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高中數(shù)學《幾類不同增長的函數(shù)模型》說課稿
下面是小編收集的人教版高中數(shù)學《幾類不同增長的函數(shù)模型》的說課稿,僅供參考!
一.內(nèi)容和內(nèi)容解析
本節(jié)是高中數(shù)學必修1(人教A版)第三章《函數(shù)的應(yīng)用》的起始課.該課將經(jīng)歷運用和選擇函數(shù)模型解決實際問題的過程,從而認識在同為增函數(shù)的函數(shù)模型中,各種函數(shù)存在增長的差異;理解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的含義;認識研究函數(shù)增長(衰減)差異的方法;感受數(shù)學建模的思想.
對不同函數(shù)模型在增長差異上的研究,教材圍繞函數(shù)模型的應(yīng)用這一核心,結(jié)合具體實例展開討論,讓學生在應(yīng)用函數(shù)模型的過程中,體驗到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)模型在描述客觀世界變化規(guī)律時各自的特點.
教材運用自選投資方案和制定獎勵方案這兩個問題,引出函數(shù)模型增長情況比較的問題,接著運用信息技術(shù)從數(shù)值和圖象兩個角度比較了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長情況的差異,說明不同函數(shù)類型增長的含義.
在必修1前兩章,教材安排了函數(shù)的性質(zhì)以及基本初等函數(shù).本節(jié)內(nèi)容是幾類不同增長的函數(shù)模型,在此之后是研究函數(shù)模型的應(yīng)用,因此,從內(nèi)容上看,本節(jié)課是對前面所學習的幾種基本初等函數(shù)以及函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用,從思想方法上講,是對研究函數(shù)的方法的進一步鞏固和深化,同時,也在為后面繼續(xù)學習各種不同的函數(shù)模型的應(yīng)用舉例奠定基礎(chǔ),.因此本節(jié)內(nèi)容,既是第二章基本初等函數(shù)知識的延續(xù),又是函數(shù)模型應(yīng)用學習的基礎(chǔ),起著承前啟后的作用.
本節(jié)內(nèi)容所涉及的數(shù)學思想方法主要包括:由實際問題抽象為函數(shù)模型這一過程中蘊涵的符號化、模型化的思想;在解決問題過程中函數(shù)與方程的思想.
二.目標和目標解析
本節(jié)課的教學任務(wù)為:
(1)創(chuàng)設(shè)一個投資方案的問題情境,讓學生通過函數(shù)建模、列數(shù)據(jù)表、研究函數(shù)圖象和性質(zhì),體會直線上升和指數(shù)爆炸;
(2)創(chuàng)設(shè)一個選擇獎勵模型的問題情境,讓學生在觀察和探究的過程中,體會對數(shù)增長模型的特點;
(3)通過建立和運用函數(shù)基本模型,讓學生初步體驗數(shù)學建模的基本思想,發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和數(shù)學應(yīng)用意識.
根據(jù)內(nèi)容解析和教學任務(wù),本節(jié)課的教學目標確定為:
(1)通過實例的解決,運用函數(shù)表格、圖象,比較一次函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)模型等的增長,認識它們的增長差異,體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型的意義;
(2)通過恰當?shù)剡\用函數(shù)的三種表示方法(解析法、列表法、圖象法),表達實際問題中的函數(shù)關(guān)系的操作,認識函數(shù)問題的研究方法:觀察—歸納—猜想—證明;
(3)經(jīng)歷建立和運用函數(shù)基本模型的過程,初步體驗數(shù)學建模的基本思想,體會數(shù)學的作用與價值,培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力.
這部分內(nèi)容教科書在處理上,以函數(shù)模型的應(yīng)用這一內(nèi)容為主線,以幾個重要的函數(shù)
模型為對象,將前面已經(jīng)學習過的內(nèi)容以及處理問題的思想方法緊密結(jié)合起來,使之成為一個整體.因此教學中應(yīng)當注意貫徹教材的設(shè)計意圖,讓學生經(jīng)歷函數(shù)模型應(yīng)用的全過程,能在這一過程中認識不同增長的差異,認識知曉函數(shù)增長差異的作用,認識研究差異的思想方法.
結(jié)合以上分析本節(jié)課的教學重點為:將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型,在比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型增長差異的過程中,體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同類型函數(shù)增長的含義.
三.教學問題診斷
學生在前面已學過函數(shù)概念、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù),但由于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長變化復雜,這就使得學生在研究過程中可能遇到困難.因此本節(jié)課教學難點確定為:如何結(jié)合實際問題讓學生體會不同函數(shù)模型的增長差異,以及如何利用這種增長差異來解決一些實際問題.
