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導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ),是聯(lián)系初、高等數(shù)學(xué)的紐帶,它的引入為解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了新的視野, 是研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式、探求函數(shù)的極值最值、求曲線的斜率和解決一些物理問(wèn)題等等的有力工具，

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。本文擬就導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,談一點(diǎn)個(gè)人的感悟和體會(huì)。

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1以導(dǎo)數(shù)概念為載體處理函數(shù)圖象問(wèn)題函數(shù)圖象直觀地反映了兩個(gè)變量之間的變化規(guī)律,由于受作圖的局限性,這種規(guī)律的揭示有時(shí)往往不盡人意. 導(dǎo)數(shù)概念的建立拓展了應(yīng)用圖象解題的空間。

例1:(2007浙江卷)設(shè) 是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),將y= f(x)+f′(x)和的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中,不可能正確的是(D)

例2:(2005江西卷) 已知函數(shù)y= xf′(x)的圖象如右圖所示(其中f′(x))是函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù)),下面四個(gè)圖象中y= f(x)的圖象大致是(C)

分析:由圖象知,f′(1)=f′(-1) =0,所以x=±1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),又因?yàn)樵?-1,0)上,f′(x)<0,在(0,1)上,f′(x)>0,因此在(-1,1)上,f(x)單調(diào)遞減,故選C。

2以導(dǎo)數(shù)知識(shí)為工具研究函數(shù)單調(diào)性對(duì)函數(shù)單調(diào)性的研究,導(dǎo)數(shù)作為強(qiáng)有力的工具提供了簡(jiǎn)單、程序化的方法,具有普遍的可操作方法。

例3:已知f(x)=x3+bx2+cx+d是定義在R上的函數(shù), 其圖象交x軸于A、B、C三點(diǎn), 點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0),且 f(x)在[-1,0]和[0,2]有相反的單調(diào)性. ①求C的值. ②若函數(shù)f(x)在[0,2]和[4,5]也有相反的單調(diào)性, f(x)的圖象上是否存在一點(diǎn)M, 使得f(x)在點(diǎn)M的切線斜率為3b? 若存在, 求出M點(diǎn)的坐標(biāo). 若不存在, 說(shuō)明理由.

分析:①f′(x)=3x2+2bx+c,

∵f(x)在[-1,0]和[0,2]有相反的單調(diào)性.

∴ x=0是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn), 故f′(0)=0. ∴c=0.

②令f′(x)=0得3x2+2bx=0,x1=0,x2=

因?yàn)閒(x)在[0,2]和[4,5] 有相反的單調(diào)性,

∴f′(x)在[0,2]和[4,5] 有相反的符號(hào).

故2≤-2b3≤4,-6≤b≤-3.

假設(shè)存在點(diǎn)M(x0,y0)使得f(x)在點(diǎn)M的切線斜率為3b,則f′(x0)=3b.

即3x02+2bx0-3b=0.∵△=4b2-4·3·(-3b)=4b(b+9),而f′(x0)=3b.

∴△<0.

故不存在點(diǎn)M(x0,y0)使得f(x)在點(diǎn)M的切線斜率為3b.

3證明不等式彰顯導(dǎo)數(shù)方法運(yùn)用的靈活性把要證明的一元不等式通過(guò)構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)>0(<0)再通過(guò)求f(x)的.最值,實(shí)現(xiàn)對(duì)不等式證明,導(dǎo)數(shù)應(yīng)用為解決此類問(wèn)題開辟了新的路子,使過(guò)去不等式的證明方法從特殊技巧變?yōu)橥ǚ?彰顯導(dǎo)數(shù)方法運(yùn)用的靈活性、普適性。

例4:(1)求證:當(dāng)a≥1時(shí),不等式對(duì)于n∈R恒成立.

(2)對(duì)于在(0,1)中的任一個(gè)常a ,問(wèn)是否存在x0>0使得ex0-x0-1>a·x022 ex0成立?如果存在,求出符合條件的一個(gè)x0;否則說(shuō)明理由2016最新單位感謝信2016最新單位感謝信。

分析:(1)證明:(Ⅰ)在x≥0時(shí),要使(ex-x-1)≤ax2e|x|2成立。

只需證: ex≤a2x2ex+x+1即需證:1≤a2x2+x+1ex①

令y(x)=a2x2+x+1ex,求導(dǎo)數(shù)y′(x) =ax+1·ex-(x+1)ex(ex)2=ax+-xex

∴y′(x)=x(a-1ex),又a≥1,求x≥0,故y′(x) ≥0

∴f(x)為增函數(shù),故f(x)≥y(0)=1,從而①式得證

(Ⅱ)在時(shí)x≤0時(shí),要使ex-x-1≤ax2e|x|2 成立。

只需證:ex≤a2x2ex+x+1,即需證:1≤ax22e-2x+(x+1)e-x②

令m(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x,求導(dǎo)數(shù)得m′(x)=-xe-2x[ex+a(x-1)]

而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0時(shí)為增函數(shù)

故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0,從而m(x) ≤0

∴m(x)在x≤0時(shí)為減函數(shù),則m(x)≥m(0)=1,從而②式得證

由于①②討論可知,原不等式ex-x-1≤ax2e|x|2在a≥1時(shí),恒成立

(2)解:ex0-x0-1≤a·x02|x|2ex0將變形為ax022+x0+1ex0-1 要找一個(gè)x0>0,使③式成立,只需找到函t(x)=ax22+x+1ex-1 的最小值,

