。

  教學(xué)過程(師生活動)設(shè)計理念

  提出問題某學(xué)校計劃購實若干臺電腦,現(xiàn)從兩家商店了解到同一型號的電腦每臺報價均為6000元,并且多買都有一定的優(yōu)惠.甲商場的優(yōu)惠條件是:第一臺按原報價收款,其余每臺優(yōu)惠25%;乙商場的優(yōu)惠條件是:每臺優(yōu)惠20%.如果你是校長,你該怎么考慮,如何選擇?

  (多媒體展示商場購物情景)通過買電腦這個學(xué)生非常熟悉的生活實例,引起學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣,感受到數(shù)學(xué)來源于生活,生活中更需要數(shù)學(xué)。

  探究新知

  1、分組活動.先獨立思考,理解題意.再組內(nèi)交流,發(fā)表自己的觀點.最后小組匯報,派代表論述理由.

  2、在學(xué)生充分發(fā)表意見的基礎(chǔ)上,師生共同歸納出以下三種采購方案:

  (1)什么情況下,到甲商場購買更優(yōu)惠?

  (2)什么情況下,到乙商場購買更優(yōu)惠?

  (3)什么情況下,兩個商場收費相同?

  3、我們先來考慮方案:

  設(shè)購買x臺電腦,如果到甲商場購買更優(yōu)惠.

  問題1:如何列不等式?

  問題2:如何解這個不等式?

  在學(xué)生充分討論的基礎(chǔ)上,教師歸納并板書如下:解:設(shè)購買x臺電腦,如果到甲商場購買更優(yōu)惠,則6000+6000(1-25%)(x-1)<6000(1-20%)x

  去括號,得

  去括號,得:6000+4500x-45004<4800x

  移項且合并,得:-300x<1500

  不等式兩邊同除以-300,得:x<5

  答:購買5臺以上電腦時,甲商場更優(yōu)惠.

  4、讓學(xué)生自己完成方案(2)與方案(3),并匯報完成情況.

  教師最后作適當(dāng)點評.鼓勵學(xué)生大膽猜想,對研究的問題發(fā)表見解,進行探索、合

  作與交流,涌現(xiàn)出多樣化的解題思路.教師及時予以引導(dǎo)、歸納和總結(jié),讓學(xué)生感知不等式的建模。

  完整的解題過程的展現(xiàn),有利于培養(yǎng)學(xué)生有條理地思考和表達(dá)的習(xí)慣。

  解決問題甲、乙兩個商場以同樣的價格出售同樣的商品,同時又各自推出不同的優(yōu)惠措施.甲商場的優(yōu)惠措施是:累計購買100元商品后,再買的商品按原價的90%收費;乙商場則是:累計購買50元商品后,再買的商品按原價的95%收費.顧客選擇哪個商店購物能獲得更多的優(yōu)惠?

  問題1:這個問題比較復(fù)雜.你該從何入手考慮它呢?

  問題2:由于甲商場優(yōu)惠措施的起點為購物100元,乙商場優(yōu)惠措施的起點為購物50元,起點數(shù)額不同,因此必須分別考慮.你認(rèn)為應(yīng)分哪幾種情況考慮?

  分組活動.先獨立思考,再組內(nèi)交流,然后各組匯報討論結(jié)果.

  最后教師總結(jié)分析:

  1、如果累計購物不超過50元,則在兩家商場購物花費是一樣的;

  2、如果累計購物超過50元但不超過100元,則在乙商場購物花費小。

  3、如果累計購物超過100元,又有三種情況:

  (1)什么情況下,在甲商場購物花費小?

  (2)什么情況下,在乙商場購物花費小?

  (3)什么情況下,在兩家商場購物花費相同?

  上述問題,在討論、交流的基礎(chǔ)上,由學(xué)生自己解決,教師可適當(dāng)點評。設(shè)置開放性問題,為學(xué)生開放性思維提供時間和空間,可極大調(diào)動學(xué)生的創(chuàng)造積極性.應(yīng)把

  握學(xué)生的創(chuàng)新潛能,使不同層次的學(xué)生都能得到發(fā)展。

  這些問題能培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和靈活性,優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).

  引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光去觀察周圍的生活現(xiàn)象,思考能否用數(shù)學(xué)知識、方法、觀點和思想去

  解決所遇到的問題.