為了解決這一難點,教科書分三個步驟,創(chuàng)設(shè)問題情境,并通過恰點恰時而又層層遞進的問題串,讓學生在不斷的觀察、思考和探究的過程中,弄清幾個函數(shù)間的增長差異,并培養(yǎng)分析問題解決問題的能力.第一步,教科書先創(chuàng)設(shè)了一個選擇投資方案的問題情境,在解決問題的過程中給出了解析式、數(shù)表和圖象三種表示,然后提出了三個思考問題,讓學生一方面從中體會直線上升和指數(shù)爆炸,另一方面也學會如何選擇恰當?shù)谋硎拘问綄栴}進行分析.第二步,教科書又創(chuàng)設(shè)了一個選擇公司獎勵模型的問題情境,讓學生在觀察和探究的過程中,體會到對數(shù)增長模型的特點.第三步,教科書提出了三種函數(shù)存在怎樣的增長差異的問題.先讓學生從不同角度觀察指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長圖象,從中體會二者的差異;再通過兩個探究問題,讓學生對冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增長差異,以及三種函數(shù)的衰減情況進行自主探究.這樣的安排內(nèi)容上層次分明,可以引導學生從不同的方面積極地開展觀察、思考和探究活動,對典型的問題,多視點寬角度地進行了研究.對學生分分析問題、解決問題能力的培養(yǎng)將有積極的推動.由于本節(jié)內(nèi)容比較豐富,而且研究問題的方法和途徑也比較多,所以本節(jié)課我們只能重點解決其中的前兩個問題.
四.教學支持條件分析
要讓學生較為全面地體會函數(shù)模型的思想,特別是本節(jié)例題中用函數(shù)模型研究實際問題有許多數(shù)據(jù)、圖象等方面處理上的困難,而利用信息技術(shù)工具,就可以在不同的范圍觀察到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長差異.這樣,就使學生有機會接觸到一些過去難以接觸到的數(shù)學知識和思想方法.因此在本節(jié)內(nèi)容教學的處理上,通過學生收集數(shù)據(jù)并建立函數(shù)模型, 利用計算器和計算機,比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)間的增長差異;結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.
五.教學過程設(shè)計
一、創(chuàng)設(shè)情境,引入課題
1.介紹第三章章頭圖,提出問題.
問題1:澳大利亞的兔子為什么能在短短的幾十年中由5只發(fā)展到5億只?
澳大利亞兔子的急劇增長反映了自然界中一種增長現(xiàn)象:指數(shù)增長.
問題2:在生活中,你還能舉出其它增長的例子嗎?
2.在學生回答問題的基礎(chǔ)上引出各種不同類型的函數(shù)增長模型.
3.揭示課題:幾類不同增長的函數(shù)模型.
【設(shè)計意圖】運用章頭圖,形成問題情境,產(chǎn)生應(yīng)用函數(shù)的需要,激發(fā)學生的學習愿望.
二、分析問題,建立模型
(一)提出問題
例1.假如你有一筆資金用于投資,現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,這三種方案的
回報如下:
方案一:每天回報40元;
方案二:第一天回報10元,以后每天比前一天多回報10元;
方案三:第一天回報0 .4元,以后每天的回報比前一天翻一番.
請問:你會選擇哪種投資方式?
(二)分析問題
1.引導審題,抓住關(guān)鍵詞“回報”
問題3:你選擇的是什么樣的回報?怎樣比較回報資金的大小?
從解決問題的角度看:
(1)比較三種方案的每日回報;
(2)比較三種方案在若干天內(nèi)的累計回報.
2.引導分析數(shù)量關(guān)系,建立函數(shù)模型
僅從日回報的角度引導學生根據(jù)數(shù)量關(guān)系,歸納概括出相應(yīng)的函數(shù)模型,寫出每個方案的函數(shù)解析式.
【設(shè)計意圖】引發(fā)學生思考,經(jīng)歷建立函數(shù)基本模型的過程.
【備注】累計回報的本質(zhì)是數(shù)列求和問題,由于學生目前的知識儲備還不夠,現(xiàn)在僅限于通過對函數(shù)模型通過列表計算、圖象觀察來作出判斷和選擇.
三、組織探究,感性體驗
1.教師提出問題
問題4:你會選擇哪種投資方案?請用數(shù)學語言呈現(xiàn)你的理由.
2.學生分組操作,比較不同增長
從解決問題的方式上:
(1)用列表方法來比較;
(2)畫出函數(shù)圖象來分析.
【設(shè)計意圖】保成學生合作探究、動手實踐,能借助計算器,利用數(shù)據(jù)表格、函數(shù)圖象對三種模型進行比較、分析,初步感受直線上升和指數(shù)爆炸的意義,初步體驗研究函數(shù)增長差異的方法.
四、成果交流,階段小結(jié)
(一)學生交流
讓學生交流小組探究的成果(表格、圖象、結(jié)論)
(二)師生互動
1.閱讀教材上例題解答中的數(shù)據(jù)表格與圖象(突出散點圖),引導學生關(guān)注增長量,感受增長差異.
2.通過教師多媒體動態(tài)演示,讓學生進一步體會增長差異.
在不同的函數(shù)模型下,雖然都有增長,但增長態(tài)勢各具特點.他們的增長不在同一個“檔次”上,當自變量變得很大時,指數(shù)型函數(shù)比一次函數(shù)增長的速度要快得多.