滿足t(x)min<0即可,對(duì)t(x)求導(dǎo)數(shù)t′(x)=x(a-1ex)

令t′(x)=0得ex =1a,則x= -lna,取X0= -lna

在0<x<-lna時(shí),t′(x) <0,在x > -lna時(shí),t′(x) >0

t(x)在x=-lna時(shí),取得最小值t(x0)=a2(lna) 2+a( -lna+1)-1

下面只需證明:a2(lna) 2-alna+a-1<0,在0<a<1時(shí)成立即可

又令p(a) =a2(lna) 2-alna+a-1,對(duì)p(a)關(guān)于a求導(dǎo)數(shù)

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則p′(a) =12(lna) 2≥0,從而p(a)為增函數(shù)

則p(a)<p(1)=0,從而a2(lna) 2-alna+a-1<0得證

于是t(x)的最小值t(-lna)<0

因此可找到一個(gè)常數(shù)x0=-lna(0<a<1),使得③式成立

最值證明在不等式中的應(yīng)用,一般轉(zhuǎn)化不等式(轉(zhuǎn)化的思想)構(gòu)造一個(gè)函數(shù),(函數(shù)的思想方法)然后求這個(gè)函數(shù)的極(最)值,應(yīng)用恒成立關(guān)系就可以證明,對(duì)于應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)踐問(wèn)題,關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，

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4求曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處的切線的斜率,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),其幾何意義是曲線在該點(diǎn)處切線的斜率,利用導(dǎo)數(shù)可以十分便捷地分析處理解析幾何中的有關(guān)切線問(wèn)題2016最新單位感謝信文章2016最新單位感謝信出自http://www.ishadingyu.com/article/wk-78500000941177.html，此鏈接！。

例5:已知函數(shù)f(x)=ln x,g(x)=12x2-a(a為常數(shù)),若直線l與y=f(x)和y=g(x)的圖象都相切,且l與y=f(x)的圖象相切于定點(diǎn)P(1,f(1)).

(1)求直線l的方程及a 的值;

(2)當(dāng)k∈R時(shí),討論關(guān)于x的方程f(x2+1)-g(x)=k的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).

分析:(1)∵f′(x)=,∴f′(1)=1 ∴k1=1,又切點(diǎn)為P(1,f(1)),即(1,0)

∴l的解析式為y=x-1,

∵l與y=g(x)相切,由y=x-1

y=12x2+a,消去y得x2-2x+2a+2=0

∴△=(-2)2-4(2a+2)=0,得a=- 12

(2)令h(x)= f(x2+1)-g(x)=ln(x2+1)-12x2+12

∵h(yuǎn)′(x) =2x1+x2-x=-x(x-1)(x+1)1+x2,則h′(x) >0,h(x) 為增函數(shù),-1<x<0或x>1時(shí),h′(x) <0,h(x) 為減函數(shù)。

故x=±1時(shí),h(x)取極大值ln2,x=0時(shí),h(x)取極小值12。

因此當(dāng) k∈(ln2,+∞),原方程無(wú)解;當(dāng)k=ln2時(shí),原方程有兩解;當(dāng)12<k<ln2時(shí),原方程有四解;當(dāng)k=12時(shí),原方程有三解;當(dāng)k<12時(shí),原方程有兩解。

5利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極(最)值解答這類問(wèn)題的方法是:①根據(jù)求導(dǎo)法則對(duì)函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)。②令導(dǎo)數(shù)等于0,解出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)③分區(qū)間討論,得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2016最新單位感謝信感謝信。④判斷極值點(diǎn),求出極值。⑤求出區(qū)間端點(diǎn)值與極值進(jìn)行比較,求出最值。

例6:設(shè)x1、x2是函數(shù)f(x)=ax3+bx2-a2x (a>0)的兩個(gè)極值點(diǎn).

(1)若x1=-1,x2=2,求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)若|x1|+|x2|=22,求f(x)的最大值;

分析:(1)∵f(x)=ax3+bx2-a2x (a>0),∴f′(x)=ax3+bx2-a2x (a>0)

依題意有f′(-1)=0

f′(2)=0,∴ 3a-2b-a2=0

12a+4b-a2=0

解得a=6

b=-9,∴f(x)=6x2+9x2-36x.

(2)∵f′(x)=3ax2+2bx-a2(a>0),

依題意,x1,x2是方程f′(x)=0的兩個(gè)根,且|x1|+|x2|=22,

∴(x1+x2)2-2x1x2+|x1+x2|=8.

∴(-2b3a)2·(-a3)+2|-a3|=8,∴b2=3a2(6-a).

∵b2≥0,∴0<a≤6.

設(shè)p(a)=3a2(6-a),則p′(a)=-9a2+36a.

由p′(a) >0得0<a<4,由p′(a) >0得a>4.

即:函數(shù)p(a) 在區(qū)間(0,4]上是增函數(shù),在區(qū)間[4,6]上是減函數(shù),

∴當(dāng)a=4時(shí),p(a)有極大值為96,∴p(a)在(0,6]上的最大值是96,

∴b的最大值為46.

導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用,為我們解決函數(shù)問(wèn)題提供了有力的工具,用導(dǎo)數(shù)可以解決函數(shù)中的最值問(wèn)題,不等式問(wèn)題,還可以解析幾何相聯(lián)系,可以在知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)問(wèn)題。因此,在教學(xué)中,要突出導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

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