  總結(jié)歸納通過體驗買電腦、選商場購物,感受實際生活中存在的不等關(guān)系,用不等式來表示這樣的關(guān)系可為解決問題帶來方便.由實際問題中的不等關(guān)系列出不等式,就把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,再通過解不等式可得到實際問題的答案.讓學(xué)生在積極愉快的氣氛中溫習(xí)本節(jié)課學(xué)到的知識和技能,體會收獲的喜悅。

  小結(jié)與作業(yè)

  布置作業(yè)1、必做題:教科書第140頁習(xí)題9.2第1題(1)(2)第3題1、2。

  2、選做題:教科書第141頁習(xí)題9.2第5、6題

  3、備選題.

  (1)某校兩名教師擬帶若干名學(xué)生去旅游,聯(lián)系了兩家標(biāo)價相同的旅游公司.經(jīng)洽談,甲公司的優(yōu)惠條件是一名教師全額收費,其余師生按7.5折收費;乙公司的優(yōu)惠條件則是全體師生都按8折收費.

 、佼(dāng)學(xué)生人數(shù)超過多少時,甲公司的價格比乙公司優(yōu)惠?

 、诮(jīng)核算,甲公司的優(yōu)惠價比乙公司要便宜金,問參加旅游的學(xué)生有多少人?

  (2)某單位要制作一批宣傳資料.甲公司提出:每份材料收費20元,另收設(shè)計費3000元;乙公司提出:每份材料收費30元,不收設(shè)計費.

  ①什么情況下,選擇甲公司比較合算?

  ②什么情況下,選擇乙公司比較合算?

  ③什么情況下,兩公司收費相同?

  (3)某移動通訊公司開設(shè)兩種業(yè)務(wù):“全球通”月租費30元,每分鐘通話費o.2元;“神州行”沒有月租費,每分鐘通話費0.4元(兩種通話均指市內(nèi)通話).如果一個月內(nèi)通話x分鐘,選擇哪種通訊業(yè)務(wù)比較合算?

  (4)某商場畫夾每個定價20元,水彩每盒定價5元.為了促銷,商場制定了兩種優(yōu)惠辦法:一是買一個畫夾送一盒水彩;一是畫夾和水彩均按九折付款.章老師要買畫夾4個,水彩若干盒(不少于4盒).問:哪種方法更優(yōu)惠?

  本課教育評注(課堂設(shè)計理念,實際教學(xué)效果及改進設(shè)想)

  本課設(shè)置了豐富的實際情境,比如蹺蹺板游戲、爆破問題等,研究這些問題,可以使學(xué)生體會到現(xiàn)實生活中存在著大量的不等關(guān)系,不等式是現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的'一種數(shù)學(xué)表示形式,它也是刻畫現(xiàn)實世界中量與量之間關(guān)系的有效模型.

  教學(xué)中要突出知識之間的內(nèi)在聯(lián)系.不等式與方程一樣,都是反映客觀事物變化規(guī)律及其關(guān)系的模型.在教學(xué)中,類比已經(jīng)學(xué)過的方程知識,引導(dǎo)學(xué)生自己去探索、發(fā)現(xiàn)、甄別,從而得出一元一次不等式、不等式的解與解集的意義.

  教學(xué)過程也是學(xué)生的認(rèn)知過程,只有學(xué)生積極地參與教學(xué)活動才能收到良好的效果.因此,本課采用啟發(fā)誘導(dǎo)、實例探究、講練結(jié)合的教學(xué)方法,揭示知識的發(fā)生和形成過程.這種教學(xué)方法以“生動探索”為基礎(chǔ),先“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)”,后“講評點撥”,讓學(xué)生在克服困難與障礙的過程中充分發(fā)揮自己的觀察力、想像力和思維力,再加上多媒體的運用,使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體.

  不等式及其解集的教案設(shè)計 篇7

  教學(xué)分析

  本節(jié)課的研究是對初中不等式學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展,也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中,將讓學(xué)生回憶實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.

  通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),讓學(xué)生從一系列的具體問題情境中,感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,并充分認(rèn)識不等關(guān)系的存在與應(yīng)用.對不等關(guān)系的相關(guān)素材,用數(shù)學(xué)觀點進行觀察、歸納、抽象,完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來.

  在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中還安排了一些簡單的、學(xué)生易于處理的問題,其用意在于讓學(xué)生注意對數(shù)學(xué)知識和方法的應(yīng)用,同時也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望.根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容,應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.