(三)歸納小結(jié)
1.通過教師的小結(jié),增強學生對增長差異的認識.
常數(shù)函數(shù)(沒有增長),直線上升(勻速增長),指數(shù)爆炸(急劇增長).
2.上述問題的解決,是通過考慮其中的數(shù)量關(guān)系,把它抽象概括成一個函數(shù)問題,用解析式、數(shù)據(jù)表格、圖象這三種函數(shù)的表達形式來研究的.
【設(shè)計意圖】分享學生成果,達到生生互動、師生互動;借助多媒體展示,幫助學生理解不同增長的函數(shù)模型的增長差異,并且初步體驗數(shù)學建模的基本思想,認識函數(shù)問題的研究方法.
五、深入探究,理性分析
(一)提出問題
例 2.某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標,準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案:在銷售利潤達到10萬元時,按銷售利潤進行獎勵,且獎金 (單位:萬元)隨銷售利潤 (單位:萬元)的增加而增加,但獎金總數(shù)不超過5萬元,同時獎金不超過利潤的25%.現(xiàn)有三個獎勵模型: .其中哪個模型能符合公司的要求?
(二)引導分析
問題5:你能立刻做出選擇嗎?選擇的依據(jù)是什么?
問題6:公司的要求到底意味著怎樣的數(shù)學關(guān)系?
問題7:我們提供的三個增長型函數(shù)哪一個符合限制條件?
(三)解決問題
1.通過多媒體演示,發(fā)現(xiàn)增長差異;
R> 2.結(jié)合限制條件,初步作出選擇;
3.通過計算,進一步確認,驗證所得結(jié)論;
4.體會對數(shù)增長模型的增長特征:當自變量變得很大時平緩增長;
5.揭示函數(shù)問題的研究方法(觀察—歸納—猜想—證明).
【設(shè)計意圖】讓學生在觀察和探究的過程中,學會理性分析,體會對數(shù)增長模型的特點.
【備注】對判斷模型二 是否滿足限制條件“ ”,考慮到學生現(xiàn)在知識儲備和接受水平,只能采用了直觀教學,通過構(gòu)造新函數(shù),觀察新函數(shù)的圖象來解決(因為該函數(shù)單調(diào)性的判定,必須運用高二數(shù)學中的導數(shù)知識與方法才能解決).
六、拓展延伸,創(chuàng)新設(shè)計
這個獎勵方案實施以后,立刻調(diào)動了員工的積極性,企業(yè)發(fā)展蒸蒸日上,但隨著時間的推移,又出現(xiàn)了新的問題,員工缺乏創(chuàng)造高銷售額的積極性.
問題8:我們的獎勵方案有什么弊端?
問題9:你能否設(shè)計出更合理的獎勵模型?
【創(chuàng)新設(shè)計】為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標,在銷售利潤達到10萬元時,按銷售利潤進行獎勵,且獎金y(單位:萬元)隨著銷售利潤x (單位:萬元)的增加而增加,要求如下:
10萬~ 50萬,獎金不超過2萬;50萬~ 200萬,獎金不超過4萬;200萬~ 1000萬,獎金不超過20萬.請選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型,用圖象表達你的設(shè)計方案.(四人一組,合作完成)
【設(shè)計意圖】設(shè)計開放性問題對例2拓展延伸,既檢測了學生對幾類不同模型增長差異的掌握情況,又鼓勵學生學以致用,用以致優(yōu),使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程.
七、歸納總結(jié),提煉升華
問題10:通過本節(jié)課的學習,你有哪些收獲?請你從知識、方法、思想方面作一個小結(jié).
1.知識:對函數(shù)的性質(zhì)有了進一步的了解,我們體會到同是增長型函數(shù),但其增長差異卻很大:常數(shù)函數(shù)(沒有增長);一次函數(shù)(直線上升);指數(shù)函數(shù)(爆炸增長);對數(shù)函數(shù)(平緩增長).
2.方法:函數(shù)有三種表示方法(解析法、列表法、圖象法);函數(shù)問題的一般研究方法(觀察—歸納—猜想—證明)
3.思想:兩個例題都體現(xiàn)了數(shù)學建模的思想,即把實際問題數(shù)學化:面對實際問題,我們要讀懂問題,運用所學知識,將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型,最終得到實際問題的解.
【設(shè)計意圖】理解幾類不同增長的函數(shù)模型的增長差異,提煉數(shù)學思想方法,認識數(shù)學的應(yīng)用價值.
八、布置作業(yè),鞏固提高
1.課本98頁課后練習1,2;課本107頁習題3.2(A組)第1題;
2.收集一些社會生活中遞增的一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的實例,對它們的增長速度進行比較,了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用.
【設(shè)計意圖】進一步體驗函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學模型,不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來描述;培養(yǎng)學生對數(shù)學學科的深刻認識,體會數(shù)學的應(yīng)用價值.
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