  在本節(jié)教學(xué)中,教師可讓學(xué)生閱讀書中實例,充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結(jié)合工具,直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應(yīng)關(guān)系,從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關(guān)系.要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學(xué)生對不等式的認(rèn)識.

  三維目標(biāo)

  1.在學(xué)生了解不等式產(chǎn)生的實際背景下,利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論,理解實數(shù)的大小關(guān)系,理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應(yīng)點位置間的關(guān)系.

  2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小,會用配方法判斷二次式的大小和范圍.

  3.通過溫故知新,提高學(xué)生對不等式的認(rèn)識,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,體會數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美.

  重點難點

  教學(xué)重點:比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系,判斷二次式的大小和范圍.

  教學(xué)難點:準(zhǔn)確比較兩個代數(shù)式的大小.

  課時安排

  1課時

  教學(xué)過程

  導(dǎo)入新課

  思路1.(章頭圖導(dǎo)入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面,它將學(xué)生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中,使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的,由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué)研究不等關(guān)系的強烈愿望,自然地引入新課.

  思路2.(情境導(dǎo)入)列舉出學(xué)生身體的高矮、身體的輕重、距離學(xué)校路程的遠(yuǎn)近、百米賽跑的時間、數(shù)學(xué)成績的多少等現(xiàn)實生活中學(xué)生身邊熟悉的事例,描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學(xué)上表示出來呢?讓學(xué)生自由地展開聯(lián)想,教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材,讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點進行觀察、歸納,使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣,在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學(xué)生會由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望,從而進入進一步的探究學(xué)習(xí),由此引入新課.

  推進新課

  新知探究

  提出問題

  1回憶初中學(xué)過的不等式,讓學(xué)生說出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系?

  2在現(xiàn)實世界和日常生活中,既有相等關(guān)系,又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實際例子嗎?

  3數(shù)軸上的任意兩點與對應(yīng)的兩實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?

  4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語怎樣表達(dá)這個關(guān)系?

  活動:教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)過的不等式概念,使學(xué)生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.不等關(guān)系強調(diào)的是關(guān)系,可用符號“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示,而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系,可用“a>b”“a

  教師與學(xué)生一起舉出我們?nèi)粘I钪胁坏汝P(guān)系的例子,可讓學(xué)生充分合作討論,使學(xué)生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關(guān)系.在學(xué)生了解了一些不等式產(chǎn)生的實際背景的前提下,進一步學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)內(nèi)容.

  實例1:某天的天氣預(yù)報報道,最高氣溫32 ℃,最低氣溫26 ℃.

  實例2:對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B,若點A在點B的左邊,則xA

  實例3:若一個數(shù)是非負(fù)數(shù),則這個數(shù)大于或等于零.

  實例4:兩點之間線段最短.

  實例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.

  實例6:限速40 km/h的路標(biāo)指示司機在前方路段行駛時,應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h.

  實例7:某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.

  教師進一步點撥:能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好,這說明同學(xué)們已經(jīng)走進了數(shù)學(xué)這門學(xué)科,但作為我們研究數(shù)學(xué)的人來說,能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,這是我們每個研究數(shù)學(xué)的人必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關(guān)系呢?學(xué)生很容易想到,用不等式或不等式組來表示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結(jié)起來所成的式子.如-7<-5,3+4>1+4,2x≤6,a+2≥0,3≠4,0≤5等.

  教師引導(dǎo)學(xué)生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1,若用t表示某天的氣溫,則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3,若用x表示一個非負(fù)數(shù),則x≥0.實例5,|AC|+|BC|>|AB|,如下圖.

  |AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

  |AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交換被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以.

  實例6,若用v表示速度,則v≤40 km/h.實例7,f≥2.5%,p≥2.3%.對于實例7,教師應(yīng)點撥學(xué)生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時滿足,避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%,這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.

  對以上問題,教師讓學(xué)生輪流回答,再用投影儀給出課本上的兩個結(jié)論.

  討論結(jié)果:

  (1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點中,右邊點對應(yīng)的實數(shù)比左邊點對應(yīng)的實數(shù)大.

  (4)對于任意兩個實數(shù)a和b,在a=b,a>b,a0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a

  應(yīng)用示例

  例1(教材本節(jié)例1和例2)

  活動:通過兩例讓學(xué)生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法:作差,配方法.

  點評:本節(jié)兩例的求解,是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的,這兩種方法是代數(shù)式變形時經(jīng)常使用的方法,應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握.

  變式訓(xùn)練

  1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是( )

  A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x)

  C.f(x)

  答案:A

  解析:f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).

  2.已知x≠0,比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.

  解:由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.

  ∵x≠0,得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.

  例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).

  (1)a+b2與21a+1b(a>0,b>0);

  (2)a4-b4與4a3(a-b).

  活動:比較兩個實數(shù)的大小,常根據(jù)實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系,歸結(jié)為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學(xué)生獨立完成,但要點撥學(xué)生在最后的符號判斷說理中,要理由充分,不可忽略這點.

  解:(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.

  ∵a>0,b>0且a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0,即a+b2>21a+1b.

  (2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

  =(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

  =-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].

  ∵2a2+(a+b)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時取等號),

  又a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.

  ∴a4-b4<4a3(a-b).

  點評:比較大小常用作差法,一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方,前者將“差”變?yōu)椤胺e”,后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”,也可兩者并用.

  變式訓(xùn)練

  已知x>y,且y≠0,比較xy與1的大小.

  活動:要比較任意兩個數(shù)或式的大小關(guān)系,只需確定它們的差與0的大小關(guān)系.

  解:xy-1=x-yy.

  ∵x>y,∴x-y>0.

  當(dāng)y<0時,x-yy<0,即xy-1<0. ∴xy<1;

  當(dāng)y>0時,x-yy>0,即xy-1>0.∴xy>1.

  點評:當(dāng)字母y取不同范圍的值時,差xy-1的正負(fù)情況不同,所以需對y分類討論.

  例3建筑設(shè)計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標(biāo)準(zhǔn),窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%,且這個比值越大,住宅的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的.采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.

  活動:解題關(guān)鍵首先是把文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言,然后比較前后比值的大小,采用作差法.

  解:設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b,同時增加的面積為m,根據(jù)問題的要求a

  由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0,于是a+mb+m>ab.又ab≥10%,

  因此a+mb+m>ab≥10%.

  所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后,住宅的采光條件變好了.

  點評:一般地,設(shè)a、b為正實數(shù),且a0,則a+mb+m>ab.

  變式訓(xùn)練

  已知a1,a2,…為各項都大于零的等比數(shù)列,公比q≠1,則( )

  A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8

  C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定

  答案:A

  解析:(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4

  =a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).

  ∵{an}各項都大于零,∴q>0,即1+q>0.

  又∵q≠1,∴(a1+a8)-(a4+a5)>0,即a1+a8>a4+a5.

  知能訓(xùn)練

  1.下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為( )

  A.3 B.2 C.1 D.0

  2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.

  答案:

  1.C解析:∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,

 、踴2+y2-2xy=(x-y)2≥0.

  ∴只有①恒成立.

  2.解:因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0,

  所以2x2+5x+9>x2+5x+6.

  課堂小結(jié)

  1.教師與學(xué)生共同完成本節(jié)課的小結(jié),從實數(shù)的基本性質(zhì)的回顧,到兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評,到緊跟著的變式訓(xùn)練,讓學(xué)生去繁就簡,聯(lián)系舊知,將本節(jié)課所學(xué)納入已有的知識體系中.

  2.教師畫龍點睛,點撥利用實數(shù)的基本性質(zhì)對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方.鼓勵學(xué)有余力的學(xué)生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究.

  作業(yè)

  習(xí)題3—1A組3;習(xí)題3—1B組2.

  設(shè)計感想

  1.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了教學(xué)方法的優(yōu)化.經(jīng)驗告訴我們:課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況,選擇、設(shè)計最能體現(xiàn)教學(xué)規(guī)律的教學(xué)過程,不宜長期使用一種固定的教學(xué)方法,或原封不動地照搬一種實驗?zāi)J?各種教學(xué)方法中,沒有一種能很好地適應(yīng)一切教學(xué)活動.也就是說,世上沒有萬能的教學(xué)方法.針對個性,靈活變化,因材施教才是成功的施教靈藥.

  2.本節(jié)設(shè)計注重了難度控制.不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣,可以說與其他所有內(nèi)容都有交匯,歷來是高考的重點與熱點.作為本章開始,可以適當(dāng)開闊一些,算作拋磚引玉,讓學(xué)生有個自由探究聯(lián)想的平臺,但不宜過多向外拓展,以免對學(xué)生產(chǎn)生負(fù)面影響.

  3.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了學(xué)生思維能力的訓(xùn)練.訓(xùn)練學(xué)生的思維能力,提升思維的品質(zhì),是數(shù)學(xué)教師直面的重要課題,也是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性,克服思維的僵化.變式訓(xùn)練教學(xué)又可以拓展學(xué)生思維視野的廣度,解題后的點撥反思有助于學(xué)生思維批判性品質(zhì)的提升.

  備課資料

  備用習(xí)題

  1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.

  2.試判斷下列各對整式的大。(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.

  3.已知x>0,求證:1+x2>1+x .

  4.若x

  5.設(shè)a>0,b>0,且a≠b,試比較aabb與abba的大小.

  參考答案:

  1.解:∵(x-3)2-(x-2)(x-4)

  =(x2-6x+9)-(x2-6x+8)

  =1>0,

  ∴(x-3)2>(x-2)(x-4).

  2.解:(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)

  =m2-2m+5+2m-5

  =m2.

  ∵m2≥0,∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.

  ∴m2-2m+5≥-2m+5.

  (2)(a2-4a+3)-(-4a+1)

  =a2-4a+3+4a-1

  =a2+2.

  ∵a2≥0,∴a2+2≥2>0.

  ∴a2-4a+3>-4a+1.

  3.證明:∵(1+x2)2-(1+x)2

  =1+x+x24-(x+1)

  =x24,

  又∵x>0,∴x24>0.

  ∴(1+x2)2>(1+x)2.

  由x>0,得1+x2>1+x.

  4.解:(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

  =(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]

  =-2xy(x-y).

  ∵x0,x-y<0.

  ∴-2xy(x-y)>0.

  ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

  5.解:∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b,且a≠b,

  當(dāng)a>b>0時,ab>1,a-b>0,

  則(ab)a-b>1,于是aabb>abba.

  當(dāng)b>a>0時,0

  則(ab)a-b>1.

  于是aabb>abb a.

  綜上所述,對于不相等的正數(shù)a、b,都有aabb>abba.

  不等式及其解集的教案設(shè)計 篇8

  一、教學(xué)目標(biāo):

  (一)知識與能力目標(biāo):(課件第2張)

  1.體會解不等式的步驟,體會比較、轉(zhuǎn)化的作用。

  2.學(xué)生理解、鞏固一元一次不等式的解法.

  3.用數(shù)軸表示解集,加深對數(shù)形結(jié)合思想的進一步理解和掌握。

  4.在解決實際問題中能夠體會將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言,學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表示實際的數(shù)量關(guān)系。

  (二)過程與方法目標(biāo):

  1.介紹一元一次不等式的概念。

  2.通過對一元一次方程的解法的復(fù)習(xí)和對不等式性質(zhì)的利用,導(dǎo)入對解不等式的討論。

  3.學(xué)生體會通過綜合利用不等式的概念和基本性質(zhì)解不等式的方法。

  4.學(xué)生將文字表達(dá)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,從而解決實際問題。

  5.練習(xí)鞏固,將本節(jié)和上節(jié)內(nèi)容聯(lián)系起來。

  (三)情感、態(tài)度與價值目標(biāo):(課件第3張)

  1.在教學(xué)過程中,學(xué)生體會數(shù)學(xué)中的比較和轉(zhuǎn)化思想。

  2.通過類比一元一次方程的解法,從而更好的掌握一元一次不等式的解法,樹立辯證統(tǒng)一思想。

  3.通過學(xué)生的討論,學(xué)生進一步體會集體的作用,培養(yǎng)其集體合作的精神。

  4.通過本節(jié)的學(xué)習(xí),學(xué)生體會不等式解集的奇異的數(shù)學(xué)美。

  二、教學(xué)重、難點:

  1.掌握一元一次不等式的`解法。

  2.掌握解一元一次不等式的階梯步驟,并能準(zhǔn)確求出解集。

  3.能將文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,從而完成對應(yīng)用問題的解決。

  三、教學(xué)突破:

  教材中沒有給出解法的一般步驟,所以在教學(xué)中要注意讓學(xué)生經(jīng)歷將所給的不等式轉(zhuǎn)化為簡單不等式的過程,并通過學(xué)生的討論交流使學(xué)生經(jīng)歷知識的形成和鞏固過程。在解不等式的過程中,與上節(jié)課聯(lián)系起來,重視將解集表示在數(shù)軸上,從而指導(dǎo)學(xué)生體會用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題。在研究中,鼓勵學(xué)生用多種方法求解,從而鍛煉他們活躍的思維。

  四、教 具:計算機輔助教學(xué).

  五、教學(xué)流程:

  (一)、復(fù)習(xí):

  教學(xué)環(huán)節(jié)

  教 師 活 動

  學(xué) 生 活 動

  設(shè) 計 意 圖

  不等式及其解集的教案設(shè)計 篇9

  一、教學(xué)目標(biāo):

 。ㄒ唬┲R與技能

  1.掌握不等式的三條基本性質(zhì)。

  2.運用不等式的基本性質(zhì)對不等式進行變形。

 。ǘ┻^程與方法

  1.通過等式的性質(zhì),探索不等式的性質(zhì),初步體會“類比”的數(shù)學(xué)思想。

  2.通過觀察、猜想、驗證、歸納等數(shù)學(xué)活動,經(jīng)歷從特殊到一般、由具體到抽象的認(rèn)知過程,感受數(shù)學(xué)思考過程的條理性,發(fā)展思維能力和語言表達(dá)能力。

  (三)情感態(tài)度與價值觀

  通過探究不等式基本性質(zhì)的活動,培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識和大膽猜想,樂于探究的良好思維品質(zhì)。

  二、教學(xué)重難點

  教學(xué)重點: 探索不等式的三條基本性質(zhì)并能正確運用它們將不等式變形。

  教學(xué)難點: 不等式基本性質(zhì)3的探索與運用。

  三、教學(xué)方法:自主探究——合作交流

  四、教學(xué)過程:

  情景引入:1.舉例說明什么是不等式?

  2.判斷下列各式是否成立?并說明理由。

  ( 1 ) 若x-6=10, 則x=16( )

  ( 2 ) 若3x=15, 則 x=5 ( )

  ( 3 ) 若x-6>10 則 x>16( )

  ( 4 ) 若3x>15 則 x>5 ( )

  【設(shè)計意圖】(1)、(2)小題喚起對舊知識等式的基本性質(zhì)的回憶,(3)、(4)小題引導(dǎo)學(xué)生大膽說出自己的想法。

  溫故知新

  問題1.由等式性質(zhì)1你能猜想一下不等式具有什么樣的性質(zhì)嗎?

  等式性質(zhì)1:等式兩邊都加上或減去同一個數(shù)(或同一個整式),所得結(jié)果仍是不等式。

  估計學(xué)生會猜:不等式兩邊都加上或減去同一個數(shù)(或同一個整式),所得結(jié)果仍是不等式。教師引導(dǎo):“=”沒有方向性,所以可以說所得結(jié)果仍是等式,而不等號:“>,<,≥,≤”具有方向性,我們應(yīng)該重點研究它在方向上的變化。

  問題2.你能通過實驗、猜想,得出進一步的結(jié)論嗎?

  同學(xué)通過實例驗證得出結(jié)論,師生共同總結(jié)不等式性質(zhì)1。

  問題3.你能由等式性質(zhì)2進一步猜想不等式還具有什么性質(zhì)嗎?

  等式性質(zhì)2:等式兩邊都乘或除以同一個數(shù)(除數(shù)不能是0),等式依然成立。

  估計學(xué)生會猜:不等式兩邊都乘或除以同一個數(shù)(除數(shù)不能是0),不等號的方向不變。

  你能和小伙伴一起來驗證你們的猜想嗎?

  學(xué)生在小組內(nèi)合作交流,發(fā)現(xiàn)了在不等式兩邊都乘或除以同一個數(shù)時,不等號的方向會出現(xiàn)兩種情況。教師進一步引導(dǎo)學(xué)生通過分析、比較探索規(guī)律,從而形成共識,歸納概括出不等式性質(zhì)2和3。

  問題4.在不等式兩邊都乘0會出現(xiàn)什么情況?

  問題5.如果a、b、c表示任意數(shù),且a<b,你能用a、b、c把不等式的基本性質(zhì)表示出來碼?

  【想一想】不等式的基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)有什么相同之處,有什么不同之處?

  學(xué)生思考,獨立總結(jié)異同點。

  【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生把二者進行比較,有助于加深對不等式基本性質(zhì)的理解,促成知識的“正遷移”。

  綜合訓(xùn)練:你能運用不等式的基本性質(zhì)解決問題嗎?

  1、課本62頁例3

  教師引導(dǎo)學(xué)生觀察每個問題是由a>b經(jīng)過怎樣的變形得到的,應(yīng)該應(yīng)用不等式的`哪條基本性質(zhì)。由學(xué)生思考后口答。

  2、你認(rèn)為在運用不等式的基本性質(zhì)時哪一條性質(zhì)最容易出錯,應(yīng)該怎樣記?

  3.火眼金睛

 、賏>1, 則2a___a

 、赼>3a,則 a ___ 0

  【設(shè)計意圖】通過變式訓(xùn)練,加深學(xué)生對新知的理解,培養(yǎng)學(xué)生分析、探究問題的能力。

  課堂小結(jié):

  這節(jié)課你有哪些收獲?你認(rèn)為自己的表現(xiàn)如何?教師引導(dǎo)學(xué)生回顧、思考、交流。

  【設(shè)計意圖】回顧、總結(jié)、提高。學(xué)生自覺形成本節(jié)的課的知識網(wǎng)絡(luò)。

  思考題

  咱們班的盛芳同學(xué)準(zhǔn)備在五、一期間和他的爸爸、媽媽外出旅游。青年旅行社的標(biāo)準(zhǔn)為:大人全價,小孩半價;方正旅行社的標(biāo)準(zhǔn)為:大人、小孩一律八折。若兩家旅行社的基本價一樣,你能幫盛芳同學(xué)考慮一下選擇哪家旅行社更合算嗎?

  【設(shè)計意圖】利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識,解決生活中的問題,加強數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系,體驗數(shù)學(xué)是描述現(xiàn)實世界的重要手段。

  不等式及其解集的教案設(shè)計 篇10

  一、創(chuàng)設(shè)情境

  問題畫出函數(shù)y=的圖象,根據(jù)圖象,指出:

  (1)x取什么值時,函數(shù)值y等于零?

  (2)x取什么值時,函數(shù)值y始終大于零?

  二、探究歸納

  問一元一次方程=0的解與函數(shù)y=的圖象有什么關(guān)系?

  答一元一次方程=0的解就是函數(shù)y=的圖象上當(dāng)y=0時的x的`值.

  問一元一次方程=0的解,不等式>0的解集與函數(shù)y=的圖象有什么關(guān)系?

  答不等式>0的解集就是直線y=在x軸上方部分的x的取值范圍.

  三、實踐應(yīng)用

  例1畫出函數(shù)y=-x-2的圖象,根據(jù)圖象,指出:

  (1)x取什么值時,函數(shù)值y等于零?

  (2)x取什么值時,函數(shù)值y始終大于零?

  解過(-2,0),(0,-2)作直線,如圖.

  (1)當(dāng)x=-2時,y=0;

  (2)當(dāng)x<-2時,y>0.

  例2利用圖象解不等式(1)2x-5>-x+1,(2)2x-5<-x+1.

  解設(shè)y1=2x-5,y2=-x+1,

  在直角坐標(biāo)系中畫出這兩條直線,如下圖所示.

  兩條直線的交點坐標(biāo)是(2,-1),由圖可知:

  (1)2x-5>-x+1的解集是y1>y2時x的取值范圍,為x>-2;

  (2)2x-5<-x+1的解集是y1<y2時x的取值范圍,為x<-2.

  四、交流反思

  運用函數(shù)的圖象來解釋一元一次方程、一元一次不等式的解集,并能通過函數(shù)圖象來回答一元一次方程、一元一次不等式的解集.

  五、檢測反饋

  1.已知函數(shù)y=4x-3.當(dāng)x取何值時,函數(shù)的圖象在第四象限?

  2.畫出函數(shù)y=3x-6的圖象,根據(jù)圖象,指出:

  (1)x取什么值時,函數(shù)值y等于零?

  (2)x取什么值時,函數(shù)值y大于零?

  (3)x取什么值時,函數(shù)值y小于零?

  3.畫出函數(shù)y=-0.5x-1的圖象,根據(jù)圖象?

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